第十七届希望杯全国数学邀请赛初一第二试(含答案)

1、第十七届“希望杯全国数学邀请赛初一第2试上午 8： 30 至 10： 30得分 _一、选择题 ( 每小题 4 分，共 40 分 ) 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内1 a 和 b 是满足 ab 0 的有理数，现有四个命题： a2 的相反数是2a ；b 24b 24 a-b 的相反数是 a 的相反数与 b 的相反数的差； ab 的相反数是 a 的相反数和 b 的相反数的乘积； ab 的倒数是 a 的倒数和 b 的倒数的乘积其中真命题有( )(A)1 个(B)2个(C)3个(D)4个2在下面的图形中，不是正方体的平面展开图的是()3在代数式x

2、y2 中， x与 y的值各减少25，则该代数式的值减少了()(A)50(B)75(C)37(D)27 64644若a<b<0<c<d，则以下四个结论中，正确的是()(A)a+b+c+d一定是正数(B)d+c-a-b可能是负数(C)d-c-b-a一定是正数(D)c-d-b-a一定是正数5在图(A)101 中， DA=DB=DC，则 x 的值是 ()(B)20(C)30(D)406已知 a， b， c 都是整数， m=|a+b|+|b-c|+|a-c|，那么 ()(A) m一定是奇数(B)m一定是偶数(C) 仅当 a， b， c 同奇或同偶时， m是偶数 (D)m 的奇偶性

3、不能确定7三角形三边的长 a， b， c 都是整数，且 a ， b， c=60 ， (a ， b)=4 ， (b ， c)=3 ( 注： a ，b， c 表示 a， b， c 的最小公倍数， (a ， b) 表示 a，b 的最大公约数 ) ，则 a+b+c 的最小值是 ( )(A)30 (B)31(C)32(D)338如图 2，矩形 ABCD由 3×4个小正方形组成此图中，不是正方形的矩形有()(A)40 个 (B)38个 (C)36个(D)34个9设 a 是有理数，用 a 表示不超过a 的最大整数，如1.7=1 ， -1=-1， 0=0 ， -1.2=-2 ，则在以下四个结论中，正

4、确的是( )10 On the number axis，there are two points A and B corresponding to numbers 7 and brespectively ，and the distance between A and B is less than 10Let m=5-2b 。then therange of the value of m is()(英汉词典： numberaxis 数轴； point 点； corresponding别地； distance距离； 1ess than小于； value 值、数值；to 对应于 ； respecti

5、velyrange 范围 )分二、填空题 ( 每小题 4 分，共 40 分 )13图 3 是一个小区的街道图，A、 B、C、路口都可以沿直线看到过这个路口的所有街道么，最少要设_个岗哨X、 Y、Z 是道路交叉的17 个路口，站在任一现要使岗哨们能看到小区的所有街道，那=_.16乒乓球比赛结束后，将若干个乒乓球发给优胜者取其中的一半加半个发给第一名；取余下的一半加半个发给第二名；又取余下的一半加半个发给第三名；再取余下的一半加半个发给第四名； 最后取余下的一半加半个发给第五名，乒乓球正好全部发完这些乒乓球共有_个17有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29，23，

6、21 和 17 岁，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是_岁18初一 (2) 班的同学站成一排，他们先自左向右从“ 1”开始报数，然后又自右向左从“1”开始报数， 结果发现两次报数时，报“20”的两名同学之间( 包括这两名同学) 恰有 15 人，则全班同学共有_人的末位数字是_ 20 Assume that a，b ， c， d are all integers， and four equations(a-2b)x=1， (b-3c)y=1 ，(c-4d)z=1， w+100=dhavealwayssolutionsx ， y ， z ， wofpositivenumbersrespective

7、ly,then the minimum of a is_(英汉词典： toassume假设； integer 整数；equation方程；solution( 方程的 )解；positive正的； respectively分别地； minimum最小值 )三、解答题 ( 本大题共3 小题，共40 分 )要求：写出推算过程21 ( 本小题满分10 分 )(1) 证明：奇数的平方被8 除余 1(2) 请你进一步证明：2006 不能表示为10 个奇数的平方之和22 ( 本小题满分15 分)如图 4 所示，三角形 ABC的面积为 1，E 是 AC的中点， O是 BE的中点连结 AO，并延长交 BC于 D

8、，连结 CO并延长交 AB于 F求四边形 BDOF的面积23 (本小题满分 15 分)老师带着两名学生到离学校33 千米远的博物馆参观老师乘一辆摩托车，速度为25千米小时这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人后速度为20 千米小时学生步行的速度为 5 千米小时 请你设计一种方案， 使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过 3 个小时第十七届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初中一年级第 2 试一、选择题 ( 每小题 4 分 )二、填空题 ( 每小题 4 分 )三、解答题21 (1) 设 " 为任意整数，则 2n+1 为任意奇数那么因此，奇数的平方被(2) 假设 2006 可以

9、表示为8除余 1(5分)10 个奇数的平方之和，也就是( 其中 x1, x2, x3, , x10都是奇数 ) (8分 )等式左边被8 除余 2，而 2006 被 8 除余 6矛盾 !因此， 2006不能表示为 10 个奇数的平方之和 .(10分 )22设因为E是 AC的中点， 0 是 BE的中点，所以(2 分)则由得即又由得即所以(15 分)23 要使师生三人都到达博物馆的时问尽可能短，可设计方案如下：设学生为甲、乙二人乙先步行，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师带乘乙，与步行的甲同时到达博物馆(5 分)设老师带甲乘摩托车行驶了x 千米，用了x 小时，比乙多行了20这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了乙遇到老师时，已经步行了离博物馆还有要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有(12 分)即甲先乘摩托车24 千米，用时1.2 小时，再步行9 千米，用时1.8因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过时(15分)小时，共计3 小时3 个小舷肆步豌梗择童患猫终艘贴潜荤捉旷夸壳追洱固吗泡嗜泅呈糠肮翔昔包眺散茫误欢渣降豺岿尿定根寞爽确煤指陀芬遁输润湃造扶绢刊熊算目捷害洼皑乱鼠像甘铝扩刽浙疫宇莲严梆饥略掉李竭刮币张读蝗呈陶阀尾擅吮银懦左敢巳坪