《立体图形的直观图》教学设计、导学案、同步练习

《8.2立体图形的直观图》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要平面图形、空间几何体的直观图的画法。画出空间几何体的直观图是学生学好立体几何的必要条件。本节课主要是介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法。而水平放置的平面图形的直观图画法,是画空间几何体直观图的基础。教学的重点是斜投影画平面图形直观图的方法,即斜二测画法。教材给出了正六边形、长方体、圆柱、圆柱和圆锥组合体直观图的画法。教学时可以适当延伸,讨论正五边形、圆锥、圆台、球的直观图画法。画空间几何体的直观图，了解空间几何体的直观图，有助于提高学生的空间想象能力，是学生学习点、直线、平面之间位置关系的基础。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．B．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．1.数学抽象：斜二测画法；2.逻辑推理：斜二测画法的步骤；3.数学运算：画出一些简单平面图形和立体图形的直观图；4.直观想象：立体图形的直观图。【教学重点】：斜二测画法的步骤；【教学难点】：会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图。【教学过程】教学过程教学设计意图复习回顾，温故知新请你说出下面几何体分别是什么几何体？这些图形就是空间几何体的直观图二、探索新知思考：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？【答案】平行四边形1.斜二测画法。利用平行投影，人们获得的画直观图的方法是斜二测画法。用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤：练习：用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图．【答案】解：①以正方形的中心为原点，平行与边的直线为x轴,y轴建立如图所示的坐标系；②建立=45°的坐标系③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、y’轴，但横向长度不变，纵向长度减半例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图。解：（1）在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O。画相应的轴和轴，两轴相交于点，使（2）以为中心，在轴上取，在轴上取，以点为中心，画平行与轴，并且等于BC；再以为中心，画平行于轴，并且等于EF。（3）连接，并擦去辅助线轴和轴，便获正六边形ABCDEF水平放置的直观图。规则：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的轴和轴,两轴相交于,且使,它们确定的平面表示水平面；（2）已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段；（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。结论：画直观图时，除多边形外，还会遇到画圆的直观图的问题，生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来象椭圆，因此一般用椭圆作为圆的直观图，画图时，常用如图椭圆模板。练习：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确。(1)相等的线段在直观图中仍然相等。（）(2)平行的线段在直观图中仍然平行。（）(3)一个角的直观图仍然是一个角。（）(4)相等的角在直观图中仍然相等。（）【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×例2.已知长方体的长,宽,高分别是3cm,2cm,1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图。解：画法：（1）画轴。画三轴交于点O，使。画底面。在x轴正半轴上取线段AB，使AB=3cm，在y轴正半轴上取线段AD，使AD=1cm,过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C,则平行四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图。（3）画侧棱。在z轴正半轴上取线段，使，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段（4）成图。顺次连接，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线），就可得到长方体的直观图。例3.已知圆柱的底面半径为1cm.侧面母线长3cm，画出它的直观图。结论：圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线。画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心得截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性。例4.某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合。画出这个组合体的直观图。解：画法：如图，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图。通过复习上节所学，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过思考，让学生了解平面图形的的直观图，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过讲解步骤，让学生了解注意画平面图形的直观图，提高学生分析问题、概括能力。通过练习，进一步熟悉平面图形直观图的画法，提高学生的解决问题的能力。通过例题进一步巩固平面图形直观图的画法，提高学生画图的能力、直观想象能力。通过总结规律，提高学生的概括能力。通过练习，让学生进一步理解斜二测画法，提高学生解决问题的能力。通过例题进一步巩固空间几何体直观图的画法，提高学生画图的能力、直观想象能力。通过例题进一步巩固空间几何体直观图的画法，提高学生画图的能力、直观想象能力。通过例题进一步巩固简单组合体的直观图的画法，提高学生画图的能力、直观想象能力。三、达标检测1.判断正误用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(1)原来相交的仍相交. ()(2)原来垂直的仍垂直. ()(3)原来平行的仍平行. ()(4)原来共点的仍共点. ()【答案】(1)√(2)×(3)√(4)√2．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是()ABCD【答案】C【解析】正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形，且相邻的两边之比为2∶1，故选C.3．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为．【答案】10【解析】由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.故原四边形OPQR的周长为10.4．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．【解析】(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．①②③(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝eq\f(1,2)OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝eq\f(1,2)EC.(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1.水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：画轴取轴——取点——连线成图口诀：横不变纵减半，平行性不变2.空间几何体直观图斜二测画法步骤：画轴——画底面——画侧棱——连线成图口诀：横竖不变纵减半，平行性不变3.三视图与直观图联系，平行投影与中心投影不同表现形式五、作业习题8.22,6题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】本节课主要是介绍空间几何体的直观图画法,可以大胆放手让学生通过自主的学习进行归纳总结。教师在此主要起的是引导和点拨的作用。如在平面图形直观图的做法里面,给学生指出确定坐标系的关键性;引导学生发现其实是确定点位置的画法。在从平面图形的直观图过渡到空间几何体的直观图中,要引导学生的是进行对比学习,通过教师的设问进行点拨,如“平面图形直观图和空间几何体直观图的画法的联系与区别”。《8.2立体图形的直观图》导学案【学习目标】1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．【教学重点】：斜二测画法的步骤；【教学难点】：会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图。【知识梳理】1．斜二测画法我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的画法．2．空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的轴，直观图中与之对应的是轴；(2)平面表示水平平面，平面和表示竖直平面；(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中和都不变．(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为．【学习过程】一、探索新知思考：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？1.斜二测画法。利用平行投影，人们获得的画直观图的方法是斜二测画法。用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤：练习：用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图．例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图。规则：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的轴和轴,两轴相交于,且使,它们确定的平面表示水平面；（2）已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段；（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。