高中数学人教A版必修四教学案：第二章 章末小结与测评 含答案

1、人教版高中数学必修精品教学资料1平面向量的线性运算及运算律(1)向量加法是由三角形法则定义的,要点是“首尾相连”,即向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点,分别为邻边作平行四边形,则同起点对角线的向量即为向量的和加法满足交换律、结合律(2)向量减法实质是向量加法的逆运算,是相反向量的作用几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量注意两向量要移至共起点(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积,实现同向或反向上向量长度的伸缩变换2向量共线及平面向量基本定理(1)共线向量定理：向量 a(a0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个

2、实数,使得 ba.共线向量定理是证明平行的主要依据,也是解决三点共线问题的重要方法特别地,平面内一点 p 位于直线 ab 上的条件是存在实数 x,使,或对直线外任意一点 o,有(2)平面向量基本定理：如果向量 e1,e2不共线,那么对于平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 1,2,使 a1e12e2.其中 e1,e2是平面的一组基底,e1,e2分别称为基向量由定理可知,平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来,而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底典例 1如图,梯形 abcd 中,abcd,点 m、 n 分别是 da、 bc 的中点,且dcabk,设e1,e2,以 e1、e2为基底

3、表示向量、对点训练(3)确定点 p 在边 bc 上的位置所以113，121，解得45，35.所以mn51，m2n5，解得m23，n53.即bppc2,p 是边 bc 上靠近 c 的三等分点.若 a(a1,a2),b(b1,b2),则ab(a1b1,a2b2)；ab(a1b1,a2b2)；a(a1,a2)；aba1b1a2b2；aba1b1,a2b2(r),或a1b1a2b2(b10,b20)；aba1b1a2b20；|a| aa a21a22；若为 a 与 b 的夹角,则cosab|a|b|a1b1a2b2a21a22b21b22.典例 2(1)已知点 a(1,3),b(4,1),则与向量同方

4、向的单位向量为()a.35，45b.45，35c.35，45d.45，35(2)已知向量 a(1,m),b(m,2), 若 ab, 则实数 m 等于()a 2b. 2c 2或 2d0(3)已知点 a(1,1)、b(1,2)、 c(2,1)、 d(3,4),则向量在方向上的投影为()a.3 22b.3 152c3 22d3 152解析：(1)由已知,得(3,4),所以|5,因此与同方向的单位向量是1535，45 .(2)ab 的充要条件的坐标表示为 12m20,m 2,选 c.(3)(2,1),(5,5),向量(2,1)在(5,5)上的投影为|cos,|答案：(1)a(2)c(3)a对点训练2(

5、1)若 a(3,6),b(5,2),c(6,y)三点共线,则 y()a13b13c9d9(2)已知向量 a(1,2),b(2,4),|c| 5,若(cb)a152,则 a 与 c 的夹角为()a30b60c120d150解析：(1)(8,8),(3,y6),8(y6)240.y9.(2)ab10,则(cb)acabaca10152,所以 ca52,设 a 与 c 的夹角为,则 cosac|a|c|525 512,又0,180,所以120.答案：(1)d(2)c1两向量的数量积及其运算律两个向量的数量积是 ab|a|b|cos,为 a 与 b 的夹角,数量积满足运算律：与数乘的结合律,即(a)b

6、(ab)；交换律,即 abba；分配律,即(ab)cacbc.2平面向量的数量积是向量的核心内容,向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系,而向量的夹角、长度是向量的数量特征3利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行,求两向量的夹角,计算向量的长度等典例 3已知 cmanb,c(2 3,2),ac,b 与 c 的夹角为23,bc4,|a|2 2,求实数 m,n 的值及 a 与 b 的夹角.解：c(2 3,2),|c|4.ac,ac0.bc|b|c|cos23|b|412 4,|b|2.cmanb,c2macnbc.16n(4)n4.在 cmanb 两边同乘以 a,得 08m4ab.在

7、cmanb 两边同乘以 b,得 mab12.由,得 m 6.ab2 6.cos2 62 2232.6或56.对点训练3.如图,在abc中,o为中线am上的一个动点,若am2,则的最小值是_答案：2(时间：120 分钟满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在五边形 abcde 中(如图),()解析：选 b.2已知平面向量 a(1,2),b(2,m),且 ab,则 2a3b()a(5,10)b(4,8)c(3,6)d(2,4)解析：选 bab,21m2,m4,b(2,4),2a3b2(1,2)3(2,

8、4)(4,8)3已知平面向量 a(1,3),b(4,2),若ab 与 a 垂直,则的值是()a1b1c2d2解析：选 a由题意可知(ab)aa2ba0.|a| 10,ab14(3)(2)10,10100,1.4若|a| 2,|b|2,且(ab)a,则 a 与 b 的夹角是()a.6b.4c.3d.2解析：选 b由于(ab)a,所以(ab)a0,即|a|2ab0,所以 ab|a|22,所以cosa,bab|a|b|22 222,即 a 与 b 的夹角是4.a.12b12c.32d326已知向量满足：|a|2,|b|3,|ab|4,则|ab|()a. 6b. 7c. 10d. 11解析：选 c由题

