第四有限长单脉冲响应FIR滤波器的设计方法

1、第四章第四章 有限长单位脉冲响应（有限长单位脉冲响应（fir）滤波器的设计方法滤波器的设计方法 序言序言4.1 线性相位线性相位fir数字滤波器的特性数字滤波器的特性4.2 窗口设计法（时间窗口法）窗口设计法（时间窗口法） 4.3 频率取样法频率取样法 4.5 iir与与fir数字滤器的比较数字滤器的比较序言序言 fir数字滤波器的差分方程描述数字滤波器的差分方程描述 10)()(niiinxany 10)(niiizazh 10)()()(niinxihny10)()()(niiizihzhiha对应的系统函数对应的系统函数 因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示因为它是一种线性时不

2、变系统，可用卷积和形式表示 比较比较、得：得：fir数字滤波器的特点数字滤波器的特点(与与iir数字滤波器比较数字滤波器比较)： 优点优点 ：（：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理）很容易获得严格的线性相位，避免被处理 的信号的信号 产生相位失真，这一特点在产生相位失真，这一特点在 宽频带信宽频带信 号处理、阵号处理、阵 列信号处理、数据传输等系统中列信号处理、数据传输等系统中 非常重要；非常重要； （2 ）可得到多带幅频特性；）可得到多带幅频特性； （3 ）极点全部在原点（永远稳定），无稳定）极点全部在原点（永远稳定），无稳定 性问题；性问题； （4 ）任何一个非因果的有限长序列，总

3、可以通过一）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一 定的延时，转变为因果序列，定的延时，转变为因果序列， 所以因果性总是所以因果性总是 满足；满足； （5）无反馈运算，运算误差小。）无反馈运算，运算误差小。缺点：（缺点：（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较 高的阶数为代价；高的阶数为代价； （2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解 析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。4.1 线性相位线性相位fir数字滤波器的特性数字滤波器的特性 )(4.1.1 线性

4、相位的条件线性相位的条件线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数，即式中为常数，此时通过这一系统的各频率分量的时延为一相同的常数，系统的群时延为 ddg)(fir滤波器的dtft为 nnnjjjenheheh式中 h()是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等: nnnnnnhnnhcossincossin将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左边，应用三角函数的恒等关系 nnnnhsin满足上式的条件是 10 ,121nnnnhnhn另外一种情况是，除了上述的线性相位外，还有一附加的相位，即 )( nnhnhn1221利用类似的关系

5、，可以得出新的解答为 20) 1( n 20) 5 . 0( n2 偶对称)(nh 奇对称)(nh图1 线性相位特性分四种情况4.1.2 线性相位线性相位fir滤波器的幅度特性滤波器的幅度特性分四种情况1 偶对称，n为奇数 h(n)=h(n-1-n)(nh4.1.2 线性相位线性相位fir滤波器的幅度特性滤波器的幅度特性 21230112121230102121)(njnnnnjnjnnnnjnjnnnjnnnjjjenheenhenhenhenhenheheh2/ )3(021cos)(221)(nnnnnhnhh 2121cos221)()(23021212302121nhnnnhenhe

6、enheehnnnjnnjnnnnjnjj21)(n21nnm令 ， 则2/ ) 1(1cos)21(221)(nmmmnhnhh21, 2 , 1,212)(,21)0(nnnnhnanha 2/10cos)(nnnnah令则由于 偶对称，因此 对这些频率也呈偶对称。且h(0)、h(/2), h(),h(2)都可不为零。(只要h (n-1)/2)不为零。所以w从从0 2 范围内，无任何约束，范围内，无任何约束，可以设计成任何一种滤波器。低通、高通、带通、带阻）可以设计成任何一种滤波器。低通、高通、带通、带阻）2 , 0cos关于n h 2h(n)偶对称，偶对称，n为偶数为偶数 h(n)=h(

