趋势外推预测方法

1、2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅1第七章第七章 趋势外推预测方法趋势外推预测方法 v7.1 7.1 趋势外推预测法概述趋势外推预测法概述v7.2 7.2 多项式曲线法多项式曲线法v7.3 7.3 指数曲线法指数曲线法 v7.4 7.4 修正指数曲线法和双指数曲线法修正指数曲线法和双指数曲线法v7.5 7.5 生长曲线法生长曲线法v7.6 7.6 增长型曲线模型的识别方法增长型曲线模型的识别方法 v7.7 7.7 增长型曲线模型的参数估计增长型曲线模型的参数估计v7.8 7.8 包络曲线法包络曲线法2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅27.1 7.1 趋势外推预测法概述趋势外

2、推预测法概述v 统计资料表明，大量社会经济现象的发展主要是渐进型的，统计资料表明，大量社会经济现象的发展主要是渐进型的，其发展相对于时间具有一定的规律性。其发展相对于时间具有一定的规律性。v 趋势外推预测方法，趋势外推预测方法，是根据事物的历史和现实数据，寻求事是根据事物的历史和现实数据，寻求事物随时间推移而发展变化的规律，从而推测其未来状况的一物随时间推移而发展变化的规律，从而推测其未来状况的一种常用的预测方法种常用的预测方法。v 趋势外推法的趋势外推法的假设条件假设条件是：是： (1)假设事物发展过程假设事物发展过程没有跳跃式变化没有跳跃式变化，即事物的发展变化是渐进型，即事物的发展变化是

3、渐进型的。的。 (2)假设所研究假设所研究系统的结构、功能等基本保持不变系统的结构、功能等基本保持不变，即假定根据过去，即假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合未来，能代表未来趋势变化的情况。资料建立的趋势外推模型能适合未来，能代表未来趋势变化的情况。2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅3v 由以上两个假设条件可知，趋势外推预测法是事物发展渐由以上两个假设条件可知，趋势外推预测法是事物发展渐进过程的一种统计预测方法。简言之，就是进过程的一种统计预测方法。简言之，就是运用一个数学运用一个数学模型，拟合一条趋势线，然后用这个模型外推预测未来时模型，拟合一条趋势线，然后用这个模型外推预测未

4、来时期事物的发展期事物的发展。v 趋势外推预测法主要利用趋势外推预测法主要利用描绘散点图的方法描绘散点图的方法(图形识别图形识别)和和差分法计算差分法计算进行模型选择。进行模型选择。v 主要主要优点优点是：可以揭示事物发展的未来，并定量地估价其是：可以揭示事物发展的未来，并定量地估价其功能特性。功能特性。v 趋势外推预测法比较趋势外推预测法比较适合中、长期新产品预测适合中、长期新产品预测，要求有至，要求有至少少5年的数据资料。年的数据资料。2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅4v 趋势外推法首先由趋势外推法首先由R.赖恩（赖恩（Rhyne）用于科技预测。他认）用于科技预测。他认为，应用

5、趋势外推法进行预测，主要包括以下为，应用趋势外推法进行预测，主要包括以下6个步骤个步骤：（1）选择预测参数；）选择预测参数；（2）收集必要的数据；）收集必要的数据；（3）拟合曲线；）拟合曲线；（4）趋势外推；）趋势外推；（5）预测说明；）预测说明；（6）研究预测结果在制订规划和决策中的应用。）研究预测结果在制订规划和决策中的应用。v 趋势外推法是在对研究对象过去和现在的发展作了全面分趋势外推法是在对研究对象过去和现在的发展作了全面分析之后，利用某种模型描述某一参数的变化规律，然后以析之后，利用某种模型描述某一参数的变化规律，然后以此规律进行外推。此规律进行外推。v 为了拟合数据点，为了拟合数据

6、点，实际中最常用的是一些比较简单的函数实际中最常用的是一些比较简单的函数模型模型，如线性模型、指数曲线、生长曲线、包络曲线等。，如线性模型、指数曲线、生长曲线、包络曲线等。 2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅5v 趋势外推预测可以趋势外推预测可以分为两大类分为两大类： 时间序列趋势外推预测时间序列趋势外推预测 增长型曲线外推预测增长型曲线外推预测v 本章主要讲述增长型曲线外推预测，并对时间序列趋势外本章主要讲述增长型曲线外推预测，并对时间序列趋势外推预测进行简单回顾（推预测进行简单回顾（ 7.1 ）。）。v 时间序列趋势外推预测又可以分为时间序列趋势外推预测又可以分为： 样本序列具有

7、水平趋势的外推预测法样本序列具有水平趋势的外推预测法 样本序列具有非水平趋势的外推预测法样本序列具有非水平趋势的外推预测法 样本序列具有线性趋势的外推预测法样本序列具有线性趋势的外推预测法 样本序列具有线性趋势和季节波动的外推预测法样本序列具有线性趋势和季节波动的外推预测法2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅6v1、样本序列具有水平趋势的外推预测法、样本序列具有水平趋势的外推预测法 （1）朴素预测法）朴素预测法 （2）平均数预测法）平均数预测法v2、样本序列具有非水平趋势的外推预测法、样本序列具有非水平趋势的外推预测法 （1）加权移动平均法）加权移动平均法式中，式中， 为加权因子，满足