9、意|ab|2a2b22ab16,ab32.|ab|2a2b22ab10,|ab| 10.a内心b外心c垂心d重心p 是abc 的垂心8平面向量 a(x,3),b(2,1),c(1,y),若 a(bc),b(ac),则 b 与 c 的夹角为()a0b.4c.2d.34解析：选 c由题意知 bc(3,1y),ac(x1,y3),依题意得3x3（1y）0，x12（y3）0，解得x1，y2，c(1,2),而 bc21120,bc.9 已知 ad,be 分别为abc 的边 bc,ac 上的中线,设a,b,则等于()a.43a23bb.23a43bc.23a43bd23a43ba.0，3b.3，56c.2

10、，23d.23，5611已知 a(1, 3),ab,ab,若aob 是以 o 为直角顶点的等腰直角三角形,则aob 的面积是()a. 3b2c2 2d4解析：选 d由题意|且,所以(ab)2(ab)2且(ab)(ab)0,所以 ab0,且 a2b2,所以|a|b|2,所以 saob12|12（ab）2（ab）212（a2b2）24.12已知向量 m(a,b),n(c,d),p(x,y),定义新运算 mn(acbd,adbc),其中等式右边是通常的加法和乘法运算如果对于任意向量 m 都有 mpm 成立,则向量 p 为()a(1,0)b(1,0)c(0,1)d(0,1)解析：选 a因为 mpm,即

11、(a,b)(x,y)(axby,aybx)(a,b),所以axbya，aybxb，即a（x1）by0，ayb（x1）0.由于对任意 m(a,b),都有(a,b)(x,y)(a,b)成立所以x10，y0，解得x1，y0.所以 p(1,0)故选 a.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13已知向量 a(2x3,2x),b(3x,2x)(xr)则|ab|的取值范围为_解析：因为 ab(x,x2),所以|ab| x2（x2）2 2x24x4 2（x1）22 2,所以|ab| 2,)答案： 2,)14设 e1,e2为两个不共线的向量,若 ae1e2与 b(2e13e2)共线,则

12、实数等于_解析：因为 a,b 共线,所以由向量共线定理知,存在实数 k,使得 akb,即 e1e2k(2e13e2)2ke13ke2又因为 e1,e2不共线,所以12k，3k，解得32.答案：3215 在边长为 2 的菱形 abcd 中,bad60,e 为 cd 的中点,则_解析：以 a 为原点,ab 所在的直线为 x 轴,过 a 且垂直于 ab 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系则由 a(0,0),b(2,0),e(2, 3),d(1, 3,可得1.答案：1答案：1,4三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(10 分)已知平面向量 a(1,

13、x),b(2x3,x),xr.(1)若 ab,求 x 的值；(2)若 ab,求|ab|.解：(1)若 ab,则 ab(1,x)(2x3,x)1(2x3)x(x)0.整理得 x22x30,解得 x1 或 x3.(2)若 ab,则有 1(x)x(2x3)0,即 x(2x4)0,解得 x0 或 x2.当 x0 时,a(1,0),b(3,0),ab(2,0),|ab|2；当 x2 时,a(1,2),b(1,2),ab(2,4),|ab| 4162 5.综上所述,|ab|为 2 或 2 5.18(12 分)设向量 a(cos,sin)(02),b12，32 ,且 a 与 b 不共线(1)求证：(ab)(

14、ab)；(2)若向量3ab 与 a 3b 的模相等,求角.解：(1)证明：由题意,得 abcos12，sin32 ,abcos12，sin32 ,因为(ab)(ab)cos214sin234110,所以(ab)(ab)(2)因为向量3ab 与 a 3b 的模相等,所以( 3ab)2(a 3b)2,所以|a|2|b|22 3ab0,因为|a|1,|b|1223221,所以|a|2|b|2,所以 ab0,所以12cos32sin0,所以 tan33,又因为 02,所以6或76.19 (12 分)如图,平行四边形 abcd 中,a,b,h,m 是 ad,dc 的中点,bf13bc,(1)以 a,b

15、为基底表示向量(2)若|a|3,|b|4,a 与 b 的夹角为 120,求解：(1)m 为 dc 的中点,(2)由已知得 ab34cos 1206,12a21112 ab16b212321112(6)1642113.20(12 分)在边长为 1 的正abc 中,ad 与 be 相交于点 f.解：(1)由题意,d 为 bc 边的中点,而abc 是正三角形,所以 adbc,12(ab)23ba13b212a216ab131216111214.根据平面向量的基本定理有22（1），2（1）23，解得4.21 (12 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ,o 为 坐 标 原 点 , 已 知 向 量 a ( 1,2), 又 点a(8,0),b(n,t),c(ksin,t)02 .t2ksin16.tsin(2ksin16)sin2ksin4k232k,k4,14k0,当 sin4k时,tsin取最大值为32k.由32k4,得 k8,此时6,(4,8),(8,0)(4,8)32.22 (12分 ) 已 知e1,e2是 平 面 内 两 个 不 共 线 的 非 零 向量,且 a,e,c 三点共线(1)求实数的值；(2)若 e1(2,1),e