电动力学复习总结第四章电磁波的传播答案

1、学习必备欢迎下载第四章电磁波的传播一、填空题1、 色散现象是指介质的 ()是频率的函数 .答案： ,2、 平面电磁波能流密度 s 和能量密度 w 的关系为 ()。答案： Swv3、 平面电磁波在导体中传播时 , 其振幅为 ()。答案： E0ex4、 电磁波只所以能够在空间传播 , 依靠的是 ()。答案：变化的电场和磁场相互激发5、 满足条件 ()导体可看作良导体，此时其内部体电荷密度等于()答案：1,0,6、 波导管尺寸为0.7cm×0.4cm，频率为 30×109HZ 的微波在该波导中能以()波模传播。 答案： TE10 波7、线性介质中平面电磁波的电磁场的能量密度（用电

2、场 E 表示）为()，它对时间的平均值为 ()。答案： E2,1 E0228、 平面电磁波的磁场与电场振幅关系为()。它们的相位 ()。答案： EvB,相等9、 在研究导体中的电磁波传播时， 引入复介电常数()，其中虚部是()的贡献。导体中平面电磁波的解析表达式为()。答案：i，传导电流， E( x,t)E0 ex ei (x t ) ,10、 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率c,m,n()，当电磁波的频率满足 ()时，该波不能在其中传播。若ba，则最低截止频率为 ()，该波的模式为 ()。答案：c, m, n( m ) 2( n ) 2， c, m,n ， TE01abb学习必备欢迎下

3、载11、全反射现象发生时 , 折射波沿 ()方向传播 . 答案：平行于界面、自然光从介质1(1， 1) 入射至介质 2(2， 2 ), 当入射角等于 ()12时, 反射波是完全偏振波 . 答案： i0 arctg n2 n113、迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是().t答案：0e二、 选择题1、 电磁波波动方程2 E12 E0, 2B12B 0, 只有在下列那种情况下c2t 2c2t 2成立（）A均匀介质B.真空中C.导体内D.等离子体中答案： A2、 电磁波在金属中的穿透深度（）A电磁波频率越高 , 穿透深度越深B.导体导电性能越好 ,穿透深度越深C. 电磁波频率越高 , 穿透深度

4、越浅D.穿透深度与频率无关答案： C3、 能够在理想波导中传播的电磁波具有下列特征（）A有一个由波导尺寸决定的最低频率, 且频率具有不连续性B. 频率是连续的C.最终会衰减为零D. 低于截至频率的波才能通过 .答案： A4、 绝缘介质中，平面电磁波电场与磁场的位相差为（）AB.C.0D.24答案： C5、 下列那种波不能在矩形波导中存在（）A TE10B.TM 11C.TEM mnD.TE01答案： C6、 平面电磁波 E 、 B 、 k 三个矢量的方向关系是（）A EB 沿矢量 k 方向B.B E 沿矢量 k 方向C. EB 的方向垂直于 kD.Ek 的方向沿矢量 B 的方向答案： A7、

5、矩形波导管尺寸为 ab ,若 ab , 则最低截止频率为（）学习必备欢迎下载AB.C.11D.2abaab答案： A8、 亥姆霍兹方程2 Ek 2E 0,(E0) 对下列那种情况成立（）A真空中的一般电磁波B.自由空间中频率一定的电磁波C. 自由空间中频率一定的简谐电磁波D.介质中的一般电磁波答案： C9、 矩形波导管尺寸为 ab , 若 ab , 则最低截止频率为（）AB.C.11D.2abaab答案： A三、问答题1、 真空中的波动方程， 均匀介质中的定态波动方程和亥姆霍兹方程所描述的物理过程是什么？从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。答：（ 1）真空中的波动方程：2E1E0，2B1

6、B0。c2t 2c2 t 2表明：在0 ， J 0 的自由空间，电场与磁场相互激发形成电磁波, 电磁波可以脱离场源而存在； 真空中一切电磁波都以光速c 传播；适用于任何频率的电磁波 ,无色散。2 E12E01（ 2）均匀介质中定态波动方程：v2t2，其中 v。12 B2 B0v2t2当电磁场在介质内传播时， 其 与一般随 变化，存在色散 ,在单色波情况下才有此波动方程。2 E k 2 E0, k（ 3）亥姆霍兹方程：E 0BiE表示以一定频率按正弦规律变化的单色电磁波的基本方程，其每个解都代表学习必备欢迎下载一种可能存在的波模。2、 什么是定态电磁波、 平面电磁波、平面单色波？分别写出它们的电