8、为加权因子，满足1ttyy111() /nnnyyyyny101111nnnNn Nyyyy011,N 101Nii2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅7 （2）一次指数平滑预测法）一次指数平滑预测法v3、样本序列具有线性趋势的外推预测法、样本序列具有线性趋势的外推预测法 （1）二次移动平均值预测法（即趋势移动平均法）二次移动平均值预测法（即趋势移动平均法）(1)(1)1(1)1(1)(1)tttttttSySySyy(1)11(2)(1)(1)(1)11(1)(2)(1)(2)() /() /22()1tttt Ntttt Nt TttttttttMyyyNMMMMNyabTaMMb

9、MMN2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅8 (2)二次指数平滑预测法二次指数平滑预测法(1)(1)1(2)(1)(2)1(1)(2)(1)(2)(1)(1)2()1ttttttt TttttttttSySSSSyabTaSSbSS2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅9v4、样本序列具有线性趋势和季节波动的外推预、样本序列具有线性趋势和季节波动的外推预测法测法 经济时间序列一般可以分解为四个因素：长期趋势经济时间序列一般可以分解为四个因素：长期趋势T、周期变动周期变动C、季节因素、季节因素S和随机因素和随机因素I，并有如下三种，并有如下三种模型：模型： 乘法模型：乘法模型： Y

10、=TCSI 加法模型：加法模型： T=T+C+S+I 混合模型：混合模型： Y=TC+SI 下面，分别介绍下面，分别介绍加法型加法型和和乘法型乘法型序列的趋势外推预测序列的趋势外推预测方法。方法。2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅10 （1）加法型序列的外推预测法）加法型序列的外推预测法假设样本序列为假设样本序列为 序列序列yt是加法型，即是加法型，即12,ny yy1234441,0,1,2,1,2,3,4;ttttttttiiitityTSTSTSSSSSSSti式中， ， ， 均具有相同的量纲;有线性趋势;， ， ，为季节分量，服从N(0, )分布 满足，为独立的随机变量序列，

11、服从N(0, )分布。2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅11求求yn+T的预测值，预测步骤如下：的预测值，预测步骤如下：第一步，对样本序列做第一步，对样本序列做时段长为时段长为3的滑动平均的滑动平均，消去随机，消去随机干扰，记滑动平均后的序列为干扰，记滑动平均后的序列为 第二步，对第二步，对 求出趋势线求出趋势线第三步，将序列第三步，将序列yt消除线性趋势因素的影响消除线性趋势因素的影响，求出消去趋，求出消去趋势影响后的序列值势影响后的序列值Mt 第四步，将第四步，将Mt值值按季节次序重排按季节次序重排，如下表，如下表1所示，在此假所示，在此假定定t=1代表春季，代表春季，n=20.

12、 ty12() /33,1ttttyyyytn,3,1tytntTabttttMyT2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅12 对表对表7.1.1各列算出平均值，依序记为各列算出平均值，依序记为 ，分，分别表示别表示样本序列的季节指数样本序列的季节指数。 表表7.1.11234,S S S S2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅13第五步，第五步，对样本季节指数进行检验对样本季节指数进行检验，若，若 ，则符合季节，则符合季节指数的条件，否则指数的条件，否则 ，则需对样本季节指数进行修正。，则需对样本季节指数进行修正。 修正的方法是修正的方法是：若：若 ，则将每个，则将每个 减去减

13、去3/4，即令标，即令标准化的季节指数为准化的季节指数为Si：那么有那么有第六步，第六步，运用已求得的运用已求得的Tt，Si 即可进行预测即可进行预测，由于，由于 是不可预是不可预测的随机干扰，由此得到测的随机干扰，由此得到 410iiS410iiS413iiSiS3/ 4iiSS444111(3/ 4)30iiiiiiSSSt4()()()1,2,3,4n Tn Tn Tn TiniyTSab nTSab nTSab nTSi2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅14v 例：例：某市的啤酒销售量有如表某市的啤酒销售量有如表7.1.2的数据序列，试求出第的数据序列，试求出第21，22，2

14、3，24季度的啤酒销售量的预测值。季度的啤酒销售量的预测值。 表表7.1.22021-11-13华北电力大学工程造价刘梅15v解：解：第一步，第一步，按滑动时段长按滑动时段长N=3，求出序列的滑动平均，求出序列的滑动平均值，削去随机干扰，显出趋势求出趋势线的方程值，削去随机干扰，显出趋势求出趋势线的方程第二步，计算第二步，计算 ，并将，并将Mt按季节排列，如按季节排列，如表表7.1.3所示，由于所示，由于 ，故需对故需对 进行修正，修正后的进行修正，修正后的 ，即，即第三步，进行预测，第三步，进行预测，252tTttttMyT415.64.46.261iiS iS1/4iiSS12345.35

15、,4.65,6.45,5.75SSSS ()n Tn Tyab nTS212112222223233242442522167675.3561.652522267694.6573.652522367716.4577.452522467735.7567.25ySSySSySSySS2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅16表表7.1.32021-11-13华北电力大学工程造价刘梅17 （2）乘法型序列的外推预测法）乘法型序列的外推预测法 设设样本序列为样本序列为 ，外推预测公式可表示为，外推预测公式可表示为现介绍求现介绍求 估计值估计值 的传统分解方法。的传统分解方法。第一步，对第一步，对y

