《数值微分教学》PPT课件

1、第三章 数值积分与数值微分3.5数值微分数值微分3.5.3 3.5.3 数值微分的外推算法数值微分的外推算法3.5.1 3.5.1 插值型求导公式插值型求导公式第三章 数值积分与数值微分3.5 数值微分数值微分学习目的：学习目的：掌握几个数值微分计算公式掌握几个数值微分计算公式 。第三章 数值积分与数值微分 ,2,hOhhxfhxfxfhOhhxfxfxfhOhxfhxfxf 3.5数值微分数值微分第三章 数值积分与数值微分3.5.1 3.5.1 插值型求导公式插值型求导公式设设fx是定义在是定义在a，b上的函数，并给定区间上的函数，并给定区间a，b上的函数，上的函数，并给定区间并给定区间a，

2、b上的上的n+1个节点个节点 出的函数值出的函数值 这样这样,我们可以建立函数我们可以建立函数 的的n次插值多项式次插值多项式多项式的求导是容易的多项式的求导是容易的,称称 (3.5.1)为插值型求导公式。为插值型求导公式。xk ., 1 , 0,nkxfk xf xPn xPxfn 第三章 数值积分与数值微分该当指出，即使该当指出，即使 和和 的值相差不多，导数的近似值的值相差不多，导数的近似值 与导数的值与导数的值 依然能够相差很大。因此在运用求导公式依然能够相差很大。因此在运用求导公式3.5.1时，应留意误差的分析。时，应留意误差的分析。 xf xPn xPn xfx根据插值余项定理，求

3、导公式根据插值余项定理，求导公式3.5.1的余项为的余项为 ,!1!11111nnnnnfdxdnxxnfxPxf式中式中 .101nnxxxxxxx在上述余项公式中，由于在上述余项公式中，由于 是是x的未知函数，我们无法对右端的的未知函数，我们无法对右端的第二项作出进一步的阐明。因此，对于随意给出的点第二项作出进一步的阐明。因此，对于随意给出的点x，求导公式，求导公式的余项是很难估计的。的余项是很难估计的。第三章 数值积分与数值微分然而，假设我们限定求节点上的导数值，那么有余项公式然而，假设我们限定求节点上的导数值，那么有余项公式 .!111knnknkxnfxPxf 下面我们调查节点处的导

4、数值。为简化讨论，假定所给的节点是等距的，下面我们调查节点处的导数值。为简化讨论，假定所给的节点是等距的，h是步长。是步长。1.两点公式两点公式当当n=1时，由时，由3.5.2得带余项的两点公式得带余项的两点公式 ,21010 fhxfxfhxf .21010 fhxfxfhxf 第三章 数值积分与数值微分2. 2. 三点公式三点公式当当n=2时，由时，由3.5.2的带余项的三点公式的带余项的三点公式 ,5432122100fhxfxfxfhxf ,6212201fhxfxfhxf ,342122102fhxfxfxfhxf3.3.五点公式五点公式当当n=4时，由时，由3.5.2不难导出带余项

5、的五点求导公式。这里给出不难导出带余项的五点求导公式。这里给出其中常用五点公式其中常用五点公式 ,308121243102fhxfxfxfxfhxf第三章 数值积分与数值微分xexf)8.1( f由由3.5.6有有由由3.5.7式有式有由由3.5.8式有式有0494. 682. 181. 148 . 13218 . 1fffhf0497.679.181.1218 .1ffhf0494.682.1379.1478.1218 .1fffhf0496.682.181.179.1878.1218 .1ffffhf准确值准确值 。计算结果显然与它们的余项相一致，由。计算结果显然与它们的余项相一致，由3.

6、5.8式计式计算所得的结果最准确。算所得的结果最准确。0496. 68 . 1e第三章 数值积分与数值微分然而，对于用插值法建立的数值求导公式通常导数值的准确度比然而，对于用插值法建立的数值求导公式通常导数值的准确度比用插值公式求得的函数值的准确度差，高阶导数值的精度比低阶用插值公式求得的函数值的准确度差，高阶导数值的精度比低阶导数值的精度差。所以，不宜用次方法建立高阶数值求导公式。导数值的精度差。所以，不宜用次方法建立高阶数值求导公式。用插值多项式用插值多项式 作为作为 的近似函数，还可以建立高的近似函数，还可以建立高阶数值微分公式阶数值微分公式)(xPn)( xf.2,1,kxPxfknk

7、第三章 数值积分与数值微分我们知道，三次样条函数我们知道，三次样条函数S(x)作为作为fx的近似函数，不但彼此的函数值的近似函数，不但彼此的函数值很接近，导数值也很接近。因此用样条函数建立数值微分公式是很自然的。很接近，导数值也很接近。因此用样条函数建立数值微分公式是很自然的。设在区间设在区间a，b上，给定一种划分上，给定一种划分及相应的函数值及相应的函数值 再给定适当的边境条件，按三次样再给定适当的边境条件，按三次样条函数的算法，建立关于节点上的一阶导数条函数的算法，建立关于节点上的一阶导数 或二节导数或二节导数 的样条方程组。求得的样条方程组。求得 或或 从而得到三次样条插值从而得到三次样

8、条插值函数函数S(x)的表达式。这样，可得数值微分的公式的表达式。这样，可得数值微分的公式,10baxxxnkkkxxh1kmnkMk, 1 , 0,kMkm 2 , 1 , 0, ixSxfii第三章 数值积分与数值微分对节点上的导数值，假设求得的是对节点上的导数值，假设求得的是nkmk, 1 , 0,那么由那么由S(x)的表达式有的表达式有 .,6)2(2,11kkkkkkkkkkxxfhmmhxSxfmxf假设求得的是假设求得的是nkMk, 1 , 0,那么由那么由S(x)的表达式有的表达式有 ,.,)2(611kkkkkkkkkMxfxxfMMhxSxf第三章 数值积分与数值微分3.5

9、.3 3.5.3 数值微分的外推算法数值微分的外推算法xxfcot)(先看一个简单的例子。求先看一个简单的例子。求 在在x=0.004出的一阶出的一阶导数值。采用中点微分公式导数值。采用中点微分公式3.5.6，即，即 hhxfhxfxf2 取取h=0.0016，那么得，那么得 3350438.626004.0 f 33344002.625004. 0 f对于中心差商，记对于中心差商，记 .21hxfhxfhhGxf由由Taylor级数展开有级数展开有 55421206xfhxfhxfhGxfnn第三章 数值积分与数值微分利用利用Richardson外推公式，取外推公式，取 那么有那么有,2,

10、2kPqk ., 2 , 1,142/4,11mhGhGhGhGhGmmmmm外推公式外推公式3.5.9的终止规范是的终止规范是 是预先给定的是预先给定的误差小量。误差小量。 ,) 2/(1hGhGmm例例 3.10 3.10 设设 设设h h分别取分别取0.1,0.05,0.0250.1,0.05,0.025时求出时求出x=0.5x=0.5出的一阶导数的中心差商出的一阶导数的中心差商, ,进展外推进展外推, ,并与准确值进展比较。并与准确值进展比较。 xexxf2解解 先分别取先分别取h=0.1,0.05,0.025,求出节点求出节点x=0.5处的中心差商值，见处的中心差商值，见表表3-6，再按，再按3.5.9式进展外推，外推两次，结果列于表式进展外推，外推两次，结果列于表3-6中。中。从表从表3-6可见，可见，h=0.025时的中心差商值只需时的中心差商值只需3位有效数字，外推一位有效数字，外推一次到达次到达