物理光学：第六章 傅立叶光学

1、第六章第六章 傅立叶光学傅立叶光学用傅立叶分析的方法重新研究光的用傅立叶分析的方法重新研究光的传播、叠加和成像规律传播、叠加和成像规律6-1 平面波的复振幅和空间频率空间周期:dx=/cos， dy=/cos空间频率:u=1/dx=cos/, v=1/dy=cos/kxzxydxx=/2-, y=/2-u=sin x /, v=siny/kzyxxyydxdyx6-2 单色波场中复杂的复振幅分布及其分解典型振幅透射函数2222221, /20, 1 0, xaxrectaxxyaxycircaxy 其 它，其 它6-2.2 透镜的透射函数: :E0(x,y)E (x,y)d0d1d2dn012

2、211212120120120,exp( , ),exp( , )( , )( , )( , )( , ), ) , )(1)( , )(1x yAix yx yAix yx yx yx yx yk ddnd x yddnd x yddn dddndnddx ykndk n设单色波从左方向右入射到透镜，光波在紧靠透镜前后的复振幅分布为：EE透镜对入射波的位相改变为：因此12) dd(x,y)C1(x,y)(x,y)C2R12-(x2+y2)1/2d2d1-R2R11222211122222222221212221212RR-R-R,2R2R11( , )(1)()RR21111xyxyxyxy

3、xyx yk nnfRR 第一项与x,y无关常数，不影响位相空间分布，可不考虑。第二项d 和d 是坐标 x,y 函数：dd考虑傍轴近似：dd知：利用：2222022,2,( , )exp( , )exp2,( , )1, ( , )0 ( , )( , )exp2xyx ykfx yxyt x yix yikfx yP x yP x yxyt x yP x yikf 薄透镜的透射系数：EE透镜总是一定大小，引入光瞳函数透镜孔径内，其它6-2.3 复杂复振幅分布的分解：exp2iuxvy单色光波通过衍射屏引起的复杂的复振幅分布，可以利用傅里叶积分进行分解，不过是二维的傅里叶积分及其变换。假设在x

4、,y平面上的复杂的复振幅分布为E(x,y)，根据傅里叶积分定理,E(x,y)可以分解为 的基元函数的线性组合：( ,)E( , ) exp2E( , )( ,) exp2( ,)E( , )FT( ,)( ,)E( , )( ,)IFTE( , )E x yu viuxvydudvu vE x yiuxvydxdyE x yu vE x yE x yu vE x yu v 其 中是的 二 维 傅 里 叶 变 换 ， 简 记 为 ：而是的 傅 里 叶 逆 变 换 ， 简 记 为 ： 6-3 衍射现象的傅立叶分析方法6-3.1 夫琅禾费近似下衍射场与孔径场的变换关系：122111111111111

5、1221111111111exp,exp,exp22u,exp,exp,exp22,ikzikxyE x yxyE x yixydxdyi zzzzxyzzikzikE x yxyE x yiuxvydxdyi zzE x y在夫琅和费衍射近似下，衍射场的复振幅分布：令，v=则有表示孔径面上的复振幅分布除了积分号前的二次位相因子外，夫琅和费衍射场的复振幅分除了积分号前的二次位相因子外，夫琅和费衍射场的复振幅分布就是孔径平面上复振幅分布的傅立叶变换布就是孔径平面上复振幅分布的傅立叶变换11112211u,I,xyzzE x yx yE x yFT E x y，v=只关心衍射场的相对强度分布时，积

6、分号外因子不起作用夫琅和费衍射图样的强度分布可直接由的傅里叶变换求出16-3.1夫琅禾费衍射具体计算实例：五3.双缝和多缝衍射：上两式由上式可知6-4 透镜的傅里叶变换和成像性质6.4.1、傅立叶变换性质1.衍射屏紧靠透镜fE(x,y)E(x1,y1)E(x1,y1)1111111122111111,( ,)( , ),exp2x yx yx y t x yt x yxyx yx yikf假设光波透过衍射屏后的场分布为E，由于衍射屏紧靠透镜，所以透过透镜后的分布为：EE是透镜的透射系数，不考虑透镜有限孔径下，EE光波从紧靠透镜的平面传播到后焦面。22221111u2211uexp(),exp,

