2016年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理数

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理数、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.A.0 , 1 B. 0 , 1, 2C . -1 , 0, 1 D. - 1, 0, 1, 2r2x-y<02.（5分）（2016?北京）若x,y满足*，则2x+y的取大值为（)A.0B . 3C . 4D .53.（ 5分）（2016?北京）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1,则输出的k值为（）A . 1 B. 2 C. 3 D. 44. （ 5 分）（2016?北京）设 1, 是向量，贝U |=i”是 “+'|=| 1-）A 充分

2、而不必要条件B 必要而不充分条件C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件5. （ 5 分）（2016?北京）已知 x, y R,且 x>y > 0，则（）A .- > 0 B . si nx - si ny > 0 C. （ ） X-（） yv 0 D .In x+l ny > 0k y226. （ 5分）（2016?北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）侧（左）视图正（主）视團D. 17. （5分）（2016?北京）将函数 y=sin （2x - ）图象上的点 p , t）向左平移s （s> 0）34若P位于函数y=sin2x的图象上，则（

3、）KB.7TD.个单位长度得到点 P', t=<, s的最小值为t=, s的最小值为C.，s的最小值为,s的最小值为5分）（2016?北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个 空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球， 就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A .乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B .乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D .乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. （5分）（2016?北京）设aR,若复数（1+

4、i） （a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=10. （5 分）答）11. （5 分）B两点，贝U12. （5 分）S6=（2016?北京）在（1 - 2x） 6的展开式中，x2的系数为.（用数字作（2016?北京）在极坐标系中，直线pcos（一； psi nB-仁0与圆p=2cos B交于A ,|AB|=（2016?北京）已知an为等差数列，Sn为其前n项和.若a1=6, a3+a5=0,则13. （5 分）（2016?北京）2 2双曲线 十-：=1 （a>0, b>0）的渐近线为正方形 OABC的边OA，OC所在的直线，点a=.B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为

5、2,则14. （ 5 分）（2016?北京）设函数f （x）= 若a=0，则f （x）的最大值为; 若f （x）无最大值，则实数 a的取值范围是 .三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.222 l15. （13 分）（2016?北京）在 ABC 中，a +c =b +:ac.（I）求/ B的大小；（n）求:cosA+cosC的最大值.16. （13分）（2016?北京）A , B, C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.

6、5910.51213.5（I）试估计C班的学生人数；（n）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲， C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（川）再从A , B, C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是 7, 9, 8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为由，表格中数据的平均数记为 闪，试判断（J0和m的大小.（结论不要求证明）17. （14分）（2016?北京）如图，在四棱锥 P-ABCD中，平面PAD丄平面 ABCD , PA丄PD, PA=PD, AB 丄AD ,

7、AB=1 , AD=2 , AC=CD=".（I）求证：PD丄平面PAB ;（n）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（川）在棱PA上是否存在点 M,使得BM /平面PCD ?若存在，求的值，若不存在，说明理由.a x18. (13 分)(2016?北京)设函数 f (x) =xe +bx，曲线 y=f (x)在点(2, f ( 2)处的 切线方程为y= (e 1) x+4 ,(I)求a, b的值；(n)求f (x)的单调区间.19. (14 分)(2016?北京)已知椭圆 C：+ 一 . =1 (a>0, b>0)的离心率为,A (a, 0),a b2B (0, b)

8、 , O (0, 0) , OAB 的面积为 1 .(I)求椭圆C的方程；(H) 设P是椭圆C上一点，直线 PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N .求证： |AN|?|BM| 为定值.20. (13分)(2016?北京)设数列 A: ai, a2,，aN (N丝).如果对小于 n (2韦<N)的 每个正整数k都有akvan,则称n是数列A的一个G时刻”，记G (A)是数列A的所有G 时刻 ”组成的集合.(I) 对数列 A : - 2, 2,- 1 , 1, 3,写出G (A)的所有元素；(H)证明：若数列 A中存在an使得an> a1,则G (A)老;(川)证明：若数列 A满

