向量的直角坐标运算教学设计

1、7.3.2向量的直角坐标运算【教学目标】1 .理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算.2 .能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行.3 .通过学习，使学生进一步了解数形结合思想， 认识事物之间的相互联系， 培养 学生辩证思维能力.【教学重点】平面向量的坐标表不，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平 行.【教学难点】理解平面向量的坐标表示.【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，教师可以充分发挥学生的主体作 用，开展自学活动，通过类比、联想，发现问题，解决问题.引导学生分析归纳，形 成概念.【教学过程】教学内容师生互动设计意图导入1.平点Ay面内建立了直角

2、坐标系，【怎么表示？教师提出问题.学生回忆解答.为知识迁移做准备.；Na b) 11j0x2.平面向量是否也有类似的表示呢？3.平面向量基本定理的内容是什么？1.向量的直角坐标在直角坐标系内，我们分别:取基向量：取与x轴和y轴的正方向相同的两个单位向量e1，e2作为基向量.(2)得到实数对：任作一个向量a,由平面向量基本定理,有且只有一对实数ai, a2,使得= aei + a2e2,我们把(a，a)叫做向量a的坐标，记作其串冒-y1叫他4在x轴上尉坐标, IIa = (ai ,明，O;叫做eiai ei学生阅读课本，讨论并回答教师提出的问题:(1) ei, e与平面向量基本定理中的 ei,

3、e有什么区别?(2)向量的坐标与有序实数对之间是什么关系?教师针对学生的回答进行点评.教师引导学生学习向量的直角坐标表示.问题是为突出本课重点而设计.通过对比教学可以加深学生的印象.通过问题的详细探究,比直接给出说明更符合学生的特点，容易被学生接受.直角坐标平面上的基向式叫做向量的坐标表示.第58页学生尝试解答.教师探究：(1)如图，a, e2是直角坐 标平面上的基向量，你能写出0, a, e的坐标吗？ye2-O eixe1 = (1 , 0) , e2=(0 , 1) , 0 = (0 , 0) .(2)向量的坐标与点的坐标 之间有何关系？"Oa= xa + ye2=(x, y).

4、即点A的位置向量Oa的坐标(x, y),也就是点A的坐标；针对学生的回答进行点评.教师提出问题.师生共同解答.试一试：在平面直角 坐标系xOy中作向量a =(1 , 2),作有向线段 "OA,使得点 A(1 , 2), 并说明向量a与有向线 段弓A表示的向量的关 系.求特殊向量 的坐标，可以加 深学生对向量坐 标概念的理解， 从而提高学生的 读图能力.加深对“向量 8a的坐标与点A 的坐标对 应”这个结论的 理解，在向量坐 标与原有的点坐 标之间架起桥 梁，为应用向量 知识解决几何问 题奠定基础.学生讨论求解.解由图可知a = 3ei + 2ez=(3, 2 ), b= 2ei+3e

5、z = ( 2, 3), c= 2e3e2 = ( 2, -3), d = 2ei 3e2=(2 , 3).学生阅读课本向量的直角坐标运算公式，在理解的基础上记忆坐标运算公式.通过例i可让学生加深对向量的直角坐标表示概念的理解，从而进一步提高学生的读图能力.反之，点A的坐标也是点 A相对 于坐标原点的位置向量3A的坐 标.例1如图，用基向量ei, e分别表示向量 a, b, c, d,并 求出它们的坐标.第59页2.向量的直角坐标运算(1)如果 a=(ai, a?) , b=(bi, b2),则教师对于第一个性a+ b= (ai, a2) +( bi, b2)=(a1+ bi, a2 + bz

6、);a b (ai, a2) ( bi, b2)=(a1 一 bi, a2 bz)；入a =入(a , 明=(入ai ,入a),其中入是实数.证明a+b=(ai, az) +(bi, bz)=(ae + ae) + ( be1 + bzez)=ae + be + a?e2 + &e2=(a1 + bi) e + (a2 + b?)e2=(a + bi, a2 + ba).请同学仿照上面的证明，自 己证明其他两个结论.上述向量的坐标运算公式，也可用语言分别表述为：两个向量和与差的坐标分别 等于这两个向量相应坐标的和与 差；质引领学生仔细推导.教 师给出具体的证明步骤.学生可分组讨论证 明

7、其他两个公式；小组讨论后，教师对 学生的回答给以补充、完 善.师生共同总结向量 的直角坐标运算公式及 文字叙述.在板书证明 的过程中，突出 解题思路与步 骤.通过学生讨 论，老师点拨， 可以突出解题思 路，深化解题步 骤，分解难点.教师简单点拨，学生 尝试解答a+b, ab, 3a+ 4b.教师点评，并板书详 细的解题过程.巩固理解, 形成技能.数乘向量积的坐标等于数乘 上向量相应坐标的积.教师出示问题.例 2 已知 a=(2 , 1) , b=(3, 4),求 a+b, a b, 3a+ 4b.解 a+b=(2 ,1) + ( 3,4)= (T, 5);ab = (2 , 1) -( -3,

