考研数学高等数学强化资料-极限(应用)

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2、元函数的连续、可导及可微的判断与讨论 知识点回顾一一元函数1连续性1）连续性的定义a.在一点连续：函数在一点连续：在点的极限值等于函数值在点的左极限等于右极限并等于函数值当自变量的该变量无限缩小时，因变量的该变量也无限缩小的图像在点是“连续”的，没有“间断”b.左（右）连续函数在一点左（右）连续：在点的左（右）极限值等于函数值c.在区间上连续函数在开区间上连续在开区间上每一点都连续函数在闭区间上连续在开区间上连续，在处右连续，在处左连续2）函数的间断点第一类间断点：左右极限都存在若左右极限相等但不等于函数值，则称之为可去间断点；若左右极限不相等则称之为跳跃间断点。第二类间断点：左右极限至少有一

3、个不存在若左右极限中至少有一个为无穷大量，则称之为无穷间断点。3）重要公式、定理a.连续函数的性质四则运算：设均在某区间上连续，则函数，都在上连续复合函数的连续性：设均在其定义域上连续，且有，则是上的连续函数。反函数的连续性:设是上的连续函数，是它的反函数，则是上的连续函数。b.初等函数的连续性初等函数：由函数，经过有限次四则运算或是复合运算得到的函数。初等函数的连续性：一切初等函数都在其定义域内连续。2导数与微分1）导数设函数在的邻域内有定义，给自变量在处加上增量，相应的得到因变量的增量。如果极限存在，则称函数在处可导，该极限值称为函数在处的导数，记作或.导数的定义式还可以写成2）左（右）导

4、数函数在处的左导数定义为右导数的定义类似。定理：函数函数在处可导的充要条件是在处的左右导数存在且相等.3）微分设函数在的某邻域内有定义，当自变量在处有增量时，如果因变量的增量可以表示为其中为只与有关而与无关的常数，表示的高阶无穷小量，则称在处可微，并称为在处的微分，记作或，即。3函数的渐近线1）垂直渐近线()如果某函数在处的左右极限中至少有一个等于或，则称为该函数的垂直渐近线。2）水平渐近线()如果有或，则称为函数的水平渐近线。3）斜渐近线()如果有或，则称为函数的斜渐近线。求函数斜渐近线的方法：）计算； ）再计算二多元函数1二重极限定义：设二元函数的定义域为，如果对于任意的，总存在正数使得当

5、时有，则称在点的极限为，记作或。2连续性定义：如果是函数的定义域的内点，且有成立，则称函数在点连续。反之，不连续的点称之为间断点。3偏导数设函数在点的某一邻域内有定义，把固定在而在处有增量，相应的函数有增量，而如果极限存在，则称此极限为函数在点处对变量的偏导数，记作。类似地，可以定义函数在点处对变量的偏导数，记作。4全微分定义：如果函数在点的全增量可表示为，其中，仅依赖于而与，无关，则称函数在点可微，而称为函数在点的全微分，记作，即。5可微、可导与连续定理：如果函数在点可微，则函数在该点连续且两个偏导数均存在，并且。注：在一元函数中，可微与可导是等价的，且可导必连续。在二元函数中，可导（偏导数

6、存在）不一定连续，也不一定可微。但由上述定理可知：可微一定连续，可导。关于可导与可微的关系，我们还有如下定理：定理：如果函数的偏导数在点连续，则函数在该点可微。这四个概念的关系可以形象地用如下的韦恩图来表示 考点精讲一连续、间断点以及间断点的分类【例1】：设函数问为何值时，在处连续；为何值时，是的可去间断点？答案：时在处连续；时是的可去间断点【例2】：函数在上的第一类间断点是（ ）（A）0 （B）1 （C）（D）答案：【例3】：函数的无穷间断点数为(A) 0. (B)1. (C) 2. (D) 3. 答案：【例4】：求函数=的表达式，并指出函数的间断点及其类型答案：，是的可去间断点；是的无穷间