9、足an- an-K| (n=2 , 3,，N),则G (A)的元素个数不小于 aN- a1.2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理数参考答案与试题解析一、选择题1. C【分析】先求出集合 A和B,由此利用交集的定义能求出A AB .【解答】解：集合 A=x|x| v 2=x| - 2vxv 2,B= - 1 , 0,1, 2, 3, A AB= - 1, 0, 1.故选：C.2. C【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值范围.r2x-y<0【解答】解：作出不等式组r+y<3 对应的平面区域如图：（阴影部分）.设

10、z=2x+y 得 y= - 2x+z,平移直线y= - 2x+z ,由图象可知当直线 y= - 2x+z经过点A时，直线y= - 2x+z的截距最大， 此时z最大.2x - y=0（ x=l由，解得* ，即A （1 , 2）,jc+y=31尸2代入目标函数z=2x+y得z=1 >2+2=4 .即目标函数z=2x+y的最大值为4.S的值,【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 模拟程序的运行过程，可得答案.【解答】解：输入的 a值为1，则b=1 ,第一次执行循环体后,第二次执行循环体后, 第三次执行循环体后, 故输出的k值为2, 故选：Ba=-,不满足退出

11、循环的条件,2a=- 2,不满足退出循环的条件, a=1，满足退出循环的条件，k=1 ；k=2;4. D可得答案.【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义,【解答】解：若“ ii=i，则以：.为邻边的平行四边形是菱形;若k+b=i为-b I”，则以日，b为邻边的平行四边形是矩形;故“ i|=|讨"是“i+l|=| I-讨"的既不充分也不必要条件;故选：D.5. C【分析】x, yR,且x> y> 0,可得：,sinx与siny的大小关系不确定,K y-', lnx+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论.2【解答】解：t x, y R，且

12、x>y >0，则-.',sinx与siny的大小关系不确定, x y<:;,即.：: ;V 0, l nx+l ny与0的大小关系不确定.2 2 2故选：C.6. A【分析】由已知中的三视图可得： 该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案.【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积SXI >1 =丄，2 2高为1, 故棱锥的体积v=“, 故选：A7. AK1【分析】将x=代入得：t= ，进而求出平移后 P的坐标，进而得到 s的最小值.42【解答】解:将 x= 代入得：t=s in =丄46 2将函数y=sin

13、 (2x-p)图象上的点 P向左平移s个单位，K1得到P'(广s, J点，42若P'位于函数y=sin2x的图象上，贝U sin (- 2s) =cos2s=_2 2则 2s= +-H+2k n, k 包,3则 s= +2!+k n, kZ,6由s>0得：当k=0时，s的最小值为 6故选：A.【分析】分析理解题意： 乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前提是放入甲 中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析.【解答】解：取两个球共有 4种情况： 红+红，则乙盒中红球数加 1个； 黑+黑，则丙盒中黑球数加 1个； 红+黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球

14、数加 1个； 黑+红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加 1个.设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为 a,其中红球x个，黑球y个, x+y=a .则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j=x ； 丙中有y个球，其中I个红球，i个黑球，i+l=y ；黑球总数 a=y+i+j，又 x+y=a，故 x=i+j由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球.故选B.二、填空题9.- 1 .【分析】(1+i) (a+i) =a- 1+ (a+1) i,则a+仁0,解得答案.【解答】解:(1+i) (a+i) =a - 1+ (a+1) i,若复数(1+i) (a+i

15、)在复平面内对应的点位于实轴上, 则 a+1=0,解得：a=- 1,故答案为：-110. 60 .【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出.【解答】解：(1- 2x)6的展开式中，通项公式+1=- (- 2x)r=(-2)xr,6 6令r=2，则x2的系数=.：| -=60.故答案为：60.11. 2 .【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心C在直线上可得|AB| .【解答】解：直线 pcos 0- V'C psin 0-仁0化为y直线x - V zy - 1=0.圆 p=2cos 0化为 p =2 pcos0, x +y =2x，配方为(x- 1) +y =1

