高等数学微积分期末试卷及答案

1、选择题(6X2)1 .设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0,)内()。 22Af(x)是增函数，g(x)是减函数Bf(x)是减函数，g(x)是增函数C二者都是增函数D二者都是减函数2 、 x0时,e2x cosx与sinx相比是()A高阶无穷小B低阶无穷小 C等价无穷小D同阶但不等价无价小13、x = 0 是函数 y = ( 1 -sinx) x的()A连续点 B可去间断点C跳跃间断点D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为()1nA X n ( 1)nB Xn sin n21 ,1C X n n(a 1) D Xn cos an5、若f "(x)在

2、X0处取得最大值，则必有()Af<X0) oBf/(X0) oCf/(X0) 0且f"( Xo)<0Df”(X。)不存在或 f'(X0) 0w 口6、曲线 y xex ()A仅有水平渐近线B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线D既有铅直渐近线16 DDBDBD一、填空题一 ,、11、d ) = dxx +12、求过点(2, 0)的一条直线，使它与曲线y=相切。这条直线方程为:X2、3、函数y= 的反函数及其定义域与值域分别是：2、+ 14、y =火的拐点为：2,5、若lim二2,则a, b的值分别为：x 1 x + 2x-3.3- 2. X -一1 In x 1

3、 ；2 y x 2x ； 3 y log2,(0,1), R; 4(0,0)x m 1 mlim2x 1 x 347,a 61 x(x 1)(x m) lim5 解：原式=x 1 (x 1)(x 3)m 7 b二、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小（）2、limsn上在区间（,）是连续函数（） x 0 x3、f"（x 0）=0一定为 f（x）的拐点（）4、若f（X）在x 0处取得极值，则必有 f（x）在x 0处连续不可导（）5、设 函 数 f (x) 在f'(x) 0令Af'(0) , B f'(1),C15 FFFFT0,1 上 二 阶 可 导 且f(1)

4、 f (0),则必有 A>B>C()三、计算题12 21用洛必达法则求极限lim x ex x 01e 一，、ex斛：原式=lim x 0 1xlimx 01ex ( 2x2x 33)1lim ex x 02 若 f(x) (x3 10)4，求f”(0)f '(x) 4(x3 10)3 3x2 12x2(x3 10)3329Q9922420333343解：f ''(x) 24x (x 10)12x 3 (x 10) 3x 24x (x 10)108x (x 10)f ''(x) 0423 求极限 lim(cos x)x4 2I ncosx解：

5、原式=lim ex4 Incosx lim Fex 0Qlim 42x 0x2In cosx lim x 0In cosxlimx 01 , 、 (sin x) cosxxlimx 0tanx. x limx 0 x原式解：Iny'14 求 y (3x2x51)3土的导数1 31n21ny15y5 In 3x33112(1)2(x 2)tan3xdx解：原式=tan2xtan xdx2(sec x1)tanxdx=sec2xtan xdxtan xdxtan xd tan xtan xd tan xsin x , dxcosx1.d cos x cosx= 1tan2x In cosx

6、 26 求 xarctanxdxx 0解： 原式=1 arctanxd(x2) 1(x2arctanx2' ' 2x2d arctanx)= 1(x2 arctanx21 12 dx) xx2 arctanx21 x , x arctanx c22四、证明题。1、证明方程x3 x 1 0有且仅有一正实根。证明：设f(x) x3 x 1Q f (0)1 0, f (1) 1 0,且f (x)在 0,1 上连续至少存在(0,1)，使得f '( ) 0即f(x)在(0,1)内至少有一根，即f(x) 0在(0,)内至少有一实根假设f(x) Oft (0,)有两不同实根x1,x2

7、,x2 x1Q f (x)在x2, x2上连续,在(x2, x2)内可导且 f(x1) f (x2) 0至少(x2,x2) , s tf ( ) 0而f '( ) 3 2 1 1与假设相矛盾方程x3 x 1 0有且只有一个正实根2、证明 arcsinxarccosx 一( 1 x 12证明:设f(x)1f '(x)21 xarcsinx arccosx1= 0,x1,11 x2f (x) c f (0) arcsin0arccos01)一2f (1) arcsin1 arccos1 一 21,1f ( 1) arcsin( 1) arccos(综上所述，f(x) arcsinx

8、 arccosx 一，x 2五、应用题1、描绘下列函数的图形21y x - x 解：1.Dy=(-1 2.y'=2x-3 x令y' 0得x,0) (0,+ )2x3 1 x32y'' 2令y”2x0,得x3.X(-1(10)0(o?VoJ)(演*)Y1不存 在十Y"+0十+y四拐点 t-1./凸,匹极小/凹7、，17 -94.补充点(2,2).( 2, -).(1,2).(2,-)5lim f(x) , f(x)有铅直渐近线x 0x 06如图所示:2.讨论函数f(x) x2 Inx2的单调区间并求极值解：Df (x) R2 2(x 1)(x I),小 f '(x) 2x (x 0)x x令 f'