7、n-1-n) 12/021cos)(2nnnnnhh令 ，则12nmn 2/121cos122nmmmnhh 120211201120112021cos21nnnjnnnnjnjnnnnjnnnjjnnnheeenhennhenheh nnhnbnnbhnn122)(21cos)(2/1或写为： 由于 奇对称，所以 对 也为奇对称，且由于 时， 处必有一零点，因此这种情况不能用于设计 时 的滤波器，如高通、带阻滤波器。对2/1cosn h1)(, 0)(zzhh在故 0h, 02/1cosn3. h(n)奇对称，奇对称，n为奇数，为奇数，h(n)=-h(n-1-n) 2302212301121

8、23021sin2nnnjnnnnjnjnnnnjnnnjjnnnheeenhenhenheh 令 ，得： 2/ )1(1sin212nmmmnhh)21(sin)(2)(230nnnnnhh mmnhhnm211sin21212nmn所以 nnhncnnchnn212)(sin)(211由于 点呈奇对称，所以 对这些点也奇对称。由于 时， 相当于h（z）在 处有两个零点，不能用于 的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计、只能实现带通滤波器。2 , 0sin对n h1z2 , 0 , 0, 0sinhn 00)0(hh和4.h(n)奇对称，n为偶数 12022121sin2nnn

9、jjnnnheeh)21(sin)12(2)(21nmmmnhh12nnm令 2/121sin)(nnnndhnnhnd122)(21sinn由于 在=0,处为零，所以h()在=0, 2处为零，即h(z)在z=1上有零点，并对=0,2呈奇对称（不能实现低通、带阻滤波器）。 四种线性相位fir滤波器四种线性相位fir df特性，参考 p91 表4.1第一种情况 ，偶、奇，四种滤波器都可设计。第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计 高通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器 都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设 计低通和带阻。例例1 n=5

10、, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度函数h ()。解 为奇数并且h(n)满足偶对称关系a (0) = h (2) = 2a (1) = 2 h (3) = -1a (2) = 2 h (4) = -1h () = 2 - cos- cos2 = 2- (cos+cos2) 小结： 四种fir数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。幅度特性取决于h(n)。设计fir数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。4.1.3 线性相位线性相位fir滤波器的零点特性滤波器的零点特性

11、 )1()(nnhnh 11001nnnnnnh zh n zh nn z 101101)(nmmnnmmnzmhzzmhzh 11zhzzhn由该式可看出，若z=zi是h（z）的零点，则z=z-1i也一定是h（z）的零点。由于h(n)是实数，h（z）的零点还必须共轭或对，所以z=z*i 及 z=1/z*也必是零点。 所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，即成四出现，这种共轭对共有四种可能的情况：既不在单位园上，也不在实轴上，有四个互为倒数的两组共轭 对zi ，z*i ，1/zi ，1/z*i 图4.2(a) 在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的共轭，所以有一对共轭零点， zi

12、，z*i 图4.2（b） 不在单位圆上，但在实轴上，是实数,共轭就是自己，所以有一对互为倒数的零点, zi，1/zi 图4.2（c）又在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以成单出现，只有两种可能，zi=1或zi=-1 图4.2(d),p92我们从幅度响应的讨论中已经知道，对于第二种fir滤波器（h(n)偶对称，n为偶数）， ，即 是 的零点，既在单位圆，又在实轴，所以，必有单根 0h1jez h对于第三种fir滤波器，h(n)奇对称，n为奇数，因 所以z=1，z=-1都是h（z）的单根；对于第四种滤波器，h(n)奇对称，n为偶数，h(0)=0，所以z=1是h（z）的单根。线性相位滤