16、，可得圆心 C (1, 0)，半 径 r=1.则圆心C在直线上， |AB|=2 .故答案为：2.12. 6 .【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前 n项和公式能求出Se.【解答】解： an为等差数列，Sn为其前n项和.ai=6, a3+a5=0,- ai+2d+ai+4d=0, 12+6d=0 ,解得d= - 2, S6=- 一11_ =36 - 30=6.故答案为：6.13. 2.【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可.【解答】解：双曲线的渐近线为正方形OABC的边0A , O

17、C所在的直线，渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=丸,即 a=b,正方形 OABC的边长为2, 0B=2 匚，即 c=2 匚，贝H a2+b2=c2=8,即 2a2=8,则 a2=4, a=2,故答案为：2 2 ;(-O- 1).【分析】 将a=0代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x= - 1时，f (x)的最大值为2;aV -1若f (X)无最大值，则3 ，或*Q - 1一"|:-,解得答案.-2a>2-2a> a - 3a【解答】解:若a=0，则f (x)则 f (x)='：,-2:f>0当XV- 1时，f' (

18、x)> 0，此时函数为增函数, 当X>- 1时，f ' ( X)V 0，此时函数为减函数, 故当x= - 1时，f (x)的最大值为2; f' ( x)令 f' ( x) =0,则 x= ±1,若f (x )无最大值，则或 * - 2a> a3 _ 3a，-2a>2fa>-l解得：a (- g,- 1). 故答案为：2, (- g,- 1)三、解答题15.【分析】(I)根据已知和余弦定理，可得W:，进而得到答案;()由(I)得：C= - A，结合正弦型函数的图象和性质，可得4值.【解答】解：(I)：在 ABC中，a2+c 2=b2

19、+ - ac. a2+c2- b2=匚ac.:cosA+cosC 的最大 cosBJ='=2ac()由(I)得:7cosA+cosC=/cosA+cos ( A)4= .：cosA-cosA+s inA2 2V2V2= cosA+ si nA2 2K=sin (A+ ).4/ A (0, J),4-A+一 (一，n),44故当A+ 1二时，sin (A+ 1 )取最大值1,424即电；jcosA+cosC的最大值为1.16.【分析】(I)由已知先计算出抽样比，进而可估计C班的学生人数；(n)根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (川)根据平均数的定义

20、，可判断出*>灼.【解答】解：(I)由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C班抽取8个，故抽样比K= 一=,100 5故C班有学生"=40人,(n)从从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人, 共有5 >8=40种情况，而且这些情况是等可能发生的，当甲锻炼时间为 当甲锻炼时间为 当甲锻炼时间为 当甲锻炼时间为 当甲锻炼时间为2种情况；3种情况;3种情况；3种情况;4种情况；6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有故周

21、甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P=-；(川)(jq> m.17.【分析】(I)由已知结合面面垂直的性质可得AB丄平面PAD，进一步得到 AB丄PD,再由PD丄PA，由线面垂直的判定得到 PD丄平面PAB ；(n)取AD中点为O,连接CO , PO,由已知可得 CO丄AD , PO丄AD .以O为坐标原点， 建立空间直角坐标系，求得P (0, 0, 1), B (1, 1, 0), D (0, - 1 , 0), C (2 , 0 , 0),进一步求出向量：、：的坐标，再求出平面 PCD的法向量I ,设PB与平面PCD的夹角为0 ,由-U .1： I八 求得直线PB与平面PCD所成角的

22、正弦值;(川)假设存在M点使得BM /平面PCD ,设:,M ( 0 , y1 , Z1),由T 施可得 APM (0 , 1 -入):"|.- .',由 BM /平面 PCD,可得,由此列式求得当J 时,M点即为所求.【解答】(I)证明：平面 PAD丄平面ABCD，且平面PAD门平面ABCD=AD 且 AB 丄 AD , AB?平面 ABCD , AB丄平面PAD ,/ PD?平面 PAD , AB 丄PD,又 PD 丄 PA，且 PA HAB=A , PD丄平面PAB;(H)解：取 AD中点为0,连接CO, PO,CD=AC= I, CO 丄 AD ,又PA=PD, PO