7、场表示式。从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。答：（1）定态电磁波：以一定频率作正弦振荡的波称为定态电磁波，即单色简谐波。 E(x,t )E ( x)e i t（2）平面电磁波：等相位面与波传播方向垂直且沿波矢量K 传播的电磁波。E (x)E0eik r（ 3 ）平面单色波：以一定频率作正弦振荡的平面波称为平面单色波。E( x,t )E0 ei ( k rt )3、 在0 的定态电磁波情形麦氏方程组的形式如何？为什么说它不是独立的，怎样证明？不是独立的，是否等于说有的方程是多余的呢？试解释之。答：定态电磁波情形麦氏方程组的形式为：E i B （1）BiE （2）对（ 1）和（ 2）取散度可

8、得（ 3） (4)两式，所以E 0 （3）B 0 （4）它不独立。不独立不表示方程多余，定态电磁波只是一种特殊情形,在更普遍的情况下，麦氏方程组四个方程分别描述了场的不同方面。4、 设有一电磁波其电场强度可以表示为EE0 x, t expi0 t 。试问它是否是平面时谐波（平面单色波）？为什么？答：不是。因为 E 做傅立叶展开后，可以看成是无数个平面单色波的叠加。如令E0 ( x, t)E0eik0 xcos(20 t)E0ei( k0 x 20t )1i ( k0x 2 0t )则2e2EE0ei ( k0 x 3 0 t )E0ei (k0 x0t ) 是两个单色波的叠加。225、 试述平

9、面单色波在均匀介质中具有哪些传播特性？并且一一加以证明。答：特性：是横波，且E， B， k 有右手螺旋关系证： E( x, t)E0ei (k rt )学习必备欢迎下载E ik E 0即 k E即电波为横波BiEi ik EB k, B E, E k ，得证。1 k E E与B同相位，振幅比为 v p 真空中为 cEx,ti k xtEo eB11i k x tkEn EoeVp其中：kk nn此式证明： E， B相位均为 k x-t,且振幅比为E1Bvp6、 在自由空间中， E( z, t )ey 103 sin(9108 tkz)V / m说明： (1)波数以及波的传播方向 ,(2) H(

10、 z,t) 的表现形式答：已知电场 E( z, t)ey103 sin(9108 tkz)V / m(1)由电场表示式知: k91083(rad / m) .电磁波沿 z 方向传播3108c(2)自由空间中 ,0, J0EB , ikEi 0 HtH 1 ez E c 0H1ezey103 sin(9108 tkz)=2.65sin(9108 t3z)exc07、 研究反射、折射问题的基础是电磁场在两个不同介质分界面上的边值关系，但为什么只需用两式，可否用另两式呢？学习必备欢迎下载n(E2E1 )0答：边值关系：n( H 2H 1 )在绝缘介质界面上0，0n ( D2D1 )n (B2B1 )

11、0对时谐电磁波， 麦氏方程组不独立， 由前两式可得后两式， 相应的边值关系也不独立，当n( E2E1 )0 成立时，法向分量的边界条件自然满足。n( H 2H1 )08、 试述入射波、反射波、折射波的频率、相位、传播方向和振幅各有些什么关系？答：频率关系： '" ，振幅与相位关系： E入射面 :Esin()1 coscosEsin()1 cos2 cosE2cossin21 cosEsin1 cos2 cosE / 入射面时: Etg() ，Etg()E2cos sinEsin()cos()传播方向：反射波矢和折射波矢和入射波矢在同一平面上，k k, k,', sin

12、22v1v2sin "119、 全反射时有什么特点？若要使线偏振的入射波通过全反射波反射成为圆偏振波，则对介质有什么要求？答：特点：a.发生全反射时， sinn21 折射波的波矢量垂直于界面的分量kz ik sin2n212 变为复数 ,折射波随进入深度所得增加而迅速衰减.b. 折射波的平均能流只有平行于界面的分量,能量主要集中在交界面附近厚度为 k 1的薄层内，反射波的平均能流密度等于入射波的平均能流密度，即对平均时间来说，入射波的能量全部被反射。要使线偏振的入射波通过全反射波反射成为圆偏振波，则全反射波的两个分量学习必备欢迎下载E , E 振幅必须相等，相差等于 (2 m1),