16、t序列值序列值分解出长期趋势因素分解出长期趋势因素。假设季节长度。假设季节长度为为4，只要将序列，只要将序列作滑动长度为作滑动长度为4的滑动平均时的滑动平均时，即可消，即可消除随机干扰和季节波动影响。记滑动平均值为除随机干扰和季节波动影响。记滑动平均值为则滑动平均后的序列，即为线性趋势因素，故有则滑动平均后的序列，即为线性趋势因素，故有 12,ty yytttyTS,ttT S,ttT S123() / 4tttttyyyyy123() / 4ttttttyyyyyTttttyTSe（2 -1 ）（2 -2 ）2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅18第二步，第二步，对对yt分解出季节因

17、素与随机因素分解出季节因素与随机因素，根据，根据以以 去除去除yt，得到，得到该式只含季节因素和随机因素两个分量。该式只含季节因素和随机因素两个分量。第三步，第三步，从从 中分解出季节因素中分解出季节因素St。 由于由于 ，故可采用平均的方法可以消除随机性影，故可采用平均的方法可以消除随机性影响。但简单的平均可能把季节影响也消除掉，因此，为保留响。但简单的平均可能把季节影响也消除掉，因此，为保留季节性影响，可将序列季节性影响，可将序列(2-3)式按春、夏、秋、冬顺序逐年逐式按春、夏、秋、冬顺序逐年逐季排列，然后，季排列，然后，将各年相同季节的将各年相同季节的 相加起来进行平均，相加起来进行平均

18、，这就达到了保留季节性，消除随机性的目的。这就达到了保留季节性，消除随机性的目的。 tyttttyTSe/ttttttttyyTSeTSettSe（2 -3 ）( )0tEttSe2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅19表表7.1.4例如，有表例如，有表7.1.4的的 数值表，将数值表，将该表的春季这一栏的值相加求平均值，该表的春季这一栏的值相加求平均值，就得到了消除随机性的春季季节指数就得到了消除随机性的春季季节指数。类似可以求出夏、秋、冬各季的。类似可以求出夏、秋、冬各季的季节指数。分别记为：季节指数。分别记为：将这些值相加，得到将这些值相加，得到 ，与标准的季节指数和，与标准的季

19、节指数和 有差有差异，这是由于样本的随机性所致。为使所求的季节指数比较接近标准的异，这是由于样本的随机性所致。为使所求的季节指数比较接近标准的季节指数，必须对上述样本季节指数进行调整，使季节指数，必须对上述样本季节指数进行调整，使调整后的季节指数总调整后的季节指数总和恰为和恰为400。通过调整，季节指数的含义更加明显了。通过调整，季节指数的含义更加明显了。ttS e234113.32,109.86,76.74,104.72iSSSS41404.64iiS41400iiS2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅20第四步，运用第四步，运用(2-2)式的滑动平均后得到的数据序列，建立式的滑动平

20、均后得到的数据序列，建立线性趋势方程，记为线性趋势方程，记为第五步，根据第三、四两步得到的季节指数第五步，根据第三、四两步得到的季节指数St和和Tt，即可按，即可按要求进行预测，预测公式是要求进行预测，预测公式是tTabt41,2,3,44 ,n Tn Timn TiyTSTSinTim m 其中：为整数2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅21v例：例：某地某种服装的销售量有下述季度销售数据，某地某种服装的销售量有下述季度销售数据，见表见表7.1.5。根据表。根据表5的数据，绘制出销售量依时的数据，绘制出销售量依时间变化的图形间变化的图形(见图见图7.1.1)。从图形可以明显地看出，序

21、列呈季节性变化，季节从图形可以明显地看出，序列呈季节性变化，季节长度为长度为4。此外，序列有线性长期趋势，按乘法。此外，序列有线性长期趋势，按乘法型序列外推预测法的基本原理，其模式为型序列外推预测法的基本原理，其模式为试求试求2000年春、夏、秋、冬各季某种服装的销售量年春、夏、秋、冬各季某种服装的销售量预测值。预测值。ttttyTSe2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅22表表7.1.52021-11-13华北电力大学工程造价刘梅23图图7.1.12021-11-13华北电力大学工程造价刘梅24v解：解：第一步，根据表第一步，根据表7.1.5的数据，进行滑动时段长为的数据，进行滑动时

22、段长为4的滑动平的滑动平均，得到如表均，得到如表7.1.6的滑动平均值。这些数值消除了季节的滑动平均值。这些数值消除了季节波动与随机干扰的影响，显示出序列的趋势变化，见表波动与随机干扰的影响，显示出序列的趋势变化，见表7.1.6中中Tt列中的数据。列中的数据。 第二步，将表第二步，将表7.1.6中中yt列中的数据除以列中的数据除以Tt列中的数据，即得列中的数据，即得到到 列的数据，这表示已将列的数据，这表示已将 从从yt中分离出来。中分离出来。第三步，从第三步，从 序列中消除随机性的影响，分离出季节因序列中消除随机性的影响，分离出季节因素。素。ttS ettSettSe2021-11-13华北

23、电力大学工程造价刘梅25表表7.1.62021-11-13华北电力大学工程造价刘梅26表表7.1.72021-11-13华北电力大学工程造价刘梅27将表将表7.1.6中中 列的数据，按年、季重排，如列的数据，按年、季重排，如表表7.1.7，然，然后，分别计算各季度的均值，这样便消去了随机性，保留后，分别计算各季度的均值，这样便消去了随机性，保留了季节性。各列的平均值，即为各季的季节指数，又称为了季节性。各列的平均值，即为各季的季节指数，又称为样本季节指数，对各样本季节指数求总得样本季节指数，对各样本季节指数求总得与标准季节指数有差异，因此，要作必要的调整，调整的方与标准季节指数有差异，因此，要