23、 丄 AD .以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则 P ( 0, 0, 1), B (1 , 1, 0), D (0 , - 1 , 0), C (2 , 0 , 0),则-J:.- . -1，:.一丨-一 ,PC二(2, 6 -1) , CD二(-2t - 1, 0)'设.为平面PCD的法向量,-1, 1)n*PD=Ot n-PC=O设PB与平面PCD的夹角为0,则sinS = |cos< 口,AW(川)解：假设存在M点使得BM 平面PCD,设 .，M (0, y1 , z1),0),由(n)知，a (0 , 1 , 0), p (0, 0 , 1), ，- ii, 一一

24、 ,B (1,1,AM二(0* y| 1 f 巧)则有1 ,可得 M ( 0 , 1-人)1丫-_.-.- , BM /平面PCD ,'.1. 1 为平面PCD的法向量, "' 1 ,即 丄，解得.-一24综上，存在点M,即当时，M点即为所求.AP 4DA18.【分析】(I)求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f (2),建立 方程组关系即可求 a, b的值;(H)求函数的导数，禾U用函数单调性和导数之间的关系即可求f (x)的单调区间.【解答】解：(I)： y=f (x)在点(2, f (2)处的切线方程为 y= (e- 1) x+4 ,当 x=2

25、 时，y=2 (e- 1) +4=2e+2，即 f (2) =2e+2 , 同时 f' (2) =e 1, f (x) =xeax+bx, f' (x) =eax-xeax+b,则=2ea_2+2b=2e+2二J- 严即 a=2, b=e;(n)： a=2, b=e;2 - x-f (x) =xe +ex,2 -x2- x2 -x-f (x) =e - xe +e= (1 - x) e +e,2 -x2 -x2 -xf( x) = - e -( 1 - x) e = (x - 2) e , 由 f" (x)> 0 得 x> 2,由 f" (x)v

26、 0 得 xv 2,即当 x=2 时，f'( x)取得极小值 f' (2) = (1 - 2) e2 2+e=e- 1 > 0, f ( x) > 0恒成立，即函数f (x)是增函数, 即f (x)的单调区间是(-8, + 8).19.【分析】(I)运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a, b, c的关系，解方程可得a=2, b=1，进而得到椭圆方程；(H)方法一、设椭圆上点 P (xo, yo),可得xo2+4yo2=4，求出直线PA的方程，令x=0 , 求得y, |BM| ;求出直线PB的方程，令y=0，可得x, |AN|，化简整理，即可得到|AN|?|

27、BM| 为定值4.方法二、设 P (2cosB, sinB), (0< V 2 n),求出直线 PA的方程，令 x=0，求得y, |BM|; 求出直线PB的方程，令y=0，可得x, |AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到 |AN|?|BM| 为定值 4.【解答】解：由题意可得e=-,又 OAB的面积为1，可得亠ab=1,22.22且 a - b =c ,解得 a=2, b=1, c=',2 2可得椭圆C的方程为 二+y2=i ；4(n)证法一：设椭圆上点P (xo, yo),2 2可得 xo +4y0 =4,y= 7,直线 PA： y= '(x - 2)，令 x=0 ,可得*0 - 2则 |BM|=|1+5 |;矿2直线 PB: y=x+1 ,令y=0,可得x=A0兀T贝 U |AN|=|2+ I0_1可得 |AN|?|BM|=|2+' 1旳一 12yc1?卩+|V - 2x09二 +4y 丨，i -：v - - .1190 +4+4 牝兀-4疋。_ 8yQ x0 I8+4x0y0-4x0 -8y0=|=42+x0y0 - x0 - 2y0即有|AN|?|BM|为定值4.证法二：设 P (2cos 0, sin 0), (0 w 殳 2 n),，A直线 PA： y=- (x- 2),令 x=