13、波器是fir滤波器中最重要的一种，应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵循其约束条件。 (0)0,0hh4.2 窗口设计法（时域）窗口设计法（时域） 如果希望得到的滤波器的理想频率响应为 ，那么 fir滤波器的设计就在于寻找一个传递函数 去逼近 ，逼近方法有三种： 窗口设计法（时域逼近） 频率采样法（频域逼近） 最优化设计（等波纹逼近） 时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。我们知道hd(n)可以从理想频响 通过付氏反变换获得 )(jdeh10( )njjnnheh n e)(jdeh221)(onjjdddeehnh 但一

14、般来说，理想频响 是分段恒定，在边界频率处有突变点，所以，这样得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往都是无限长序列，而且是非因果的。但fir的h(n)是有限长的，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)。最简单的办法是直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。这种截取可以形象地想象为h(n)是通过一个“窗口”所看到的一段hd(n)，因此 ，h(n)也可表达为h(n)和一个“窗函数”的乘积，即 h(n)=w(n) hd(n) 在这里窗口函数就可以是矩形脉冲函数rn（n），当然以后我们还可看到，为了改善设计滤波器的特性，窗函数还可以有其它的形式，相当于在矩形窗内对hd(n)作一定的加权

15、处理。)(jdeh 窗函数法设计流程：一.矩形窗口法)(jdehccjjdeeh01)(则)()(sin(2121)(nndeedeehnhcnjjnjjddcc 以一个截止频率为 c的线性相位理想低通滤波器为例,讨论fir的设计问题。a. 对于给定的理想低通滤波器 ，计算：低通滤波器的延时)(nhd理想特性的hd(n)和hd() 这是一个以为 中心的偶对称的无限长非因果序列，如果截取一段n=0n-1的hd(n)作为h(n)，则为保证所得到的是线性相位fir滤波器，延时 应为h(n)长度n的一半,即 2/ ) 1( n为其它值nnnonhnwnhnhdrd01)()()()(其中)()(nrn

16、wnrb.计算)(nhc.计算 。设 为窗口函数的频谱: 用幅度函数和相位函数来表示，则有 其线性相位部分 则是表示延时一半长度 ， )(jewnnnjjnnjnjrjeeeenwew1011)()()2/sin()2/sin(21nenjjrjewew)()(je2/ ) 1( n )(jeh)(*)()(jrjdjeweheh矩形窗函数及其幅度函数（见p94图4.4） 2/sin2/sinnwr对频响起作用的是它的幅度函数 理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式 hd(ej)=hd()e-j其中幅度函数为 两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有|0|1)(ccdhdewehewe

17、hehjrjdjrjdj)(21)(*)()()(dewehjrjd)()()(21dwherdj)()(21如果也以幅度函数 和相位函数来表示 h（ej）,则实际fir滤波器的幅度函数h（）为正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。 jjeheh)()(dwhhrd)()(21)()(h 矩形窗的卷积过程（p95的图4.5来说明）)(rwnc2)(rw4个特殊频率点看卷积结果：（1）=0时, h(0)等于在-c, c内的积分面积因一般故h(0)近似为在-, 内的积分面积（2）=c时，一半重叠， h(c)=0.5 h(0);（3） =c 2/n时，第一旁瓣（负数）在通带外，出现正肩峰；

18、 （ 4） =c +2/n 时，第一旁瓣（负数）在通带内，出现负肩峰。 窗口函数对理想特性的影响： 改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为 ， 等于wr()的主瓣宽度。（决定于窗长） 过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于 wr()的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强 ，与 n无关。（决定于窗口形状） n增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。 因主瓣附近 其中x=n/2,所以n的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变wr（）的绝对值大小和起伏的密度，当n增加时，幅值变大，频率轴变密，而最大肩峰永远为8.95%，这种现象称为吉布斯（gibbs）效应。 xxnnnnnwrsi

19、n2/)2/sin()2/sin()2/sin()(n4051-40-30-21-100n=15n=31用矩形窗设计的c=/2 fir滤波器的幅度响应 改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求：窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。 肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。几种常用的窗函数： 1. 矩形窗，上面已讲过