24、作必要的调整，调整的方法是将法是将 乘以修正系数乘以修正系数 由此，得到调整后的季节指数为由此，得到调整后的季节指数为 ttSe414.0354iiSiS414/4/ 4.0350.991iiS12340.9490.9910.9420.8620.9910.8541.0460.9911.0371.1780.9911.167SSSS2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅28第四步，求出趋势直线方程第四步，求出趋势直线方程参数参数 的求估，可用目估法或最少二乘法求出。的求估，可用目估法或最少二乘法求出。用目估法求得用目估法求得 ，则有，则有第五步，进行预测，第五步，进行预测，2000年春季相当

25、于第年春季相当于第37季度，由此得季度，由此得到到2000年各季度某种服装的销售量预测值为年各季度某种服装的销售量预测值为 tTabt, a b79,2.5ab792.5tTt12000220003200042000161.55148.6183.0340208.89ySySySyS春夏秋冬（79+2.5 37）（79+2.5 38）（79+2.5 39）（79+2.5）2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅29v 时间序列的基本特征时间序列的基本特征是：其数值是依时间的变化而变化，是：其数值是依时间的变化而变化，起伏交替，有起有伏的，有些有某种变化趋势。起伏交替，有起有伏的，有些有某种变

26、化趋势。v 增长型曲线增长型曲线是描绘技术或经济领域中的某些指标是描绘技术或经济领域中的某些指标依时间变依时间变化而呈现出增长化而呈现出增长(下降下降)规律性的一种曲线规律性的一种曲线。v 在取得技术、经济指标的样本序列之后，通过建模，进行在取得技术、经济指标的样本序列之后，通过建模，进行外推预测，是一种常用的预测方法。外推预测，是一种常用的预测方法。 如新技术、新产品的发展和更新换代过程，需求增长规律等均可如新技术、新产品的发展和更新换代过程，需求增长规律等均可以增长型曲线来描绘。以增长型曲线来描绘。v 从第二节开始将介绍增长曲线的基本类型和特征，增长曲从第二节开始将介绍增长曲线的基本类型和

27、特征，增长曲线模型的识别方法及其参数估计，最后给出预测的案例。线模型的识别方法及其参数估计，最后给出预测的案例。 2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅30 7.2 7.2 多项式曲线法多项式曲线法v 这种增长曲线，是一些这种增长曲线，是一些不同次数的多项式不同次数的多项式。v 一般的，一般的，k次多项式为次多项式为 ：上列多项式中，上列多项式中， 均是模型参数，均是模型参数，t是时间变量，是时间变量，yt是经济指标值。是经济指标值。若若k不超过不超过3，则参数，则参数 有明显的经济意义有明显的经济意义，a0为为t=0时序列的初始值，时序列的初始值，a1可解释为增长的变化速度，可解释为增

28、长的变化速度，a2为加为加速度，速度，a3为加速度的变化率。为加速度的变化率。2012ktkyaa ta ta t012,ka a aa0123,a a a a2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅311、若增长曲线是一次多项式若增长曲线是一次多项式，则由，则由是常量，表明是常量，表明yt依时间变化过程是一个均衡发展过程依时间变化过程是一个均衡发展过程。2、若增长曲线为二次多项式若增长曲线为二次多项式，其图像是二次抛物线。它分，其图像是二次抛物线。它分为两支，一支增长为正，一支增长为负。如为两支，一支增长为正，一支增长为负。如图图7.2.1所示。所示。因为：因为： 则，则，ut是一直线方

29、程是一直线方程，相应地，相应地是一常数，说明它的是一常数，说明它的二阶增长与时间变化无关二阶增长与时间变化无关。1tdyadt122ttdyaa tudt2222ttd yduadtdt2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅32图图7.2.1（a）（b）2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅33若以一阶差分若以一阶差分 代替一阶微分，二阶差分代替一阶微分，二阶差分 代替二阶微代替二阶微分，并记分，并记类似地以三阶差分代替三阶微分，那么，对三次多项式，就类似地以三阶差分代替三阶微分，那么，对三次多项式，就得到得到v 由此得到以下基本规律：若增长曲线为一次曲线，则一阶由此得到以下基本规

30、律：若增长曲线为一次曲线，则一阶差分为常量；若为二次抛物线，则二阶差分为常量，余此差分为常量；若为二次抛物线，则二阶差分为常量，余此类推。类推。 (1)tu(2)tu(1)112(2)(1)(1)1222ttttttttdyuyyadtd yuuuadt3(3)336ttd yuadt2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅347.3 7.3 指数曲线法指数曲线法v 许多系统特征数据序列，如反映技术进步或经济增长的时许多系统特征数据序列，如反映技术进步或经济增长的时间序列数据，在其间序列数据，在其未达到饱和状态之前的成长期内未达到饱和状态之前的成长期内，往往，往往遵循指数曲线增长规律。因此

