第06章条件异方差模型

1、1 EViews中的大多数统计工具都是用来建立随机变量的中的大多数统计工具都是用来建立随机变量的条件均值模型。本章讨论的重要工具具有与以往不同的目条件均值模型。本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的的建立变量的条件方差或变量波动性模型。建立变量的条件方差或变量波动性模型。 我们想要建模并预测其变动性通常有如下几个原因我们想要建模并预测其变动性通常有如下几个原因: 首先，我们可能要分析持有某项资产的风险；其次，预测首先，我们可能要分析持有某项资产的风险；其次，预测置信区间可能是时变性的，所以可以通过建立残差方差模置信区间可能是时变性的，所以可以通过建立残差方差模型得到更精确的区间；第三，如果误差

2、的异方差是能适当型得到更精确的区间；第三，如果误差的异方差是能适当控制的，我们就能得到更有效的估计。控制的，我们就能得到更有效的估计。 2 自回归条件异方差自回归条件异方差(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特别用来建立条件模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。方差模型并对其进行预测的。 ARCH模型是模型是1982年由恩格尔年由恩格尔(Engle, R.)提出，并由博提出，并由博勒斯莱文勒斯莱文(Bollerslev, T., 1986)发展成为发展成为GARCH (Generalized AR

3、CH)广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。 按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？不会出现异方差呢？会是怎样出现的？ 3 恩格尔和克拉格（恩格尔和克拉格（Kraft, D., 1983）在分析宏观）在分析宏观数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰数据时，

4、发现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。方差取决于后续扰动项的大小。4 从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在

5、某一时期里相时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中有某种相关性。预测误差的方差中有某种相关性。 为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差(ARCH)模型。模型。ARCH的主要思想是时刻的主要思想是时刻

6、t 的的ut 的方差的方差( (= t2 ) )依赖于时刻依赖于时刻(t 1)的扰动项平方的大小，即依赖于的扰动项平方的大小，即依赖于 t2- 1 。 5 为了说得更具体，让我们回到为了说得更具体，让我们回到k -变量回归模型：变量回归模型：(6.1.1) 如果如果 ut 的均值为零，对的均值为零，对 yt 取基于取基于(t-1)时刻的信息的期望，即时刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的关系：有如下的关系： (6.1.2)由于由于 yt 的均值近似等于式（的均值近似等于式（6.1.1）的估计值，所以式（）的估计值，所以式（6.1.1）也称为也称为。ttkkttuxxy110ktkttt

7、txxxy221101)(E6 假设在时刻假设在时刻 ( t 1 ) 所有信息已知的条件下，扰所有信息已知的条件下，扰动项动项 ut 的条件分布是：的条件分布是： (6.1.7) 也就是，也就是，ut 遵循以遵循以0为均值，为均值，( 0+ 1u2t-1 )为方差的为方差的正态分布。正态分布。tu)( ,02110tuN7 由于由于(6.1.7)中中 ut 的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为它为ARCH(1)过程：过程： 通常用极大似然估计得到参数通常用极大似然估计得到参数 0, 1, 2, , k, 0, 1的有的有效估计。效估计。 容易加以推广，容

8、易加以推广，ARCH ( (p) )过程可以写为：过程可以写为： (6.1.8)这时方差方程中的这时方差方程中的(p+1)个参数个参数 0, 1, 2, , p也要和回归模也要和回归模型中的参数型中的参数 0, 1, 2, , k一样，利用极大似然估计法进行估一样，利用极大似然估计法进行估计。计。21102)var(tttuu222221102)var(ptpttttuuuu8 如果扰动项方差中没有自相关，就会有如果扰动项方差中没有自相关，就会有 H0 ：这时这时 从而得到扰动项方差的同方差性情形。从而得到扰动项方差的同方差性情形。 恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟恩格尔曾表明，

