几何概型1唐锐光

1、古典概型的两个特点：古典概型的两个特点：（1）基本事件总数是有限个）基本事件总数是有限个（有限性）（有限性）；（2）每个基本事件等可能发生）每个基本事件等可能发生（等可能性）（等可能性）。 古典概型的概率计算公式是：古典概型的概率计算公式是：nmaap基本事件总数包含的基本事件个数)(问题问题1:古典概型具有什么特点古典概型具有什么特点?它的它的概率计算公式是什么概率计算公式是什么?问题问题2：某同学利用电脑在区间某同学利用电脑在区间0,5上随机产生一上随机产生一个数个数x。(1)若若x只限取整数，则在区间只限取整数，则在区间3,4上的概率是多上的概率是多少？少？(2)若若x只限取只限取0.5

2、的整数倍，则在区间的整数倍，则在区间3,4上的概上的概率是多少？率是多少？(3)若若x只限取只限取0.25的整数倍，则在区间的整数倍，则在区间3,4上的上的概率是多少？概率是多少？(4)若若x只限取只限取0.125的整数倍，则在区间的整数倍，则在区间3,4上的上的概率是多少？概率是多少？(5)若若x为任意实数，则在区间为任意实数，则在区间3,4上的概率是多上的概率是多少？少？(请同学们解答请同学们解答(1)、(2) ,思考思考(3)、(4)如何求解如何求解?)113)2( ;31) 1 (此问题系列中哪些属于古典概型？此问题系列中哪些属于古典概型？问题问题3：在刚刚结束的第在刚刚结束的第16届

3、广州亚运会射箭比赛中，届广州亚运会射箭比赛中，箭靶是涂有五个彩色的分环箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫金色靶心叫“黄心黄心”.比赛比赛靶面直径为靶面直径为122cm,黄心直径为黄心直径为12.2cm.运动员在运动员在70m外射箭外射箭,假设每箭都能中靶假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是且射中靶面内任一点都是等可能的等可能的,那么射中黄心的概率是多少那么射中黄心的概率是多少?122cm问题问题2(5)与问题与问题3中基本事中基本事件是什么？属于古典概型件是什么？属于古典概型吗？为什么吗？为什么？

4、如何求它们的概率呢？如何求它们的概率呢？问题问题2(5)若若x为区间为区间0,5上任意实数，则在区间上任意实数，则在区间3,4上的概率是多少？上的概率是多少？51)(adbcllap01. 0)(箭靶黄心ssap 问题问题4 4：在在500 ml500 ml的水中有的水中有1 1个细菌个细菌, , 用现从中随机出出用现从中随机出出20 ml20 ml水样放到水样放到 显微镜下观察显微镜下观察 , ,能发现细菌的概率能发现细菌的概率 是多少？是多少？25150020)(vvapa问题问题2(5)解解:设设”x在区间在区间3,4上上”为事件为事件a,由由于事件于事件a对应线段对应线段bc长度为长度

5、为1个单位个单位,区间区间0,5对应线段对应线段ad长度为长度为5个单位个单位,所以事件所以事件a发生的发生的概率概率:51)(adbcllap01. 0212222 .12)(22箭靶黄心ssap问题问题3略解略解:122cm25150020)(vvapa问题问题4略解略解:？这就是我们这节课要学习的新的概率模型从少到多、从疏到密、从从少到多、从疏到密、从有限到无限有限到无限 、从量变到质从量变到质变变. 基本事件基本事件无法计数无法计数(无限个无限个)问题问题2回回 顾顾无限无限有限有限长度长度基本事件对应点的集合构成线段，虽然基基本事件对应点的集合构成线段，虽然基本事件的个数（无限）无法

6、求出，但它们本事件的个数（无限）无法求出，但它们构成的线段的长度（有限）却是可以求出构成的线段的长度（有限）却是可以求出的，我们可以的，我们可以将线段的长度代替基本事件将线段的长度代替基本事件的个数。的个数。 问题问题2(5)若若x为区间为区间0,5上任意实数，则在区间上任意实数，则在区间3,4上的概率是多少？上的概率是多少？122cm无限无限有限有限面积面积问题问题3问题问题4无限无限有限有限体积体积问题问题5：同学们知道问题同学们知道问题3中射中黄心中射中黄心是相对最难的，难在何处？是因为它是相对最难的，难在何处？是因为它在正中间吗？还是因为它的形状与其在正中间吗？还是因为它的形状与其它颜

7、色的环不同？还是它的面积相对它颜色的环不同？还是它的面积相对最小？最小？122cm我们在求概率时关我们在求概率时关注的是面积之比而注的是面积之比而不是它们的位置。不是它们的位置。对于问题对于问题2（5）与）与问题问题4我们求概率时我们求概率时同样关注的只是长同样关注的只是长度（体积）之比。度（体积）之比。问题问题6：我们把类似我们把类似问题问题2(5)、问题、问题3和问题和问题4中中的概率叫几何概率模型（简称的概率叫几何概率模型（简称几何概型几何概型），几），几何概型的定义是什么呢？何概型的定义是什么呢？几何概型定义几何概型定义: :如果每个事件发生的概率只与构成该事件区如果每个事件发生的概率