31、，遵循指数曲线增长规律。因此，对发展中的事物，可以考对发展中的事物，可以考虑用指数曲线进行预测虑用指数曲线进行预测。v 指数曲线预测模型为：指数曲线预测模型为： 0,aaeybtt,0ttyab a其中，其中，a，b为模型参数；为模型参数；t为时间变量；为时间变量；yt为经济目标值。为经济目标值。2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅351、对于模型、对于模型当当a0时，若时，若b0，那么增长曲线，那么增长曲线yt随着随着t的增加无限制的增的增加无限制的增大；若大；若b0时，若时，若b1，那么增长曲线，那么增长曲线yt随着随着t的增加无限制的增大；的增加无限制的增大；若若0b0，yt以以

32、a为下渐近线；当为下渐近线；当b1， 0时时，有，有 均大于零，所以均大于零，所以 与与 均是增函数，增长曲线是均是增函数，增长曲线是yt是凸的。参见图是凸的。参见图7.5.1中中的曲线的曲线，它说明了预测目标值随时间的延长而不断地增加。，它说明了预测目标值随时间的延长而不断地增加。当当1b0， 0， 1， 0时，有时，有 0， 0，说明，说明 与与 均随均随t的增大而下降，因此，的增大而下降，因此，y随随t的增大而不断下降，参见图的增大而不断下降，参见图7.5.1中的曲线中的曲线。当当0b0时，有时，有 0，从而，从而 不断下降，其图像如图不断下降，其图像如图7.5.1中的曲线中的曲线所示。

33、所示。2、龚珀兹曲线的增长变化特征龚珀兹曲线的增长变化特征由由(7.5.1)式两边对式两边对t求微商，得求微商，得令令 ，代入上式，并两边取对数，代入上式，并两边取对数，即得即得 是是t的线的线性函数。性函数。 lga(lg)ty (lg)ty lgty(lg)ty lga(lg)ty (lg)ty lgtyttuylgttuy(ln )(ln )tttyab by2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅61龚珀兹曲线对数一阶差的比率表，见表龚珀兹曲线对数一阶差的比率表，见表7.5.2。当一组统计数据对数一阶差的比率大致相等时，就可选用龚当一组统计数据对数一阶差的比率大致相等时，就可选用龚

34、珀兹曲线进行预测。珀兹曲线进行预测。 2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅62v 例例7.5.1：某公司某公司19952003年的实际销售额资料如表年的实际销售额资料如表7.5.1所示。试利用龚珀兹曲线预测所示。试利用龚珀兹曲线预测2004年的销售额。年的销售额。 2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅63第一步，计算参数第一步，计算参数k，a和和b。即。即第二步，把第二步，把k，a和和b代入公式代入公式 ，即可得预测模型，即可得预测模型第三步，进行预测，即第三步，进行预测，即tbyka0.778210.73 0.4852ty 万元948. 94852. 073.1097782.

35、 02004y32.925473880.47132.73882.34290.7728bb 22310.77821lg2.73882.34290.31410.4713 110.4852baba 1110.4713 1lglg2.34290.31411.0306130.7782110.73nbkanbk 2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅64二、皮尔曲线模型（逻辑增长曲线模型）二、皮尔曲线模型（逻辑增长曲线模型）v 皮尔曲线皮尔曲线，多用于生物繁殖、人口发展统计，也适用于对，多用于生物繁殖、人口发展统计，也适用于对产品生命周期进行分析预测，尤其产品生命周期进行分析预测，尤其适用于适用于处

36、在成熟期处在成熟期的商的商品的市场需求饱和量品的市场需求饱和量(或称市场最大潜力或称市场最大潜力)的分析和预测的分析和预测。v 皮尔曲线函数模型为皮尔曲线函数模型为 ：1tbtkyae其中：其中：k，a，b是参数，是参数，k称为极限参数，它意味着称为极限参数，它意味着yt处于处于饱和状态时的值。其图像如图饱和状态时的值。其图像如图7.5.2所示。所示。（7.5.4）2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅65图图7.5.21、曲线性质、曲线性质如图如图7.5.2，这种曲线以其转折点，这种曲线以其转折点为中心，两边是对称数，为中心，两边是对称数，当当 ；当当 。因此，它有上、下两条渐近线因此

37、，它有上、下两条渐近线y=k与与y=0。 图图7.5.2描绘了这样一种发展过程描绘了这样一种发展过程：初始阶段发展是缓慢的，：初始阶段发展是缓慢的，接着是急剧的增长阶段，然后是一个平稳的发展时期，最后达接着是急剧的增长阶段，然后是一个平稳的发展时期，最后达到饱和状态。这是许多技术的发展或某些产品销售特性的表现到饱和状态。这是许多技术的发展或某些产品销售特性的表现形式。形式。例如，企业集团形成发展行为，技术创新扩散的基本规律，电视机、缝例如，企业集团形成发展行为，技术创新扩散的基本规律，电视机、缝纫机的普及过程等均遵从这种纫机的普及过程等均遵从这种S S型曲线的增长规律。型曲线的增长规律。 0t

38、ty 时，ttyk 时，2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅662、逻辑曲线的增长变化特征、逻辑曲线的增长变化特征为求出逻辑曲线的为求出逻辑曲线的增长变化特征增长变化特征，首先对，首先对(7.5.4)求导数，求导数，得到得到从而从而令令 ，对上式，对上式两边取对数两边取对数，得到，得到由此可见，由此可见， 是是t的线性函数。的线性函数。 2(1)bttbtkabeyae 21btttyabeyk2lglg(lg )ttuabbe tyk2lgttuyttuy2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅67参数参数k，a，b的求取：最常用的方法是倒数和法的求取：最常用的方法是倒数和法。对