20、，不再细述 2. 汉宁窗（升余弦窗） 利用付氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数w（）可用矩形窗的幅度函数表示为： )(12cos1 21)(nrnnnwn)(25.0)(5.01212nreenrnnnjnnjn 211221122121121225. 05 . 011225. 05 . 0njrrrnnjrnnjrnjrjenwnwwenwenwewew)12()12(25. 0)(5 . 0)(nwnwwwrrr三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加1倍，为 。 n83. 汉明窗（改进的升余弦窗） 它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一零点的

21、宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内。 4. 布莱克曼窗（三阶升余弦窗） 增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，为 。增加n可减少过渡带。频谱的幅度函数为： )(12cos46.054.0)(nrnnnwn)(14cos08.012cos5.042.0)(nrnnnnnwn)12()12(25. 0)(42. 0)(nwnwwwrrr)14()14(04. 0nwnwrrn12窗口函数的频谱 n=51，a=20lg|w()/w(0)|四种窗函数的比较5 . 051cn窗函数主瓣宽度过渡带宽旁瓣峰值衰减(db)阻带最小衰减(db

22、)矩形n/4n/8 . 1-13-21汉宁n/8n/2 . 6-31-44汉明n/8n/6 . 6-41-53布莱克曼n/12n/11-57-74 例题：用矩形窗设计一个线性相位低通滤波器()0jwcjwdcewwheww（1）写出 的表达式，确定 与n的关系。( )h n（2）问有几种类型，分别是属于哪一种线性相位滤波器？（3）改用汉宁窗设计，写出 的表达式。( )h n 解：（1） 因此()1( )()21212sin()(),ccccjwjwnddwjwjwnwwjw nwcch nheedweedwedww nnnwn且 为整数( )( ) ( )sin()()( ),dcnch nh

23、 n w nw nnnrnwn且 为整数（2）因为 偶对称，所以若n为奇数，则属于第一种线性相位滤波器，若n为偶数，则属于第二种线性相位滤波器。（3）若为汉宁窗，则( )h n12( )1 cos()( )21nnw nrnn( )( ) ( )sin()12()1 cos()( )21,dcnch nh n w nw nnnnrnnwn且 为整数4.3 频率采样法频率采样法 工程上，常给定频域上的技术指标，所以采用频域设计更直接。一、基本思想一、基本思想 使所设计的fir数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其它频率处的特性则有较好的逼近。jnh

24、nidftnnkjdjdehnhkhehehd )(2)()(不同于点点频率取样确定 内插公式二.设计方法1）确定2）计算3）计算kkh、)( zh)(nh,)()(2kjknkjdehkheh1, 1 , 0nk,)(1)(10/2nknnkjekhnnh1, 1 , 0nn10)()(nnnznhzh三、 约束条件 为了设计线性相位的fir滤波器，采样值 h（k）要满足一定的约束条件。 前已指出,具有线性相位的fir滤波器，其单位脉冲响应h(n)是实序列，且满足 ，由此得到的幅频和相频特性，就是对h(k)的约束。（表4.1）。例如，要设计第一类线性相位fir滤波器，即n为奇数，h(n)偶对

25、称，则幅度函数h（）应具有偶对称性：)1()(nnhnh21)(njjeheh)2()( hh令 则 必须满足偶对称性：而 必须取为： kjkehkh)(knknnknk) 1(212 同样，若要设计第二种线性相位fir滤波器，n为偶数，h(n)偶对称，由于幅度特性是奇对称的， 2hhknkhhkh1, 1 , 0nk1, 1 , 0nk因此，hk 也必须满足奇对称性： 相位关系同上， 其它两种线性相位fir数字滤波器的设计，同样也要满足幅度与相位的约束条件。 knkhh1, 1 , 0,) 1(nknknk1, 1 , 0nk四、逼近误差 由 或 h（z）。由上述设计过程得到的 与 的逼近程

