第一节一维波动方程的Cauchy问题

1、第二章 波行法本章将利用行波法和球平均法分别求解一维和二维、三波动方程Cauchy问题的§1 一维波动方程的Cauchy问题一、 DAlembert 公式考虑初始位移为，初始速度为的无界弦的自由振动，该振动可以归结为如下初值问题：（2.1）由第一章第三节弦振动方程可经自变量变换简化，作变换：由 代入方程(2.1)得由 ，有 先对积分,得其中是任意的函数,再对积分,得到其中都是任意的函数.把换成x,t的表示式,即得 (2.2)(2.2)给出的仅仅是泛定方程的解为了得到满足(2.1)的解,考虑初值条件 (2.3)和 (2.4)将(2.4)两端取从到积分： (2.5)其中.联立(2.4)和

2、(2.5)，解得：将以上两式代入(2.2)即得Cauchy问题(2.1)的解这叫做一维波动方程Cauchy问题的DAlembert公式.。(1) 可以证明，当时，DAlembert公式一定满足Cauchy问题，故该问题的解存在。(2) 得到DAlember公式一个解，故该问题的解是唯一的。(3) 稳定性。 设有解，对，当， 时，有取，则，故稳定。结论：当时，Cauchy问题是适定的。二、 解的讨论（1）泛定方程解的物理意义令，得 是方程的解，当取不同的值时，它表示相应于不同时刻的振动状态： 表示初始时刻振动状态， 表示时刻振动状态。在平面上，将向右平移距离即得到，随着的增大, 将逐渐地往右平行

3、移动，故称齐次波动方程形如的解为右行波。右行波在传播过程中波形不变, 经过时刻，波形移动了的距离，右行波的传播速度为一个常数，速度不变。为左行波，它表示波形以速度向左传播，且传播过程中，波形也不变化。（2）DAlember公式的物理意义1）初始位移引起的振动由达朗贝尔公式 ，即初始位移分为两半分别向左、右两方以速度移动(图2由下而上各图的细线所描绘)，这两个行波的和(图2由下而上的粗线所描绘)给出各个时刻波形。x 图1xut=0t1t2t3t4 图2 物理现象为弦上各点，振动未传播到时，处于平衡位置时，振动传到时，相应点将发生位移的变化，振动传过后，该点仍回复到平衡位置。初始位移引起的振动有清

4、晰的波前和波后。 2）初始速度引起的振动： 设取，此时 是的一个原函数，xu图3其图形由图3给出， 时，为与的叠加，为左行波和右行波叠加而成。uxt=0t=1/4t=1/2t=1图4的波形见图4，细线表示左、右行波，粗线表示两者的叠加。随着时间的推移，波形为上下底边逐渐伸长的等腰梯形。弦上各点在未扰动前处于平衡状态，对某固定点而言，一经扰动，就不再回复到原来的位置，此种现象成为有持久后效。初始速度引起的振动有清晰的波前而无清晰的波后。三、 影响区域、依赖区间、决定区域（1）影响区域假定初值 讨论在哪些点上的初始振动，在时刻的传播范围。由泛定方程解的物理意义知：由左、右行波叠加而得。上的初始振动

5、，在时刻，右行波传到，左行波传到，因此经过时刻，初始振动传播的范围是：，称区域Axt图5为区间的影响区域，见图5. x1 x2（2）依赖区间 依赖区域是讨论时空平面上任一点 的将依赖于哪些点的初值问题。由DAlembert公式仅依赖于上的初值，称区间为点的依赖区间(3) 决定区域xtB图6在上给定了初值，则点的值也就被确定。点与区间端点连线的斜率分别为, 因此过作斜率为的直线，过 作斜率为的直线,此两条直线与围成区域: , 见图6，称三角区域B为区间的决定区域。 x1 x2四、 齐次化原理（Duhamel原理）一条无界弦，初位移、初速度为0，受外力作用作强迫振动. (I) 其中齐次化原理 设是

6、齐次cauchy问题(II) 的解，其中是参数，则为非齐次方程cauchy问题(I)的解。冲量原理的物理意义： 由冲量原理 在时间段，外力F的作用相当于在原有运动速度的基础上增加了 的速度，即可视为单位质量物体在时刻获得的初始速度，将各时间段的作用叠加起来即得外力在时间内对弦的作用 利用齐次化原理给出非齐次方程Cauchy问题(I)的解。 令，则问题(II)变为:（III）由DAlembert公式有:所以问题(I)的解为:对一般非齐次一维波动方程Cauchy问题利用叠加原理 (i) (ii) 对于有界弦非齐次方程混合问题(I) 也有类似的齐次化原理: 若是(II) 的解, 则为非齐次方程混合问题(I)的解。对非齐次热