39、式对式(7.5.4)两端取倒数，得：两端取倒数，得：式式(7.5.5)在形式上已与式在形式上已与式(7.2.1)表示的修正指数曲线相同表示的修正指数曲线相同。用倒数和法确定参数用倒数和法确定参数k，a，b的具体步骤为：的具体步骤为：(1)收集的历史统计数据的样本数要能够被收集的历史统计数据的样本数要能够被3整除，设为整除，设为(2)将收集到的数据分成每组数据个数相等的将收集到的数据分成每组数据个数相等的3组：组：11bttaeyk（7.5.5）123,ny yy1212221223,nnnnnnny yyyyyyyy：2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅68(3)对各组中的样本数据对各

40、组中的样本数据yt取倒数，用前述分组法步骤可进一取倒数，用前述分组法步骤可进一步求得步求得k，a，b的值的值。：1111211112211121223,nnnnnnnyyyyyyyyy12DD 记：记：2112nkDIDD2121DDDCLabnbbeeeC1121ln1DDnb 则：则：2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅69v 生长曲线模型（生长曲线模型（Growth curve models），），可以描述事物发生、发展和可以描述事物发生、发展和成熟的全过程成熟的全过程，是情报研究中常用的一种方法。，是情报研究中常用的一种方法。，开始几乎都是按指开始几乎都是按指数函数的规律增长的

41、。在达到一定的生物密度以后，由于自身和环境数函数的规律增长的。在达到一定的生物密度以后，由于自身和环境的制约作用，逐渐趋于一稳定状态。通过对技术发展过程的研究，发的制约作用，逐渐趋于一稳定状态。通过对技术发展过程的研究，发现也具有类似的规律。由于技术性能的提高与生物群体的生长存在着现也具有类似的规律。由于技术性能的提高与生物群体的生长存在着这种非严谨的类似，因而这种非严谨的类似，因而可用生长曲线模拟技术的发展过程可用生长曲线模拟技术的发展过程。v 生长曲线法生长曲线法，几乎可用来研究每个技术领域的发展，它不仅，几乎可用来研究每个技术领域的发展，它不仅可以描述可以描述技术发展的基本倾向技术发展的

42、基本倾向，而更重要的是，它，而更重要的是，它可以说明一项技术的增长由可以说明一项技术的增长由高速发展变为缓慢发展的转折时期，为规划决策确定开发新技术的恰高速发展变为缓慢发展的转折时期，为规划决策确定开发新技术的恰当时机提供依据当时机提供依据。v 有些经济现象也符合或近似生长曲线的变化规律，因而它也完全可以有些经济现象也符合或近似生长曲线的变化规律，因而它也完全可以用来用来2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅707.6 7.6 增长型曲线模型的识别方法增长型曲线模型的识别方法v在实际预测工作中，通过调查收集到按时间序列在实际预测工作中，通过调查收集到按时间序列变化的系列数据变化的系列数据

43、 之后，如何根据这之后，如何根据这些数据，建立增长曲线模型些数据，建立增长曲线模型?即在上述即在上述6种曲线中，种曲线中，选择哪一种模型最合适选择哪一种模型最合适?v这就是这就是增长曲线模型的识别问题。增长曲线模型的识别问题。v下面介绍几种识别方法。下面介绍几种识别方法。12,ny yy2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅711目估法（或图形识别法、散点图法）目估法（或图形识别法、散点图法）v 这种方法的这种方法的基本做法是：基本做法是：将调查观测得到的数据点绘在以将调查观测得到的数据点绘在以时间时间t为横轴，观测值或它的对数值为纵轴的坐标纸上，为横轴，观测值或它的对数值为纵轴的坐标纸

44、上，根据其变化动态构成的图像，选择合适的曲线。根据其变化动态构成的图像，选择合适的曲线。v 一般说来，一般说来，若动态序列接近一条直线，则选配直线模型若动态序列接近一条直线，则选配直线模型；若其对数值在半对数坐标纸上构成的图像接近一直线则选若其对数值在半对数坐标纸上构成的图像接近一直线则选配简单指数曲线配简单指数曲线。v 这种直观方法的这种直观方法的是：简单方便，是：简单方便，是：主观因素较是：主观因素较多，而且在很大程度上依赖于图形的大小。多，而且在很大程度上依赖于图形的大小。v 但是，但是，在序列的发展趋势及其构造比较简单的情况下在序列的发展趋势及其构造比较简单的情况下，目，目估法也常常能

45、得到比较满意的结果。估法也常常能得到比较满意的结果。 2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅722残差平方和最小的识别方法残差平方和最小的识别方法v 这种方法，这种方法，是以残差平方和最小作为识别增长曲线模型是以残差平方和最小作为识别增长曲线模型的最优准则的最优准则。 即：即： 最小。最小。v 这种方法看起来是比较科学的，这种方法看起来是比较科学的，排除了目估法中的主观因排除了目估法中的主观因素素，但在多项式曲线的模型识别中，用这种方法识别的曲，但在多项式曲线的模型识别中，用这种方法识别的曲线就线就。v 因为，它的因为，它的“最优最优”，只能说明历史数据的拟合情况只能说明历史数据的拟合情