26、度，以及 与h（k）的关系？由jkkehkhh)(,jehjdehjeh1, 1 , 0,)(1)(10/2nnekhnnhnknnkj 令 ，则 1010/210)(1)()(nnnnknnkjnnnzekhnznhzh10/210)(1nnnnnkjnkzekhn1/21011)(1zezkhnnkjnnk1011)(1)(nkknzwkhnzzhnjew/2单位圆上的频响为：10/21)(1nkjnkjnjjeekhneeh10212/2sin2/sin)(1nknknjenknkhn10)(nkjkekh这是一个内插公式。式中 为内插函数令 则nknjjkenknne212/2sin)

27、2/sin(1kikieinjk01)(2, 1, 1 , 0,2niin1, 1 , 0,ni内插公式表明：l在每个采样点上， 逼近误差为零，频响 严格地与理想频响的采样值 h(k)相等；)()(khehkj)(jeh)(jehl在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；反之，误差大。在理想频率响应的不连续点附近， 会产生肩峰和波纹。ln增大，则采样点变密，逼近误差减小。图 频率采样的响应例：设计一个fir数字 lp 滤波器，其理想特性为 采样点数 n=33，要求线性相位。解：根据p.142的表4

28、.1，能设计低通线性相位数字滤波器的只有1、2两种，因n为奇数，所以只能选择第一种。即 h(n)=h(n-1-n)， 幅频特性关于偶对称，也即 hk 偶对称。利用 hk 的对称性,求2区间的频响采样值。5 .005 .001jdeh根据指标要求，在02内有33个取样点，所以第k点对应频率为 而截止频率 0.5位于 之间，所以，k=08时，取样值为1；根据对称性，故 k=2532时，取样值也为1，因 k=33 为下一周期，所以0区间有9个值为 1的采样点，2区间有8个值为 1 的采样点，因此：k33293328332和258hh330hh 321hh32033322124903225;8012k

29、knkkhknkk将 代入内插公式，求h(ej)：kjkehkh)(1016322/2sin2/sin1nknkjnkjkjeenknhneh163202/33/2sin33233sin331jkkekkh考虑到8k25时 hk=0，而其它k时，hk=1,令 k=33-n，则 32252/33/2sin33233sinkkkkh8133/)33(2sin33)33(233sinnnn8181332sin33233sin332sin33233sinnnnnkn81332sin33233sin332sin33233sin2sin233sin331)(kjkkkkeh 从图上可以看出，其过渡带宽为一

30、个频率采样间隔 2/33，而最小阻带衰减略小于20db。 对大多数应用场合，阻带衰减如此小的滤波器是不能令人满意的。增大阻带衰减三种方法：1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。 例如在本例中可在k=9和k=24处各增加一个过渡带采样点h9=h24=0.5，使过渡带宽增加到二个频率采样间隔4/33，重新计算的h(ej)见图4.12(c)，其阻带衰减增加到约 -40db。 2）过渡带的优化设计 根据h(ej)的表达式，h(ej)是hk的线性函数，因此还可以利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值，得到要求的滤波器的最佳逼近（而不是盲目地设定一个过渡带值）。例如，本例中可以用简单的梯度搜

31、索法来选择h9、h24,使通带或阻带内的最大绝对误差最小化。 要求使阻带内最大绝对误差达到最小（也即最小衰减达到最大），可计算得h9=0.3904。对应的 h(ej)的幅频特性，比h9=0.5时 的阻带衰减大大改善,衰减约-50db。如果还要进一步改善阻带衰减，可以进一步加宽过渡区，添上第二个甚至第三个不等于0的频率取样值，当然也可用线性最优化求取这些取样值。 3）增大n 如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带宽，可增加采样点数n。 例如，同样边界频率c=0.5 , 以n=65采样，并在k=17和k=48插入由阻带衰减最优化计算得到的采样值h17=h48=0.5886,在k=18、47处插入经阻带衰减最优化计