刚体的定轴动课件

1、第第5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 演示实验演示实验1、茹科夫斯基、茹科夫斯基转椅转椅（和车轮和车轮）2、陀螺仪、陀螺仪3 、 质 心 运 动、 质 心 运 动（杠杆杠杆）4、不同质量分、不同质量分布的等质量柱体布的等质量柱体滚动滚动5、车轮进动、车轮进动一、刚体的定轴转动定律一、刚体的定轴转动定律二、转动刚体的角动量守恒二、转动刚体的角动量守恒三、刚体转动的功和能三、刚体转动的功和能四、无滑动滚动四、无滑动滚动 瞬时转轴瞬时转轴（补充）（补充）五、进动五、进动目目 录录一、刚体的定轴转动定律一、刚体的定轴转动定律 zo miri zzzzjtjtlm dddd,2iiizrmj zzj

2、l mrjzd2 :zm外力矩沿外力矩沿z轴分量的代数和轴分量的代数和刚体沿刚体沿z轴的角动量轴的角动量:zl刚体对刚体对z轴的转动惯量轴的转动惯量:zj2、适用于转轴固定于、适用于转轴固定于惯性系惯性系中的情况。中的情况。3、对于转轴通过质心的情况，如果质心有加速对于转轴通过质心的情况，如果质心有加速度，上式也成立。度，上式也成立。（惯性力对质心的力矩和惯性力对质心的力矩和为零为零）1、由关于定点的质点系角动量定理，向过该点、由关于定点的质点系角动量定理，向过该点的固定转轴投影得到。的固定转轴投影得到。 zzzzjtjtlm ddddzfrm)( 转动转动平面平面of f/fz rr外力外力

3、对固定转轴力矩的计算：对固定转轴力矩的计算： fr0 m：沿转轴方向：沿转轴方向0 m：沿转轴反方向：沿转轴反方向转动平面内的分转动平面内的分力对转轴的力矩力对转轴的力矩计算转动惯量的几条规律：计算转动惯量的几条规律：1、对同一轴可叠加：、对同一轴可叠加： iijj2、平行轴定理：、平行轴定理：2mdjjc 3、对薄平板刚体，有、对薄平板刚体，有垂直垂直轴定理：轴定理：yxzjjj jcjdmc质心质心 rix z yi xi mi yr221mr241mr常用的转动惯量常用的转动惯量232mrj 直径直径薄球壳：薄球壳：252mrj 直径直径球体：球体：2121mlj 过中点垂直于杆过中点垂

4、直于杆细杆：细杆：231mlj 过一端垂直于杆过一端垂直于杆圆柱体：圆柱体：221mrj 对称轴对称轴【例例】转轴光滑，初态静止，求下摆到转轴光滑，初态静止，求下摆到 角时的角加速度，角速度，转轴受力。角时的角加速度，角速度，转轴受力。解：解：刚体定轴转动刚体定轴转动1、受力分析受力分析2、关于关于o轴列轴列转动定理转动定理231mljo mglom cos2 oojm lg2cos3 【思考思考】为什么不关于过为什么不关于过质心质心轴列转动定理？轴列转动定理？,ddt 由由 求求 ：tdd ddd t,2cos3lg lg sin3 00dd sin23212lg 2212llan nnma

5、mgn sin（1） 平动：平动：质心运动定理质心运动定理nn sinmgnn25 3、求转轴受力求转轴受力 occc,jm（2） 转动：转动：关于质心轴列转动定理关于质心轴列转动定理tn cosmgnt41 21212mlj,lnmctc 为什么？为什么？【例例】一长为一长为l，质量为，质量为m的均匀细棒，水平放的均匀细棒，水平放置静止不动，受垂直向上的冲力置静止不动，受垂直向上的冲力f作用，冲量作用，冲量为为f t（ t很短），很短），冲力的作用点距棒的质心冲力的作用点距棒的质心l远，求冲力作用后棒的运动状态。远，求冲力作用后棒的运动状态。解解 （1）质心的运动质心的运动0)(cmvtmg

6、f tmmgfvc 0质心以质心以vc0的初速做上抛运动。的初速做上抛运动。lfc（2）在上抛过程中棒的转动在上抛过程中棒的转动tjjflccdd 绕过质心转轴，列转动定理：绕过质心转轴，列转动定理：lfctjc tjc 212mltfljtflc 在上抛过程中，棒以恒定角在上抛过程中，棒以恒定角速度速度 绕过质心轴绕过质心轴转动。转动。【演示【演示实验】实验】 质心运动质心运动（杠杆杠杆） 二、转动刚体的角动量守恒二、转动刚体的角动量守恒1、绕定轴转动、绕定轴转动2、几个刚体、几个刚体绕同一定轴绕同一定轴转动转动【演示【演示实验】实验】茹科夫斯基转椅茹科夫斯基转椅( (和车轮和车轮) )、陀