46、况，而，而不能说明它的未来发展趋势，因此，不能说明它的未来发展趋势，因此，这种曲线在预测的前这种曲线在预测的前提下不一定是最优的提下不一定是最优的。 2211()nniiiiiQeyy2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅733增长特征法增长特征法v 所谓增长特征法，就是以研究动态序列的增长变化特征与所谓增长特征法，就是以研究动态序列的增长变化特征与增长曲线的相应特征为基础的一种识别方法增长曲线的相应特征为基础的一种识别方法。v 其基本点就是，其基本点就是，选择增长曲线在理论上的变化规律与样本选择增长曲线在理论上的变化规律与样本序列的实际变化规律最接近的一种曲线作为选择的最优曲序列的实际

47、变化规律最接近的一种曲线作为选择的最优曲线线。v 此法的应用步骤如下：此法的应用步骤如下： (1)计算样本序列的滑动平均值计算样本序列的滑动平均值。采取这一步骤的主要。采取这一步骤的主要目的是消除样目的是消除样本序列的随机干扰成分本序列的随机干扰成分，以突出序列本身的固有趋势。，以突出序列本身的固有趋势。 滑动平均值的计算公式是：滑动平均值的计算公式是：21tpii t ptyyp 式中：式中：2p+1称为滑动时段长，其大小由实际经验确定。称为滑动时段长，其大小由实际经验确定。 2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅74 (2)计算序列的平均增长计算序列的平均增长。平均增长的计算公式为。

48、平均增长的计算公式为当当 直线方程直线方程 中，中，b表示平均增长表示平均增长，故它的计算公，故它的计算公式是：式是：2pt iiptpipiyui1121122232112322221222221 1232233321 123tttttttttttttttyypuyyyypuyyyyyypu 时，时，时，tyabt2/ppttptpbtyt2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅75 (3)计算样本序列的增长特征。计算样本序列的增长特征。在在7.2-7.5节中，介绍了增长曲线的不同类型及其节中，介绍了增长曲线的不同类型及其特征，我们可以根据这些特征，识别样本序列属于特征，我们可以根据这些

49、特征，识别样本序列属于何种增长曲线类型。何种增长曲线类型。为消除随机干扰的影响，序列值为消除随机干扰的影响，序列值 应以经过滑动应以经过滑动平均后的值平均后的值 代替，代替，序列的增长值序列的增长值 应以平均增长应以平均增长值值 代替代替。 根据根据7.2-7.5介绍的增长曲线特征，得到如下的增长介绍的增长曲线特征，得到如下的增长曲线模型识别表，见表曲线模型识别表，见表7.6.1。tututyty2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅76表表7.6.1 增长曲线模型识别表增长曲线模型识别表2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅77例：例：已知某地的卷烟生产有如下的产量记录已知某地的

50、卷烟生产有如下的产量记录(见表见表7.6.2) ，识别其增长曲线类型。识别其增长曲线类型。表表7.6.2解：解：采用采用增长特征法增长特征法进行识别。进行识别。首先，以三年滑动平均值作首先，以三年滑动平均值作 值，然后以值，然后以 计算平均增长，得到如计算平均增长，得到如表表7.6.3所列的序列所列的序列 与与 。从表从表7.6.3可见，可见，(5)，(7)，(8)三列均有线性变化的特征三列均有线性变化的特征，那么选取何，那么选取何种曲线是最优的选择种曲线是最优的选择?通常的办法是比较这三者的通常的办法是比较这三者的线性关系的密切程度线性关系的密切程度，也就是分别计算出，也就是分别计算出 与时

51、间与时间t的的线性相关系数线性相关系数，从中选取最大相关性函数。，从中选取最大相关性函数。 ty112tttyyututy2, lg, lgttttttuuuyyy2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅78表表7.6.32021-11-13华北电力大学工程造价刘梅79 4、差分法：、差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。平稳序列。一阶向后差分一阶向后差分可以表示为：可以表示为：二阶向后差分二阶向后差分可以表示为：可以表示为：(1)1ttttyuyy2(2)(1)(1)1122tttttttyuuuyyy2021-11-13华北电力

52、大学工程造价刘梅80 差分法识别标准：差分法识别标准：差分特性差分特性使用模型使用模型一阶差分相等或大致相等一阶差分相等或大致相等一次线性模型一次线性模型二阶差分相等或大致相等二阶差分相等或大致相等二次线性模型二次线性模型三阶差分相等或大致相等三阶差分相等或大致相等三次线性模型三次线性模型一阶差分比率相等或大致相等一阶差分比率相等或大致相等指数曲线模型指数曲线模型一阶差分的一阶比率相等或大致相等一阶差分的一阶比率相等或大致相等修正指数曲线模型修正指数曲线模型对数一阶差分比率相等或大致相等对数一阶差分比率相等或大致相等龚珀兹曲线龚珀兹曲线2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅817.7 7

53、.7 增长型曲线模型的参数估计增长型曲线模型的参数估计v根据统计数据对曲线模型参数作出估计的方法多根据统计数据对曲线模型参数作出估计的方法多种多样，不同的模型有不同的方法。种多样，不同的模型有不同的方法。v一般说来，对于一般说来，对于，只要将曲线适当变形，把它线性化，只要将曲线适当变形，把它线性化，即可使用线性回归分析方法，求得待估的参数值。即可使用线性回归分析方法，求得待估的参数值。v而而的参数的参数估计方法有所不同，现介绍如下。估计方法有所不同，现介绍如下。 2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅821逻辑分析法逻辑分析法v 所谓逻辑分析法，就是所谓逻辑分析法，就是根据预测对象的自然