13、m0,1 ,2, 32反射波的菲涅尔公式： Esin()sincoscossin（1）Esin()sincoscossinEtg() = sincossinco s（2）Etg() sincossinco s由折射定律 sin22n21 ，全反射发生时， sinn21sin"11sin1 sin，cos1sin211sin2i1sin21（3）n21n212n212将三式代入（ 1），（2）式，得：Ecosisin 2n212（ 4）Ecosisin 2n212En 212cosisin2n 212(5)En 212cosisin2n 212可以看出 ,E1 .E设Ei,Ei由（ ）

14、,(5)式得:E eE e,4arctg2 cossin2n 212sin2n 212cos 2(6)2 n 212cossin2n 212arctgsin2n 212n 4cos 2当入射波的线偏振时 ,E , E 相位相同 .经反射后 E , E 相位不相同 ,当E1时,且 E与 E相差E(2 m1)2, m0,1,2,3时 ,(7)反射成为圆偏振波 .于是由 (6),(7)得 :sin1n2146 n21(8)221n 2121结论 : 当线偏振的入射波电矢量的两个分量E , E 的振幅相等 ,并且入射角 和学习必备欢迎下载相对折射率 n 21 满足 (8)式时 ,反射波便成为圆偏振波.

15、10、当光以布儒斯特角入射时，反射光变为垂直于入射面的完全偏振光。但人们要想得到完全偏振光,不直接采用反射的完全偏振光， 往往通过一组平行玻璃板把垂直于入射面的偏振光滤掉，得到平行于入射面的完全偏振光，为。什么？已知玻璃的布儒斯特角为56 。答 :反射光虽然是完全偏振光，但它的强度太小Esin()sin(56 34 )sin 220.37Esin()sin 90而按题中的做法，可得折射光（平行于入射面的完全偏振光）11、有哪些理由足以说明光波是频率在一定范围内的电磁波？答：真空中电磁波的传播速度和光波在真空中的传播速度都是c,且不需要任何介质。光波的反射、折射、干涉、衍射规律与电磁波遵循相同的

16、规律。12、试推出导体中定态电磁波波动方程的两种不同形式以及亥姆霍兹方程，并与介质中的相应方程进行比较，阐明它们之间有何异同之处？答：良导体中：0, JE ，代入麦氏方程组得：EBtBEE ，对前两式取旋度得波动方程：tE0B02 E2 EE0t 2t与介质中的方程相比多了与时间的一次导数项，表2 BB2 B0t 2t明传导电流使电磁波传播不断损耗为一个不可逆过程。定态电磁波： EE (x)e i t , BB(x)e i t ，代入麦氏方程组得：Ei BBiEE i' E 其中： 'i ，由第一式解出 B 代入第二E0B0学习必备欢迎下载式可得：2Ek '2 E0k

17、''，即亥姆霍兹方程。与介质中的最大区别在于 k '' 复数 ,如果是绝缘介质 ,0, k '都是实数 ,上述亥姆霍兹方程便过渡为绝缘介质中定态电磁波的方程 .13、波矢量 k 的物理意义是什么？如何理解导体中的波矢量？衰减常量的方向如何确定，相位常量的方向又如何？答：波矢量 k 是描述电磁波传播方向的一个矢量，其量值k2称为波数，导体中波矢量为一复矢量。k 'i波矢量 k 的实部描述波的传播的相位关系，虚部描述波幅的衰减。将 'i， k 'i代入 k ''比较实部和虚部得：22212由边界条件可确定，的方向。再代

18、入上式确定， 的大小 .在良导体内，垂直于表面，也很接近法线方向。14、电磁波在导体中和在介质中传播时存在哪些差别？答：导体与绝缘介质本质差异在于导体有自由电子，电磁波进入导体后必将引起传导电流，电场对传导电流做功使得电磁波能量转化为焦耳热，故在导体中传播电磁波是一个衰减波。 绝缘介质中传播电磁波振幅不衰减绝缘介质平面电磁波电场与磁场相位相同 , 导体平面电磁波电场与磁场相位不相同绝缘介质平面电磁波电场与磁场能量相等 , 导体中磁场能量远大于电场能量 .15、设电子浓度为 ne ，电量为 e，质量为 m，在空气中电子在电磁波的作用下以速度v 运动，设电磁波的角频率为，电子的运动方程近似地为：e

