高等数学ch03第5讲

1、第三章第五讲第三章第五讲一一. .曲线的凹凸性及拐点曲线的凹凸性及拐点. .二二. .曲线的渐近线曲线的渐近线. .三三. .描绘函数图形描绘函数图形. .(一一)曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方abc)(xfy 曲线的凹凸性及拐点曲线的凹凸性及拐点一一.;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121内的图形是凹的内的图形是凹的在在那末称那末称恒有恒有两点两点内任

2、意内任意如果对如果对内连续内连续在在设设baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),(212121内的图形是凸的内的图形是凸的在在那末称那末称恒有恒有内任意两点内任意两点如果对如果对baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf定义定义xyo)(xfy xyo)(xfy abab递增递增)(xf abba0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(

3、,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在二阶导数二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf (二二)曲线凹凸的判曲线凹凸的判定定 2121xxbaxx1，且设，且设，：任取：任取证明证明 由拉氏中值公式由拉氏中值公式，则则，记记,hxxhxxhxxxxx2xx02011002021 10 ,hhxfhxfxf10 ,hhxfxfhxf2200011000 hhxfhxfxf2hxfhxf2010000 上再应用拉氏公式得上再应用拉氏公式得，在在对对hxhxxf1020 ,hfhhxfhxf22120

4、10 , 0 xf2hxfhxf, 0f000 ，即即000 xf2hxfhxf .2xxf2xfxf2121 即即 上的图形是凹的上的图形是凹的，在在baxfy 例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,(时，时，当当0 x, 0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线), 0 .)0 , 0(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点注意到注意到,(三三)曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点曲线的拐点.定理定理 2 2 如果如果)(x

5、f在在),(00 xx内存在二阶导内存在二阶导数数, ,则点则点 )(,00 xfx是拐点的必要条件是是拐点的必要条件是0)(0 xf. .1.1.定义定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.2.拐点的求法拐点的求法例例2 2.1x4x3y34的拐点及凹、凸的区间的拐点及凹、凸的区间求曲线求曲线 解解),(: d,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32, 0

6、,0 ,(凹凸区间为凹凸区间为例例3 3.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx , 0,)0 ,( y内内但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上是凸的上是凸的曲线在曲线在.)0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 二二.曲线的渐近线曲线的渐近线.)x( fyl,lp,p)x( fy一条渐近线一条渐近线的的就称为曲线就称为曲线那么直线那么直线趋向于零趋向于零的距离的距离到某定直线到某定直线如果点如果点移向无穷点时移向无穷点时沿着曲线沿着曲线上

7、的一动点上的一动点当曲线当曲线定义定义 1.1.铅直渐近线铅直渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线垂直于垂直于 x.)()(lim)(lim000的一条铅直渐近线的一条铅直渐近线就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :. 3, 2 xx2.2.水平渐近线水平渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线平行于平行于 x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy3

8、.3.斜渐近线斜渐近线.)(),(0)()(lim0)()(lim的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜渐近线求法斜渐近线求法:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy ;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx ,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不存在斜渐近线不存在斜渐近线可以断定可以断定xfy 例例1 1.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(

9、:d )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 x2)1x()3x)(2x(2limx 1x)1x(x2)3x)(2x(2limx , 4 .42是曲线的一条斜渐近线是曲线的一条斜渐近线 xy的两条渐近线如图的两条渐近线如图1)3)(2(2)( xxxxf三三. .描绘函数图形描绘函数图形 用微分法描绘函数图形的步骤是用微分法描绘函数图形的步骤是: :(1)(1)确定函数的定义域确定函数的定义域(2)(2)研究函数的对称性研究函数的对称性. .(3)(3)研究函数的增减和极值情况

10、研究函数的增减和极值情况(4)(4)研究曲线的凹凸和拐点研究曲线的凹凸和拐点. .(5)(5)求渐近线方程求渐近线方程. .(6)(6)求参考点坐标求参考点坐标.(7)(7)画图画图. .(三三)作图举例作图举例例例2 2.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解, 0: xd非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得驻点得驻点, 0)( xf令令. 3 x得得特特殊殊点点2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y得水平渐近线得水平渐近线2)1(4lim)(lim200 x

11、xxfxx, . 0 x得得铅铅直直渐渐近近线线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点3 )926, 3( :补补充充点点);0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( a),6 , 1(b).1 , 2(c作图作图xyo2 3 2111 2 3 6abc例例3 3.21)(22的图形的图形作函数作函数xex 解解),(:d偶函数偶函数, 图形关于图形关于y轴对称轴对称.,2)(22xexx ,

12、0)( x令令, 0 x得驻点得驻点, 0)x( 令令. 1, 1 xx得得特特殊殊点点. 4 . 021)(0: xw.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex , 0 . 0y 得水平渐近线得水平渐近线x)1,( ), 1( )0 , 1( 1 )1 , 0()(x )(x 00)(x 01 拐点拐点极大值极大值 21)21, 1(e 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:0拐点拐点)21, 1(e xyo11 212221)(xex 例例4 4.1)(23的图形的图形作函数作函数 xxxxf解解),(:d无奇偶

13、性及周期性无奇偶性及周期性.),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf, 0)( xf令令. 1,31 xx得驻点得驻点, 0)( xf令令.31 x得特殊点得特殊点:补补充充点点),0 , 1( a),1 , 0(b).85,23(c列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 极小值极小值0 xyo)1 , 0(b)85,23(c11 3131 123 xxxy一、一、 填空题：填空题：1 1、 曲线曲线xey1 的水平渐