8、只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为的概率模型为几何概型几何概型. . aaap面积或体积）构成几何区域的长度（所有试验结果面积或体积）构成几何区域的长度（事件)(几何概型的概率计算公式是：几何概型的概率计算公式是：参照古典概型的特点，几何概型有哪参照古典概型的特点，几何概型有哪两个特点？两个特点？几何概型的两个特点：几何概型的两个特点：（1）基本事件总数是无限个）基本事件总数是无限个（无限性）（无限性）；（2）每个基本事件等可能发生）每个基本事件等可能发生（等可能性）（等可能性）。古典概型古典概型几何概型几何概型所有基本所有

9、基本事件的个事件的个数（数（是否是否有限有限）每个基本每个基本事件发生事件发生的可能性的可能性（是否等是否等可能可能）概率的计概率的计算公式算公式有限个有限个无限个无限个等可能等可能等可能等可能nmap)(aap)(概念辨析概念辨析问题问题7：某力气较小的女生投铅某力气较小的女生投铅球，投掷区域如下图所示，假设球，投掷区域如下图所示，假设她每次都能投进这个区域，能否她每次都能投进这个区域，能否用几何概型的概率计算公式计算用几何概型的概率计算公式计算她投进区域她投进区域1的概率？为什么？的概率？为什么？例例1.某人午觉醒来某人午觉醒来,发现表停了发现表停了,他打开收音机他打开收音机,想听电台报时

10、想听电台报时,求他等待的时间不多于求他等待的时间不多于10分钟分钟的概率的概率.(假设整点报时假设整点报时)初步应用初步应用变式练习：变式练习：取一根长为取一根长为3米的绳子米的绳子,拉直后拉直后在任意位置剪断在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不那么剪得两段的长都不少于少于1米的概率有多大米的概率有多大? 初步应用初步应用31 “抛阶砖抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一是国外游乐场的典型游戏之一. .参参与者只须将手上的与者只须将手上的“金币金币”（设（设“金币金币”的半径的半径为为 r）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的的“金币金币”若恰好若恰好完全

11、完全落在任何一个阶砖（边长落在任何一个阶砖（边长为为a的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖叠），便可获奖. .问：参加者获奖的概率有多大？问：参加者获奖的概率有多大？ 例例2:2: 抛阶砖游戏抛阶砖游戏初步应用初步应用02raa aa于是成功抛中阶砖的概率于是成功抛中阶砖的概率的面积的面积saap)(22)2(ara02ra计算几何概型概率的一般步骤：计算几何概型概率的一般步骤：o 第一步：判断是否为几何概型第一步：判断是否为几何概型o 第二步：将试验的每一个基本事件与点第二步：将试验的每一个基本事件与点(或其或其它）对应它）对应o 第三步

12、：算出与事件第三步：算出与事件a发生所对应的点构成的发生所对应的点构成的区域的长度（面积或体积）区域的长度（面积或体积）o 第四步：算出试验全部结果所对应的点构成第四步：算出试验全部结果所对应的点构成的区域的长度（面积或体积）的区域的长度（面积或体积）o 第五步：利用几何概型概率公式计算概率第五步：利用几何概型概率公式计算概率算法算法研讨问题研讨问题1：问题问题2（5）与问题）与问题3能否转化为古典概型呢？能否转化为古典概型呢？问题研讨问题研讨研讨问题研讨问题2：概率为概率为0的事件，一定是不的事件，一定是不可能事件吗？概率为可能事件吗？概率为1的事件，一定是必的事件，一定是必然事件吗？然事件

13、吗？122cmo 本节课你在知识上和思想方法上有些什么本节课你在知识上和思想方法上有些什么收获？收获？o 知识上知识上n 几何概型的定义及特点几何概型的定义及特点n 几何概型的计算公式及步骤几何概型的计算公式及步骤o 思想方法上思想方法上n 从特殊到一般，再到特殊从特殊到一般，再到特殊n 转化思想转化思想n 数形结合思想数形结合思想n 类比的方法类比的方法 n 数学建模、算法思想数学建模、算法思想总结反思总结反思 几何概型几何概型跨越了跨越了“有限有限”从此你的名字不再叫从此你的名字不再叫“古典古典”你采用了几何区域的度量你采用了几何区域的度量于是你的名字并与于是你的名字并与“几何几何”结缘结缘“等可能等可能”是你与是你与“古典古典”共同的基石共同的基石只不过你呈现的是只不过你呈现的是“均匀均匀”你无穷而有界你无穷而有界与与“古典古典”有着难以割舍的血缘有着难以割舍的血缘布置作业布置作业:（1）课