高中数学人教A版必修三课时提升作业：二十 3.3.1 几何概型 含解析

1、人教版高中数学必修精品教学资料课时提升作业(二十)几何概型(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()a.110b.19c.111d.18【解析】选a.试验的所有结果构成的区域长度为10min，而构成事件a的区域长度为1min，故p(a)=110.【补偿训练】某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为()a.15b.25c.35d.45【解析】选c.把汽车到站的间隔时间分为0，5上的实数，其中乘客候车时间不超过3分钟时应在0，3内取值，

2、所以发生的概率为35.2.(2015·顺义高一检测)在区间-2，3上随机选取一个数x，则x2的概率是()a.15b.25c.35d.45【解析】选d.因为基本事件空间为-2，3，它的度量是长度5，x2的度量为4，所以所求概率为45.3.下列概率模型中，几何概型的个数为()从区间-10，10内任取出一个数，求取到1的概率；从区间-10，10内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；从区间-10，10内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；向一个边长为4cm的正方形abcd内投一点p，求点p离中心不超过1cm的概率.a.1b.2c.3d.4【解析】选b.不是几何概型，虽然

3、区间-10，10有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；是几何概型，因为区间-10，10和-1，1上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；不是几何概型，因为区间-10，10上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；是几何概型，因为在边长为4cm的正方形和半径为1cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有等可能被投到，故满足无限性和等可能性.4.(2015·临沂高一检测)如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是()a.14b.4c.13d.3

4、【解析】选b.设事件a=小鸡正在正方形的内切圆中，则事件a的几何区域为内切圆的面积s=r2(2r为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得p(a)=r2(2r)2=4，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为4.【补偿训练】面积为s的abc，d是bc的中点，向abc内部投一点，那么点落在abd内的概率为()a.13b.12c.14d.16【解析】选b.向abc内部投一点的结果有无限个，属于几何概型.设点落在abd内为事件m，则p(m)=abd的面积abc的面积=12.5.已知正三棱锥s-abc，在正三棱锥内任取一点p，使得vp-abc<12vs-abc的概

5、率是()a.34b.78c.12d.14【解析】选b.如图，由题意知，当点p在三棱锥的中截面以下时，满足：vp-abc<12vs-abc，故使得vp-abc<12vs-abc的概率为p=v1v=大三棱锥的体积-小三棱锥的体积大三棱锥的体积=1-123=78.二、填空题(每小题5分，共15分)6.在区间-2，4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为56，则m=.【解题指南】解绝对值不等式，根据几何概型利用区间长度之比求解.【解析】由|x|m，得-mxm，当m2时，由题意2m6=56，m=2.5矛盾，舍去；当2<m<4时，由题意得m-(-2)6=56，解得m=3.答案

6、：37.向等腰直角三角形abc(其中ac=bc)内任意投一点m，则am<ac的概率为.【解析】如图，点m在以a为圆心，半径为ac的扇形ace内，所以p=s扇形acesabc=45360·(ac)212ac·bc=4.答案：4【延伸探究】若本题中，在斜边ab上任取一点m，则am>ac的概率是.【解析】设ca=cb=m(m>0)，则ab=2m.设事件m：am>ac，即p(m)=ab-acab=2m-m2m=1-22.答案：1-228.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的

7、距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为.【解析】不在家看书的概率=看电影+打篮球所有情况=-122×+×142=1316.答案：1316三、解答题(每小题10分，共20分)9.一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少?(1)红灯.(2)黄灯.(3)不是红灯.【解析】在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型.(1)p=亮红灯的时间全部时间=3030+40+5=25；(2)p=亮黄灯的时间全部时间=575=115；(3)p=不是红

8、灯亮的时间全部时间=黄灯或绿灯亮的时间全部时间=4575=35.10.在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5cm的均匀方格的大桌子上掷直径为2cm的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大?【解题指南】因为硬币能否完全落入某个方格中，关键看硬币的中心落在方格中的哪个位置，若要使硬币完全落入方格中，则其中心必须距方格的边界至少有一个硬币半径的长度(即1cm)，因此，要使硬币完全落在方格内，硬币的中心必须落在以正方形的中心为中心，以5-1-1=3(cm)为边长的小正方形表示的区域内.【解析】如图，边长为5cm的正方形形

9、成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3cm为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为p=3252=925.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·衡水高一检测)在区间-2,2上随机取一个数x，则事件“0sinx1”发生的概率为()a.14b.13c.12d.23【解析】选c.由于x-2,2，若0sinx1，则0x2，设“0sinx1”为事件a，则p(a)=2-02-(-2)=2=12.2.如图，在一个边长为a，b(a>b>0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为a3与a2，高

10、为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为()a.112b.14c.512d.712【解析】选c.s矩形=ab.s梯形=1213a+12ab=512ab.故所投的点落在梯形内部的概率为p=s梯形s矩形=512abab=512.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·威海高一检测)在区间0，1内任取两个数，则这两个数的平方和也在0，1内的概率是.【解析】设在0，1内取出的数为a，b，若a2+b2也在0，1内，则有0a2+b21.如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a2+b2在0，1内的点在14单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为141

11、=4.答案：4【补偿训练】(2015·合肥高一检测)如图，四边形abcd为矩形，ab=3，bc=1，以a为圆心，1为半径作四分之一个圆弧de，在dab内任作射线ap，则射线ap与线段bc有公共点的概率为.【解析】(用几何概型，化概率为角度之比)当点p在bc上时，ap与bc有公共点，此时ap扫过abc，所以所求概率p=bacbad=30°90°=13.答案：134.(2015·西宁高一检测)在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图.在球内任取一点p，则点p落在剩余几何体上的概率为.【解析】由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径r=5，圆柱底面半径r

12、=4，高h=6，故球体积v=43r3=5003，圆柱体积v1=r2·h=96，所以所求概率p=5003-965003=53125.答案：53125三、解答题(每小题10分，共20分)5.图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形abcd是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，求此长方体的体积.【解析】设长方体的高为h，则题图2中虚线围成的矩形长为2+2h，宽为1+2h，面积为(2+2h)(1+2h)，展开图的面积为2+4h.由几何概型的概率公式知2+4h(2+2h)(1+2h)=14，得h=3，所以长方体的体积

13、是v=1×3=3.6.如图，已知ab是半圆o的直径，ab=8，m，n，p是将半圆圆周四等分的三个分点.(1)从a，b，m，n，p这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率.(2)在半圆内任取一点s，求sab的面积大于82的概率.【解析】(1)从a，b，m，n，p这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：abm，abn，abp，amn，amp，anp，bmn，bmp，bnp，mnp，其中是直角三角形的只有abm，abn，abp 3个，所以组成直角三角形的概率为310.(2)连接mp，取线段mp的中点d，则odmp，易求得od=22，当s点在线段mp上时，sabs=12&

14、#215;22×8=82，所以只有当s点落在阴影部分时，sab面积才能大于82，而s阴影=s扇形mop-somp=12×2×42-12×42=4-8，所以由几何概型的概率公式得sab的面积大于82的概率为4-88=-22.【补偿训练】(2014·顺义模拟)已知关于x的一次函数y=ax+b.(1)设集合a=-2，-1，1，2和b=-2，2，分别从集合a和b中随机取一个数作为a，b，求函数y=ax+b是增函数的概率.(2)若实数a，b满足条件a-b+10,-1a1,-1b1,求函数y=ax+b的图象不经过第四象限的概率.【解析】(1)抽取全部结果所构成的基本事件空间为(-2，-2)，(-2，2)，(-1，-2)，(