7、exp22exp(),exp,2xyffxxyikfxyx yikFTx yiki fffikfxyx yikFTx yi ff， v=光 波 从 紧 靠 透 镜 的 平 面 传 播光 波 从 紧 靠 透 镜 的 平 面 传 播 到 后 焦 面 ， 这 是 菲 涅 尔 衍 射 问 题 ：EE透 镜 的 二 次 位 相 因 子 和 变 换 函 数 中 的 二 次 位 相 因 子 相 消 ， 得 到 ：EEyff， v=上 式 说 明 除 一 个 振 幅 和 位 相 因 子 外 ， 透 镜 后 焦 面 的 复 振 幅 分 布 是衍 射 屏 复 振 幅 分 布 的 傅 里 叶 变 换 。2、衍射屏置

8、于透镜前一段距离fE(x,y)E(x1,y1)d0E(x2,y2)220022011u011uexp(cos)exp1(coscos)1( ,)exp1(,)21( ,)(,)xyffxyffikdikddikE x yxyFTE xyifffdfE x yFTE xyif， v=， v=处 理 方 法 同 前 ， 只 不 过 衍 射 屏 和 透 镜 前 平 面 有 相 移 ：如 果 把 衍 射 屏 置 于 透 镜 的 前 焦 面 ， 即 当时 ，说 明 ： 透 镜 后 焦 面 的 复 振 幅 分 布 准 确 的 是 衍 射 屏 平 面 复 振 幅分 布 的 傅 里 叶 变 换 。二、透镜的成

9、像性质1、点物距透镜无限远，紧靠透镜后面的场分布f22111111( ,)( ,)exp2lkE x yt x yixyf此条件下，紧靠透镜前表面的光场分布为一常数。设为1。不考虑透镜的有限孔径，紧靠透镜后表面的光场分布：上式表示一个以透镜后焦点为中心的球面波，因而透镜的焦点对应于点物在无穷远的透镜的像点。和几何光学一致。2、点物在轴上有限距离处，紧靠透镜后面的场ll22111111111122112211( ,)2( ,)( ,) ( ,)11exp, 2111exp,2 SSlxyE x yA iklE x yE x y t x yikAxylfllflikAxyll在傍轴近似下，透镜前的

10、振幅为：令上式表示一个会聚球面波，汇聚中心在距离透镜 的 点，是透镜对 成像的像点。与几何光学一致。sS3、点物在轴外有限距离处，紧靠透镜后面的场ll（x0,y0）（-x,-y）22111111111( ,)exp, 2 xyx xy yE x yAiklllfl4、点物在轴上有限距离处，透镜口径有限大，像面的场分布221111112( , )exp( ,)exp2 xyiE x yAikP x yxxyydxdyll22( , )( , )exp2xyt x yP x yikf6-5 相干成像系统及相干传递函数成像系统的普遍模型；l物面+入瞳+出瞳+像面光学系统的线性性：l相干系统振幅线性，

11、非相干系统光强线性光学系统可以近似为空间不变的相干系统中，对复振幅而言，扩展物体o(x,y)的像的g(x,y)等于点扩散函数h和物的几何光学像o(x,y)的卷积lg(x,y)= o(x,y)*h (x,y)相干传递函数Hc(u,v)=FTh (x,y)lHc(u,v)=Gc(u,v)/Oc(u,v)lHc(u,v)=P(lu, lv)6-6光学传递函数lH(u,v)=G(u,v)/O(u,v)lH(u,v)=两个错开出瞳的重叠面积/出瞳总面积有像差系统的传递函数l把像差表示为波像差Wl把W归入光瞳函数Pl其后的分析方法与无像差系统相同6-6 非相干成像系统及光学传递函数光强的卷积关系lI(x,