9、容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设：假设：其中，其中，t 表示从原始回归模型（表示从原始回归模型（6.1.1）估计得到的）估计得到的OLS残残差。差。 222221102ptptttuuuu021p02)var(tu9 在在 ARCH(p) 过程中，由于过程中，由于 ut 是随机的是随机的，ut2 不可能不可能为负，所以对于为负，所以对于 ut 的所有实现值，只有是正的，才是的所有实现值，只有是正的，才是合理的。为使合理的。为使 ut2 协方差平稳，所以进一步要求相应的协方差平稳，所以进一步要求相应的特征方程特征方程 （6.1.9）的根全部位于单位圆外。如果的根全部位于单位圆外。如果 i（i

10、 = = 1, 2, , p）都非都非负，式（负，式（6.1.9）等价于）等价于 1 + + 2 + + + + p 1 1。 01221ppzzz10 下面介绍检验一个模型的残差是否含有下面介绍检验一个模型的残差是否含有ARCH效应的效应的两种方法：两种方法：ARCH LM检验和残差平方相关图检验。检验和残差平方相关图检验。 Engle在在1982年提出检验残差序列中是否存在年提出检验残差序列中是否存在ARCH效应的拉格朗日乘数检验（效应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test），），即即ARCH LM检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设检验。自回归条件异方差性

11、的这个特殊的设定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小与最近的残差值有关。与最近的残差值有关。ARCH本身不能使标准的本身不能使标准的OLS估计估计无效，但是，忽略无效，但是，忽略ARCH影响可能导致有效性降低。影响可能导致有效性降低。 11 ARCH LM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验验，运行如下回归：运行如下回归： 式中式中 t 是残差。这是一个对常数和直到是残差。这是一个对常数和直到 q 阶的滞后平方残阶的滞后平方残差所作的回归。这个检验回归有两个统计量：差所作的回归。这个检验回归

12、有两个统计量： （1）F 统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所作的一个省略变量检验；作的一个省略变量检验； （2）T R2 统计量是统计量是Engles LM检验统计量，它是观测检验统计量，它是观测值个数值个数 T 乘以回归检验的乘以回归检验的 R2 ； tqtqttuuu22110212 普通回归方程的普通回归方程的ARCH检验都是在残差检验下拉列表中检验都是在残差检验下拉列表中进行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二阶段最进行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二阶段最小二乘法和非线性最小二乘法估计的方程才有此项检验。小二乘法和非线性最

13、小二乘法估计的方程才有此项检验。 Breusch-Pagan-GodfreyHarveyGlejserARCHWhiteC u s t o m T e s t Wizard13 显示直到所定义的滞后阶数的残差平方显示直到所定义的滞后阶数的残差平方t2的自相关性和的自相关性和偏自相关性，计算出相应滞后阶数的偏自相关性，计算出相应滞后阶数的Ljung-Box统计量。残统计量。残差平方相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性差平方相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性（ARCH）。）。可适用于使用可适用于使用LS，TSLS，非线性，非线性LS估计方程。在图估计方程。在图6.4中选择中选择Resid

14、uals Tests/ Correlogram Squared Residuals项，它是对方程进行残差平项，它是对方程进行残差平方相关图的检验。单击该命令，会弹出一个输入计算自相关方相关图的检验。单击该命令，会弹出一个输入计算自相关和偏自相关系数的滞后阶数设定的对话框，默认的设定为和偏自相关系数的滞后阶数设定的对话框，默认的设定为36，单击单击OK按钮，得到检验结果。按钮，得到检验结果。 14 为了检验股票价格指数的波动是否具有条件异方为了检验股票价格指数的波动是否具有条件异方差性，本例选择了沪市股票的收盘价格指数的日数据作差性，本例选择了沪市股票的收盘价格指数的日数据作为样本序列，这是因为