54、发展规律根据预测对象的自然发展规律，如，如某些食品消费的已知物理与生理的常规界限，或资源限制某些食品消费的已知物理与生理的常规界限，或资源限制与法律限制等，与法律限制等，运用逻辑分析的方法，以确定待估参数值运用逻辑分析的方法，以确定待估参数值。v 例如，制冷技术的极限参数是例如，制冷技术的极限参数是-273，家用缝纫机最多是，家用缝纫机最多是一户购买一台，其家庭普及率充其量是一户购买一台，其家庭普及率充其量是100。2三和法或分组法三和法或分组法v 所谓三和法（或分组法），就是所谓三和法（或分组法），就是将整个增长序列分为三个将整个增长序列分为三个相等的时间周期，并对每一个时间周期的数据求和以

55、估计相等的时间周期，并对每一个时间周期的数据求和以估计参数参数。 2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅833三点法三点法v 所谓参数估计的三点法，就是所谓参数估计的三点法，就是假定曲线通过已知的三个点，假定曲线通过已知的三个点，即增长序列的即增长序列的始点、中间点和终点始点、中间点和终点。同时，要求相邻两点。同时，要求相邻两点的时间距离相等的时间距离相等。v 现以逻辑曲线的参数估计为例介绍此法。现以逻辑曲线的参数估计为例介绍此法。v 设，设，曲线模型为：曲线模型为： 设，设，增长序列的始点为增长序列的始点为y0，中间点为，中间点为y1，终点为，终点为y2，相邻两点，相邻两点的时间距离均

56、为的时间距离均为n。由于这三点均在增长曲线上，故它们均。由于这三点均在增长曲线上，故它们均满足方程，由此得到：满足方程，由此得到： 1tbtkyae0122,111nbnbkkkyyyaaeae2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅84联立求解上式，得：联立求解上式，得：001100112122010lnlnln()ln()lnlnln()()1kyayaykykyyykybnnkykykyyy化简上述化简上述k的等式得到一个关于的等式得到一个关于k的二次方程，求出的二次方程，求出k的两个根，的两个根，取其较合理者代入取其较合理者代入a，b的等式即得的等式即得a，b的估计值的估计值。值得

57、注意的是：值得注意的是：利用三点法作参数估计时，只利用了增长序利用三点法作参数估计时，只利用了增长序列的三个值，它们只是整个序列的一部分信息，因此难免会列的三个值，它们只是整个序列的一部分信息，因此难免会产生一些误差。产生一些误差。 2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅854参数估计的优选法参数估计的优选法v 前面介绍的前面介绍的三和法和三点法，其优点是应用方便，计算程三和法和三点法，其优点是应用方便，计算程序简单，但估计精度比较差序简单，但估计精度比较差。应用最小二乘法于上述参数。应用最小二乘法于上述参数估计虽然可以把精度提高，但估计虽然可以把精度提高，但，计算程，计算程序就显得十分

58、繁琐，不便于应用。为此，介绍一种在优选序就显得十分繁琐，不便于应用。为此，介绍一种在优选法的基础上使用的最小二乘法，并称这种估计方法为法的基础上使用的最小二乘法，并称这种估计方法为参数参数模型法模型法。v 下面以龚珀资曲线为例介绍此法。下面以龚珀资曲线为例介绍此法。v 设，曲线模型为：设，曲线模型为：若通过某种方式能先估出参数若通过某种方式能先估出参数k的值，则（的值，则（7.7.1）式可以线性）式可以线性化。化。tbtyka（7.7.1）2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅86将模型变形为：将模型变形为：tbtyak则有：则有：lg(lg)lg(lg )lgtyatbk若，令：若，令

59、：lg(lg)lg(lg )lgttyZkAaBb则模型化为线性模型：则模型化为线性模型：tZABt（7.7.2）2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅87 因此，因此，问题归结为参数点问题归结为参数点k的选择问题的选择问题。现在介绍选择。现在介绍选择k的的优选方法（又称优选方法（又称0.618法）法）。 优选的标准是优选的标准是：使预测值与实测值之差的平方和最小，：使预测值与实测值之差的平方和最小，即以即以残差平方和最小为原则残差平方和最小为原则。 这里的这里的Zt含有参数点含有参数点k，这是，这是(7.7.2)与普通的线性方程不与普通的线性方程不同的地方。但是，对于每个给定的同的地方

60、。但是，对于每个给定的k，(7.7.2)又是普通的线性又是普通的线性方程，因而可以应用方程，因而可以应用求出待估参数求出待估参数A、B，从，从而可得到参数而可得到参数a、b的估计值。的估计值。 2021-11-13华北电力大学工程造价刘梅887.8 7.8 包络曲线法包络曲线法v 科学技术发展过程，既有科学技术发展过程，既有渐进技术进步的成分渐进技术进步的成分又有又有突变因突变因素素的影响，对于复杂的技术系统的预测，采用指数曲线和的影响，对于复杂的技术系统的预测，采用指数曲线和生长曲线均不能胜任，因为它们仅能预测技术发展的量变生长曲线均不能胜任，因为它们仅能预测技术发展的量变过程而不能预测出质