12、y)=Io(x,y)*hI(x,y)GI(u,v)=OI(u,v)HI(u,v)lGI(u,v)=FTI(x,y), OI(u,v)=FTIo(x,y), HI(u,v)=FThI(x,y)归一化：lO(u,v)= OI(u,v)/ OI(0,0), G (u,v)=GI(u,v)/ GI(0,0), H (u,v)=HI(u,v)/HI(0,0) 6-7 阿贝成像理论和阿贝阿贝成像理论和阿贝-波特实验波特实验 6.7.1 阿贝成像理论：核心：相干成像过程是两次衍射成像物面到透镜后焦面，第一次夫琅禾费衍射。后焦面到像面为第二次夫琅禾费衍射。物理解释：从傅里叶光学的观点来看，在相干条件下两次夫琅

13、禾费衍射就是物体复振幅分布的两次傅里叶变换。结果：物体复振幅分布函数复原，自变量加负号，就是形成物体的倒像。注意的问题：实现像和物完全相似，两次变换必须是准确的，即透镜(物镜)和出瞳要足够大实际物镜孔径总是有限，因此会出现“渐晕效应” 渐晕效应：透镜的孔径有限，将限制物体的高频率成分(对应于与Z轴夹角较大的平面波）的传播，导致在后焦面上得不到完全的物体频谱。 6.7.2 阿贝-波特实验：通过实验来看一下改变物频谱对于光信息的影响。阿贝-波特实验装置如下：用相干光源照明一张细丝网格，在成像透镜的后焦面出现周期性网格的傅里叶频谱，最后将这些频谱综合而在像面上复现网格的像。如果在频谱面上放上各种拦截

14、物，如狭缝、圆孔或圆环等，就能以各种方式直接改变频谱，从而使像发生相应的变化。空间滤波器：能改变频谱，使像发生变化的光学器件。(a)和(b)分别是网格的频谱和相应的像。物的周期性结构在焦平面产生一系列分离的频谱变量，由于网格所在平面的有限孔径的限制，使得每个频谱有一定的扩展。频谱面放置一个水平方向的狭缝结果像只有网格的的垂直机构说明对像的垂直结构起作用的是沿水平方向的频谱分量频谱面放置一个垂直方向的狭缝结果像只有网格的的水平机构说明对像的水平结构起作用的是沿垂直方向的频谱分量如果用光阑挡住奇数级频谱，只让偶数频谱通过，像的频率会增加一倍。 6.8 相干光信息处理 6.8.1 相干光学处理系统双

15、透镜系统(4f系统）：物在L1前焦面，变换频谱形成在L1后焦面， L1后焦面恰好是L2前焦面从几何光学看，4f系统是两个透镜成共焦组合且放大率为-1的成像系统。(1)(2)(1)上式表示通过两次傅里叶变换，函数复原，只是自变量改变符号，意味着输出图像与输入图像完全相同，只是变成了一个倒像。因此对函数做一次傅里叶变换和一次傅里叶逆变换就得到函数本身，所以第二次傅里叶变换也可以视为逆变换加图像倒转。 6.9 非相干光信息处理许多成像光学仪器是对非相干光成像的，如望远镜、照相机和投影仪等。对这些成像系统，也可以通过一些处理手段来提高它们的成像质量和改善它们的性能。1.切趾术： 一种改变光学仪器衍射空

16、面上的复振幅分布，从而改变像斑的衍射图样的光强分布，以提高光学仪器的分辨本领的方法。光学仪器的理论分辨本领由衍射效应决定，其值可以根据瑞利判据求出。瑞利判据主要考虑了衍射像中央亮斑的影响，而忽略了其它次极大的影响。瑞利判据对两个等强度的点物所成的像是合适的，而如果被观察的两个点物强度相差悬殊，较强的次极大会妨碍对两个物的分辨。 (a)表示一个望远镜对远处物体的成像，L是望远镜物镜，D是孔径光阑。D是孔径光阑。远处物体在透镜后焦面上产生的像正是孔径的夫琅禾费衍射图样，其强度分布如上图(b)曲1所示。为把曲线1的次极大切除，可以在孔径光阑出放置一块振幅透射系数从中心到边缘呈高斯分布的薄片Q。因为后焦面上