15、上海股票市场不仅开市早，市值为样本序列，这是因为上海股票市场不仅开市早，市值高，对于各种冲击的反应较为敏感，因此，本例所分析高，对于各种冲击的反应较为敏感，因此，本例所分析的沪市股票价格波动具有一定代表性。在这个例子中，的沪市股票价格波动具有一定代表性。在这个例子中，我们选择的样本序列我们选择的样本序列sp是是1996年年1月月1日至日至2006年年12月月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数，为了减日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数，为了减少舍入误差，在估计时，对少舍入误差，在估计时，对sp进行自然对数处理，即进行自然对数处理，即将序列将序列ln(sp)作为因变量进行估计。作为因变

16、量进行估计。15 由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程程随机游动（随机游动（Random Walk）模型描述，所以本例进）模型描述，所以本例进行估计的基本形式为：行估计的基本形式为： (6.1.12) 首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结果如下：果如下：(6.1.13) (2.35) (951) R2= 0.997 tttuspsp)ln()ln(110)ln(9976. 00178. 0)ln(1ttspps16 可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，拟合可以看出，这个方程的统

17、计量很显著，而且，拟合 的程度也很好。但是需要检验这个方程的误差项是否存的程度也很好。但是需要检验这个方程的误差项是否存在条件异方差性，。在条件异方差性，。17 观察上图，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的观察上图，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的“成成群群”现象：波动在一些较长的时间内非常小，在其他一些较长的现象：波动在一些较长的时间内非常小，在其他一些较长的时间内非常大，这说明残差序列存在高阶时间内非常大，这说明残差序列存在高阶ARCH效应。效应。18 因此，对式因此，对式(6.1.26)进行条件异方差的进行条件异方差的ARCH LM检验，得检验，得到了在滞后阶数到了在滞后阶数p

18、 = 3时的时的ARCH LM检验结果如下。此处的检验结果如下。此处的P值为值为0，拒绝原假设，说明式（，拒绝原假设，说明式（6.1.26）的残差序列存在）的残差序列存在ARCH效应。效应。 可以计算式（可以计算式（6.1.26）的残差平方）的残差平方t2的自相关（的自相关（AC）和偏自）和偏自相关（相关（PAC）系数，结果说明式（）系数，结果说明式（6.1.26）的残差序列存在）的残差序列存在ARCH效应。效应。19 本例建立本例建立CPI模型，因变量为中国的消费价格指数（上年同月模型，因变量为中国的消费价格指数（上年同月=100）减去）减去100，记为，记为cpit；解释变量选择货币政策变

19、量：狭义货；解释变量选择货币政策变量：狭义货币供应量币供应量M1的增长率，记为的增长率，记为m1rt；3年期贷款利率，记为年期贷款利率，记为Rt，样本，样本期间是期间是1994年年1月月2007年年12月。由于是月度数据，利用月。由于是月度数据，利用X-12季节季节调整方法对调整方法对 cpit 和和 m1rt 进行了调整，结果如下：进行了调整，结果如下： t = (19.5) (-5.17) (2.88) (-2.74) R2=0.99 对数似然值对数似然值 = -167.79 AIC = 2.045 SC =2.12 ttttttuRrmcpicpicpi06. 0168. 236. 03

20、5. 1212120 这个方程的统计量很显著，拟合的程度也很好。但是这个方程的统计量很显著，拟合的程度也很好。但是观察该回归方程的残差图，也可以注意到波动的观察该回归方程的残差图，也可以注意到波动的“成群成群”现象：波动在一些时期内较小，在其他一些时期内较大，现象：波动在一些时期内较小，在其他一些时期内较大，这说明误差项可能具有条件异方差性。这说明误差项可能具有条件异方差性。21 从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶着一阶ARCH效应。再进行条件异方差的效应。再进行条件异方差的ARCH LM检验，检验，得到了在滞后阶数得到了在滞