19、Em dvm vdt式中为电子与气体分子碰撞频率，且设v 为常数。已知：EE 0e i t ， vv0e i t学习必备欢迎下载试讨论电子对空气的0 和0 的影响如何。答：将 EE0e i t , vv0e it 代入电子的运动方程 : eEm dvm v ,得:dteE(mi)v ,空气中的电流密度Jneevnee2E()E () 比较 ,空气电导率(mi,于 J)()nee2nee2 (mi )( m i)m222( )nee2 (im)nee22 inee2m0i02 22)02 22 22)( mm( mine e2 m(m222 )其中实部0nee2m222可见 , 空气中电子的存在

20、使得空气变成导体,电导率出现虚部 ,说明有欧姆能量损耗,另外空气的电容率由0 变 为0nee22,当电子浓度为m22ne0 ,0 , ()0 ,当对空气的磁导率没有影响 .16、将一般的边值关系用到波导内表面处，因设波导为理想导体，n 为由理想导体指向管内的法向单位矢量，故除n ×E = 0 外，还有哪几个关系式，它们的作用如何？对于亥姆霍兹方程的解必加的条件E0 可如何应用？nE0答：在导体表面有边界条件：nH当前面两式满足时，后面两式自然满n Dn B0足。 nH，说明 H 方向平行于表面n E0 ，说明 E 只有 n 方向分量， 考虑E 0 ，即得：En0n17、何谓 TM 波

21、、 TE 波和 TEM 波？比较一下 TEM 波与平面单色波之间的关系如何？答：在波导内传播的波，电场E 和电磁场 H 不能同时为横波，设波沿Z 方向传学习必备欢迎下载播，波模 Ez0 的波称为横电（ TE）波，波模 H z0 的波称为横磁（ TM ）波；TEM 波则为 H z0, Ez0 的横波，平面单色波需满足H zE z0 ，E, B 同相且相互垂直， EB 沿波矢方向，故平面单色波是TEM 波，而 TEM 波未必是平面单色波。18、我们要用波导内的电场，沿z 方向加速一个带电粒子，应在波导中建立什么波型电磁场？答：应建立 TM 波，从而在 z 方向上有电场可以加速电子。19、有相距为

22、L 的两无穷大理想导体板，设x 轴垂直板面，在导体板间传播的波场与 y 无关。问在何种条件下，能得到TE 型、 TM 型、 TEM 型波？写出其表示式。答：导体板间的电磁波满足亥姆霍兹方程，设电场的通解为：E(x, y, z) (C sin kxxDcos kx)eik z z ，由边界条件 n11x得：ExA1 cos( nx)ei (kz zt )L2nA2 sin( nx)ei( kzzt ) ，其中 kxk22)2Eykzc2(LLEzA3 sin( nx) ei (kz zt )LnA1 ik z A3 , A2独立 。再由 HiE ，可得 H x , H y , HLEEyA2 s

23、in( nx)ei (kz zt )时得到 TEM 波：Lkzkz A2sin( nx)ei ( kzzt )HH xEyL11220、为 什 么 谐 振 腔 最 低 频 率 是 f1102L1112f?100L12E 0 和En0n，又由：E0z ，分析知当 A1021，而不是L2学习必备欢迎下载1m22p2答 :n中的 m,n,p 最多只能有两个为零，如果f mnpL1L2L32有 2 个或都为零，则由ExEyEzA1 coskx x sin ky y sin kz z,A2 sin k y y cosk y y sin kzzA3 sin kxx sin ky y coskz zkxmL

24、1, kynL2, kzpL3知谐振腔内场强E0.B0 。21、矩形波导中的电场强度E 和磁感应强度B 沿传播方向的分量不同时为零，这一结论似乎违背了电磁波是横波的论断，请解释这一现象。答：实际上波导管的轴线方向并不是波的真正传播方向。在波导管中的电磁波是在被管壁多次反射曲折前进的。由于多次反射波叠加， 在垂直于波导轴线方向成为驻波，而使合成波沿轴线方向前进。22、低频电磁波用双线传输，较高频用同轴线，更高频时用波导传输。试问高频电磁波用双线传输或低频电磁波用波导传输，可以吗？为什么？答：都不可以。高频电磁波用双线传输有向外辐射损耗和热损耗。而低频电磁波在波导中则不再沿波导传播，而是沿z 轴方