7、螺仪、陀螺仪3、关于过质心轴、关于过质心轴若合外力矩为零，则刚体总角动量守恒，角若合外力矩为零，则刚体总角动量守恒，角动量可在这几部分间传递。动量可在这几部分间传递。若合外力矩为零，则刚体角动量守恒。若合外力矩为零，则刚体角动量守恒。若对过质心轴合外力矩为零，则对该轴刚体若对过质心轴合外力矩为零，则对该轴刚体角动量守恒。角动量守恒。无论质心轴是否是惯性系。无论质心轴是否是惯性系。三、刚体转动的功和能三、刚体转动的功和能力矩的功力矩的功： 21 d dmw不太大刚体的重力势能不太大刚体的重力势能：cpmghe 机械能守恒定律机械能守恒定律：只有保守力做功时只有保守力做功时常常数数 pkee212

8、2122121 jjeewkk 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功，等于它的转动动能的增加功，等于它的转动动能的增加用机械能守恒重解：用机械能守恒重解： 转轴光滑，初态静止，求下摆到转轴光滑，初态静止，求下摆到角角时的角加速度，角速度。时的角加速度，角速度。lgdtdlg2cos3sin3 解解：杆机械能守恒杆机械能守恒比用转动定律简单！比用转动定律简单！势能零点势能零点绕固定轴绕固定轴转动动能转动动能 223121sin20mljjlmg 杆动能的另一种表达：杆动能的另一种表达：科尼西定理科尼西定理势能零点势能零点质心动能质心动能绕过质心轴绕过质心

9、轴转动动能转动动能 22212121221sin20mljjlmlmgcc 四、刚体的无滑动滚动四、刚体的无滑动滚动 瞬时转轴瞬时转轴（补充）（补充）1、平面平行运动平面平行运动只考虑圆柱，球等只考虑圆柱，球等轴对称刚体轴对称刚体的滚动。的滚动。质心做平面运动绕过质心垂直轴做转动质心做平面运动绕过质心垂直轴做转动2、无滑动滚动：、无滑动滚动：rcpcvca 任意时刻接触点任意时刻接触点p 瞬时静止瞬时静止 rarvcc 无滑动滚动条件：无滑动滚动条件：【思考思考】下一时刻下一时刻p点位置？点位置？cmafmg sin转动惯量小的滚得快！转动惯量小的滚得快！【演示实验】【演示实验】不同质量分布的

10、等质量柱体滚动不同质量分布的等质量柱体滚动质心运动定理质心运动定理过质心轴转动定理过质心轴转动定理纯滚动条件纯滚动条件（运动学条件运动学条件）2sinmrjmgrc 【例例】两个质量和半径两个质量和半径都相同，但转动惯量不都相同，但转动惯量不同的柱体，在斜面上作同的柱体，在斜面上作无滑动滚动，哪个滚得无滑动滚动，哪个滚得快？快？ mgfrc cjrf rac xy3、轴对称、轴对称刚体无滑动滚动刚体无滑动滚动中的瞬时转轴中的瞬时转轴cpabdefv 时刻时刻t 接触点接触点p 瞬瞬时静止；时静止； 在时间在时间( (tt+ t) )内内，以以p点为原点点为原点建立平动坐标系；建立平动坐标系；

11、时间时间( (t t+ t) )内，内，刚体的运动（质心平动、刚体的运动（质心平动、绕质心轴转动）可以看成：绕质心轴转动）可以看成：绕过绕过 p 点且垂直于点且垂直于固定平面的转轴的无滑动滚动。固定平面的转轴的无滑动滚动。接触点接触点p ：瞬时转轴瞬时转轴瞬时转动中心瞬时转动中心绕绕瞬时转轴的转动定理的形式？瞬时转轴的转动定理的形式？ 虽然虽然p点瞬时静止，但有加速度，所以除了点瞬时静止，但有加速度，所以除了力矩力矩mp外，还外，还应考虑惯性力矩。应考虑惯性力矩。 下面证明：下面证明：对于无滑动滚动的对于无滑动滚动的轴对称刚体，轴对称刚体，接触点接触点p的加速度沿过的加速度沿过p点的半径方向，

12、因此，点的半径方向，因此，关于过关于过p点的转轴，惯性力矩等于零。点的转轴，惯性力矩等于零。 惯性力作用在质心上，方向与惯性力作用在质心上，方向与p点的加速度点的加速度方向相反。方向相反。 ppjm :pj关于过关于过p点转轴的转动惯量点转轴的转动惯量轴对称刚体，绕轴对称刚体，绕瞬时转轴的转动定理：瞬时转轴的转动定理：24证明：证明：pcpaaa :pap点相对惯性系的加速度点相对惯性系的加速度:pa p点相对质心的加速度点相对质心的加速度rcpcvca pnptpaaa 按切、法向分解按切、法向分解：无滑动滚动：无滑动滚动：,cptvv cptaa pnptcpaaaa p点加速度沿半径方向点加速度沿半径方向appna pnccaaa 过过p点转轴惯性力矩等于零点转轴惯性力矩等于零25【例例】两个质量和半径两个质量和半径都相同，但转动惯量不都相同，但转动惯量不同的柱体，在斜面上作同的柱体，在斜面上作无滑动滚动，哪个滚得无滑动滚动，哪个滚得快？快？关于瞬转轴列转动定理重解：关于瞬转轴列转动定理重解： mgfrcp pjmgr sin2mrjjcp 2sinmrjmg