7、断点【例5】：求函数在区间内的间断点，并判断其类型.答案：间断点为，为无穷间断点；，为可去间断点【例6】：求函数所有的间断点，并判断其类型.答案：，振荡间断点；，无穷间断点；，跳跃间断点二可导与可微1对导数定义式的直接考查【例7】：设是连续的并且，令，试讨论在处的可导性。答案：在处不可导【例8】：设，其中具有连续的导数，并且。（1）试确定的值，使连续；（2）计算并讨论的连续性。答案：（1）；（2），连续【例9】：设是连续的并且，令，试证明在处可导。小结：分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数的定义直接计算或检验。【例10】：定义在实数集上，且对任意的恒有，其中。证明：处处可导。2导数的

8、定义与极限的计算【例11】：已知在处连续，求在处的切线方程。答案：【例12】：已知在处可导，求及。答案：【例13】：可微函数满足：，则答案：【例14】：已知二阶可导，求。答案：【例15】：已知，求。答案：小结：求极限时，往往会用到推广之后的导数定义式：【例16】：已知可导，求下列极限。（1）（2）（3）答案：（1）（2）（3）小结：上述各题的形式可以总结为，其中，当已知函数在处可导时，有。3函数可导的充要条件【例17】：已知，则下列说法中与函数在点处可导等价的是（）A.极限存在 B.极限存在C.极限存在 D.极限存在答案：小结：存在的定义是极限，该定义式可以推广到如下形式：存在，其中与为同阶无

9、穷小，这里需要注意如下两点：首先不能有确定的符号，必须是而不能是或；与不等价时，极限不等于导数的值，但这里我们只关心导数的存在性，所以只要求与同阶即可。【例18】：存在等价于下列哪些极限存在（1）（2）（3）（4）（5）（6）答案：（1）（4）（6）三渐近线【例19】：曲线的斜渐近线方程为.答案：【例20】：曲线的渐近线有（）（A） 1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条答案：求函数斜渐近线的方法：）.计算； ）.再计算【例21】：求下列曲线所有的渐近线（1）（2）（3）答案：（1）与为斜渐近线（2）为垂直渐近线；为斜渐近线（3）为垂直渐近线；为水平渐近线；为斜渐近线四多元函数微分学的概念1

10、二重极限的讨论【例22】：讨论下列二重极限是否存在，如果存在，求出极限值（1） （ （2）（3） （4）（5）答案：（1）（2）不存在（3）（4）（5）不存在小结：1、二重极限的计算难度较大，多考察证明极限不存在。由于二元函数的极限要求自变量以任何方式趋近于给定的点都有相同的极限，因此，如果能找到两条不同的路径的极限不一样，就可以说明二重极限不存在。2、计算二重极限一般会用到一元函数极限的一些结论如等价无穷小，夹逼原理等。其中夹逼原理是最常用的方法，通常用在证明极限为零时：对函数取绝对值再放缩，如果能证明，则由夹逼原理可得。2连续、可导、可微【例23】：二元函数在点处（）(A).连续，偏导数存

11、在 (B).连续，偏导数不存在(C).不连续，偏导数存在 (D).不连续，偏导数不存在答案：【例24】：设则（）(A).存在，不存在 (B).不存在，存在(C).，都不存在 (D).，都存在答案：【例25】：讨论下列函数在点的连续性，可导性，与可微性。（1）（2）（3）答案：（1）连续，可偏导，可微；（2）不连续，可偏导，不可微；（3）连续，可偏导，不可微小结：1、偏导数的讨论和计算最基本的原则是对一个变量求导时，另一个变量就视为常数，因此偏导数的存在性实际上就是固定了一个变量之后所得的一元函数的可导性。具体来说，就是指极限式或存在。2、判断函数在某一点是否可微的方法：首先计算函数在该点的两个偏导数。如果二者有一个不存在，则不可微。如果两个偏导数都存在，则计算极限，如果该极限不存在或不等于0则不可微，如果该极限等于0则可微。【例26】：二元函数在处可微的充分条件是 ( )(A)在处连续.(B)在的某邻域存在.(C)当时,是无穷小量.(D)当时,是无穷小量.