25、向振幅不断衰减的电磁振荡。23、大气中的电离层能够反射广播频段的电磁波，不能反射电视频段的电磁波，这是为什么？答：因为大气中的电离层是等离子体，广播频段p ，不能在等离子体中传播，因而被反射回来，而电视频段p ，可以在电离层中传播。四、计算与证明1、 考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为d和平面波，它们都沿z 轴方向传播。（1）求合成波，证明波的振幅不是常数，而是一个波。（2）求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。解：根据题意，设两列波的电场表达式分别为：E1 ( x, t)E 0 ( x) cos(k1 z1t) ；E 2 ( x, t)E 0 ( x) cos(k2 zd的线偏振2t

26、 )则合成波为EE1 ( x, t )E2 ( x, t)E 0 ( x)cos( k1 z1t )cos(k2 z2 t)学习必备欢迎下载2E 0 ( x) cos( k1 k2 z122 t) cos(k12其中 k1k dk ， k2 kdk ； 1d， 2所以 E2E 0 ( x) cos(kzt ) cos( dk zdt)用复数表示E2E0 ( x) cos(dk zdt ) exp i( kz相速由kzt 确定， vp dz /dt/ k群速由'dkz d t 确定， v gdz / dtd / dkk2 z12 t )22dt )2、 一平面电磁波以45°从真

27、空入射到r2 的介质，电场强度垂直于入射面，求反射系数和折射系数。解：设 n 为界面法向单位矢量，S、S'、 S"分别为入射波、反射波和折射波的玻印亭矢量的周期平均值，则反射系数R 和折射系数 T 定义为：S'n2S"n2RE' 0，Tn2 cos" E"0SnSnE02n1 cos E02又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得2R1cos2cos"， T412coscos "1 R1 coscos"( 1 coscos " ) 222根据折射定律可得："30，代入上式，得R

28、23 ，T2323233、 有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60°，证明这时将会发生全反射，并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度。设该波在空气中的波长为 06.28105 cm，水的折射率为 n=1.33。解：由折射定律得，临界角carcsin(1/1.33)48.75，所以当平面光波以 60°角入射时，将会发生全反射。由于kxk sin所以折射波相速度v p/ kx/ k sinv水 / sinc / n sin3c / 2透入空气的深度为11 / 2sin2n2126.28105/2sin 2 60(3/ 4) 21.710 5 cm4、 频率为 的电磁

29、波在各向异性介质中传播时，若E , D , B, H 仍按 ei ( k x t ) 变化，但 D 不再与 E 平行（即 DE 不成立）。（1）证明 k Bk DB DB E0 ，但一般 k E0 。（2）证明 D k 2 E(kE)k /2。（3）证明能流 S 与波矢 k 一般不在同一方向上。证明：1）麦氏方程组为：EB /t（1）HD /t（ 2）D0（ 3）由（ 4）式得：B 0ei (k xt )B0 ei ( k xt )（ 4）BB0iki kB0k B0（ 5）学习必备欢迎下载同理由（ 3）式得： kD0ei (k xt ) H 0（6）由（ 2）式得：HikHi DDkH /k

30、B /（ 7）B DB (k B) /0（ 8）由（ 1）式得：Eei ( k x t ) E 0ikEiBBkE /（ 9）B E ( k E ) E /0；（10）由（ ）、（ ）可知：kB；DBEB，所以 k, E , D 共面。58又由（ 6）可知： kD ，所以，当且仅当 E / D 时， E k 。所以，各向异性介质中，一般 kE0 。2）将（9）式代入（7）式，便得：Dk(kE ) /2 k 2 E (kE )k /23）由（ 9）式得 HkE /S E H E (k E ) / E 2 k (k E ) E /由于一般情况下 k E0 ，所以 S 除了 k 方向的分量外，还有E 方向的分量，即能流 S 与波矢 k 一般不在同一方向上。5、 有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z 轴传播，一个波沿 x 方向偏振，另一个沿 y 方向偏振，但相位比前者超前2 ，求合成拨的偏振。反之，一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振？解：偏振方向在x 轴上的波可记为ExA0 cos(tkz)A0 cos(t0x )在 y 轴上的波可记为E yA0 cos(tkz/ 2)A0 cos(t0 y )0 y0