结论：画直观图时，除多边形外，还会遇到画圆的直观图的问题，生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来象椭圆，因此一般用椭圆作为圆的直观图，画图时，常用如图椭圆模板。练习：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确。(1)相等的线段在直观图中仍然相等。（）(2)平行的线段在直观图中仍然平行。（）(3)一个角的直观图仍然是一个角。（）(4)相等的角在直观图中仍然相等。（）例2.已知长方体的长,宽,高分别是3cm,2cm,1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图。已知圆柱的底面半径为1cm.侧面母线长3cm，画出它的直观图。结论：圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线。画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心得截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性。例4.某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合。画出这个组合体的直观图。【达标检测】1.判断正误用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(1)原来相交的仍相交. ()(2)原来垂直的仍垂直. ()(3)原来平行的仍平行. ()(4)原来共点的仍共点. ()2．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是()ABCD3．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为．4．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．参考答案：思考：平行四边形1.练习：解：①以正方形的中心为原点，平行与边的直线为x轴,y轴建立如图所示的坐标系；②建立=45°的坐标系③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、y’轴，但横向长度不变，纵向长度减半例1.解：（1）在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O。画相应的轴和轴，两轴相交于点，使（2）以为中心，在轴上取，在轴上取，以点为中心，画平行与轴，并且等于BC；再以为中心，画平行于轴，并且等于EF。（3）连接，并擦去辅助线轴和轴，便获正六边形ABCDEF水平放置的直观图。练习：（1）×（2）√（3）√（4）×例2.解：画法：（1）画轴。画三轴交于点O，使。画底面。在x轴正半轴上取线段AB，使AB=3cm，在y轴正半轴上取线段AD，使AD=1cm,过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C,则平行四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图。（3）画侧棱。在z轴正半轴上取线段，使，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段（4）成图。顺次连接，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线），就可得到长方体的直观图。例3.例4.解：画法：如图，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图。达标检测1.【答案】(1)√(2)×(3)√(4)√2.【答案】C【解析】正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形，且相邻的两边之比为2∶1，故选C.3.【答案】10【解析】由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.故原四边形OPQR的周长为10.4.【解析】(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．①②③(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝eq\f(1,2)OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝eq\f(1,2)EC.(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．《8.2立体图形的直观图》同步练习一、选择题1．等腰三角形的直观图是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④2．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是()A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B．平行四边形的直观图仍是平行四边形C．两条相交直线的直观图可能是平行直线D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直3．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m、5m、10m，四棱锥的高为8m，若按1︰500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm4．如图所示，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（）A．2 B．4 C． D．5．（多选题）给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确是()A.角的水平放置的直观图一定是角；B.相等的角在直观图中仍相等；C.相等的线段在直观图中仍然相等；D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．6．（多选题）利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形；以上结论正确的是（）（多选）A．① B．② C．③ D．④二、填空题7．如图所示为水平放置的正方形，在平面直角坐标系中点的坐标为，用斜二测画法画出它的直观图，则点到轴的距离为_____________.8．给出下列说法：①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．其中，正确的说法是________．(填序号)9．有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图所示，，则这块菜地的面积为________.10．如图所示，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的，已知，，则AB边的实际长度是______.，△ABC的面积为。三、解答题11．一个几何体的三视图如图所示，画出这个几何体的直观图.12．如图所示的图形是从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体的直观图中分离出来的.（1）求直观图中的面积；（2）如果用图示中这样一个装置来盛水，那么盛满水后，水的形状可以抽象出一个什么几何体?《8.2立体图形的直观图》同步练习答案解析一、选择题1．等腰三角形的直观图是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】D【解析】由题意得，由直观图的画法可知：当时，等腰三角形的直观图是④；当时，等腰三角形的直观图是③；综上，等腰三角形的直观图可能是③④，故选D.2．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是()A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B．平行四边形的直观图仍是平行四边形C．两条相交直线的直观图可能是平行直线D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直【答案】B【解析】斜二测画法保持平行性不变，正方形的直观图是平行四边形，故选项A错误；平行四边形的对边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B正确；斜二测画法保持相交性不变，故两条相交直线的直观图仍是相交直线，故选项C错误；两条垂直直线的直观图应是夹角为45°的两条相交直线，故选项D错误.3．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m、5m、10m，四棱锥的高为8m，若按1︰500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm【答案】C【解析】由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.故选C.4．如图所示，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（）A．2 B．4 C． D．【答案】D【解析】设的边上的高为，因为，所以，又，所以.故选：D.5．（多选题）给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确是()A.角的水平放置的直观图一定是角；B.相等的角在直观图中仍相等；C.相等的线段在直观图中仍然相等；D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．【答案】AD【解析】由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴D对，A对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴BC错．故选AD.6．（多选题）利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形；以上结论正确的是（）（多选）A．① B．② C．③ D．④【答案】AB【解析】水平放置的边形的直观图还是边形，故①正确；因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以②正确；因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半，所以③④错误，故选：AB.二、填空题7．如图所示为水平放置的正方形，在平面直角坐标系中点的坐标为，用斜二测画法画出它的直观图，则点到轴的距离为_____________.【答案】.【解析】在直观图中，，，故点到轴的距离为.故答案为：8．给出下列说法：①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2