8、 4)=(5 , -3);3a+4b=3(2 , 1) +4( 3,4)= (6,3)+ ( 12,16) =(6, 19).学生阅读图形，讨论并回答教师提出的问题:(1) B是哪两个向量的差向量?(2) 6用口6b坐标分别为什么?教师针对学生的回答进行点评.师生共同总结文字可以进一步培养学生的读图，识图能力,培养学生数形结合的思想.例3 已知A(X1, y1)，点B(X2, v2 ,求Xb的坐标.解；Ab= "Ob 'Oa=(X2, y2) (X1, y)(X2一x1, y2一y1).此结论可用语言表述为:学生抢答.教师点拨，学生讨论解答.老师巡回观察点拨、解答 学生疑难.

9、教师点评，并板书详 细的解题过程.在板书例题的过程中，突出解题思路与步第62页骤.一个向量的坐标等于表示此 向量的有向线段的终点坐标减去 始点的相应坐标.练习一1 .已知a, b的坐标，求a+ b, ab： a=(4,3),b=(4,8);2 2) a=(3, 0), b = (0, 4).2.已知A, B两点的坐标，求Kb, "Ba的坐标：(1) N 3, 4), B(6, 3);为知识迁移做准备.(2) A(-3, 6), B(-8, -7).例4 已知A( 2, 1),点B(1 ,3),求线段AB中点M的坐标.解因为师生共同复习.教师提出问题.引出Ab="Ob&quo

10、t;Oa探究的问题.通过例5可 让学生加深对向 量平行的条件的 理解.= (1,3)(2,1)=(3,新2)；师生共同探究用向课所以量的坐标表示向量平行"Ow "Oa+ Xm的条件.教师给出具体的=A+ 2Ab探究步骤.1.=(2, 1)十2(3 ,学生尝试解答.2),1=(一2，2).1因此 M 2、2).第64页3.用向量的坐标表示向量平行的条件复习：(1)平行向量基本定理：如 果向量b才0,则a b的充分必 要条件是，存在唯一实数入，使 a=入 b；(2)数乘向量：已知b=(bi, b),贝U入b=(入bi,入.问题：在直角坐标系中，向 量可以用坐标表示，那么，能否师

11、生共同解决例5, 教师详细板书解题过程， 带领学生仔细分析解题 步骤.教师点拨，学生讨论 解答.通过例6进 一步加深学生对 向量的坐标表示 向量平行的条件 的理解.用向量的坐标表示两个向量的平行呢？探究：设 a= (a% 82) , b= (bi, b2),如果b才0,则条件a =入b可用坐标表示为(ai, 82)=入(bi, b),即a1b1a2b2消去入，得8也一a2bi= 0.一般地，对于任意向量a=(ai, a?) , b= (bi, b2),都有a baha2bi=0.例5判断下列两个向量是 否平行：(1) a=( i, 3) , b=(5, T5);(2) e=(2 , 0) ,

12、f =(0 , 3).解(i)因为(一i) x (一 i5) 3X 5=0,所以向量a和向 量b平行；(2)因为 2X30X0 =6才0,所以向量e和f不平行.例6 已知点A(-2, 一 i),师生合作共同完成.通过学生讨论、教师点拨,帮助学生顺利证明A , B, C三点共线.再次巩固用向量的坐标表示向量平行的思路和步骤.学习新知后紧跟练习有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容.有利于教师检验学生的掌握情况.B(0 , 4),向量 a= (1 , y),并且云B /a,求a的纵坐标y.解由已知条件得加=(0, 4) (2, 1)= (2 , 5),因为Xb/ a,所以1 X52Xy=0.一

13、 5解得y=,.例7 已知点A(-2, 3),B(0, 1), C(2 , 5),求证：A B, C三点共线.证明由已知条件得灰B=(0, 1) (2, 3)= (2 , 4),&= (2, 5)-(-2, 3)= (4 , 8).因为2X84X4=0,所以 五B/ KC,又线段AB和AC有公 共点A,所以A B, C三点共线.练习二1.已知 a=( 3, 4), b第65页=(2 , y),并且 a / b,求 y.2.已知点 A(-1, -3) ,B(0,1) , C(1 , 1),求证：A, B, C三点共线.小结1 .向量的直角坐标a=ae + ae2= (a1，a2).2 .向量的直角坐标运算：(1)两个向里和与差的坐 标分别等于这两个向量相应坐标 的和与差；(2)数乘向里积的坐标等 于数乘上向量相应坐标的积；(3) 一个向量的坐标等于向 量终点的坐标减去始点的相应坐 标.3.若 a=(a,明，b=(b1， b),则a / bab2 a2b1 0.作业教材P49 练习A组第1题(3),第2题(3);教材P51 练习A组第3题.学生阅读课本，畅谈 本节课的收获，老