21、后阶数p = 1时的时的ARCH LM检验结果：检验结果： 因此计算残差平方因此计算残差平方t2的自相关（的自相关（AC）和偏自相关（）和偏自相关（PAC）系数，结果如下：系数，结果如下： 22 从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶ARCH效应。因此利用效应。因此利用ARCH(1)模型重新估计模型模型重新估计模型（6.1.14），结），结果如下：果如下： 均值方程：均值方程： z = (12.53) (-1.53) (4.72) (-3.85) 方差方程：方差方程： z = (5.03) (3.214) R2=0.99 对

22、数似然值对数似然值 = -151.13 AIC = 1.87 SC = 1.98 方差方程中的方差方程中的ARCH项的系数是统计显著的，并且对数似然值项的系数是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时有所增加，同时AIC和和SC值都变小了，这说明值都变小了，这说明ARCH(1)模型能够更模型能够更好的拟合数据。好的拟合数据。 ttttttuRrmcpicpicpi062. 01098. 313. 0088. 12121212648. 0186. 0ttu23 再对这个方程进行条件异方差的再对这个方程进行条件异方差的ARCH LM检验，得到检验，得到了残差序列在滞后阶数了残差序列在滞后阶数p=1

23、时的统计结果：时的统计结果： 此时的相伴概率为此时的相伴概率为0.69，接受原假设，认为该残差序列，接受原假设，认为该残差序列不存在不存在ARCH效应，说明利用效应，说明利用ARCH(1)模型消除了式模型消除了式（6.1.14）的残差序列的条件异方差性。式（）的残差序列的条件异方差性。式（6.1.15）的残差）的残差平方相关图的检验结果为：平方相关图的检验结果为： 自相关系数和偏自相关系数近似为自相关系数和偏自相关系数近似为0。这个结果也说明。这个结果也说明了残差序列不再存在了残差序列不再存在ARCH效应。效应。 24 扰动项扰动项 ut 的方差常常依赖于很多时刻之前的变化量的方差常常依赖于很

24、多时刻之前的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。因此此）。因此 必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意识到方程但是如果我们能够意识到方程(6.1.8)不过是不过是 t2 的分布滞后模的分布滞后模型，型，我们就能够用一个或两个我们就能够用一个或两个 t2 的滞后值代替许多的滞后值代替许多 ut2的滞后值，的滞后值，这 就 是 广 义 自 回 归 条 件 异 方 差 模 型这 就 是 广 义 自 回 归 条 件 异 方 差 模 型 ( g e n e r a

25、l i z e d autoregressive conditional heterosce-dasticity model，简记，简记为为GARCH模型模型)。在。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。定：一个是条件均值，另一个是条件方差。 222221102ptptttuuu25 在标准化的在标准化的GARCH(1,1)模型中：模型中：均值方程：均值方程：(6.1.17)方差方程：方差方程：(6.1.18)其中：其中：xt 是是 (k+1)1维外生变量向量维外生变量向量， 是是(k+1)1维系数向维系数向量量。 (6.1.17

26、)中给出的均值方程是一个带有扰动项的外生变量中给出的均值方程是一个带有扰动项的外生变量函数。由于函数。由于 t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差是以前面信息为基础的一期向前预测方差 ，所，所以它被称作条件方差以它被称作条件方差，式式（6.1.18）也被称作也被称作 。tttuyx21212tttu26 (6.1.18)中给出的条件方差方程是下面三项的函数：中给出的条件方差方程是下面三项的函数： 1常数项（均值）：常数项（均值）： 2用均值方程用均值方程(6.1.11)的扰动项平方的滞后来度量的扰动项平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息：从前期得到的波动性的信息： ut2-1（ARCH项

27、）。项）。 3上一期的预测方差：上一期的预测方差： t2-1 （GARCH项）。项）。 GARCH(1,1)模型中的模型中的(1,1)是指阶数为是指阶数为1的的GARCH项（括号中的第一项）和阶数为项（括号中的第一项）和阶数为1的的ARCH项（括号中的项（括号中的第二项）。一个普通的第二项）。一个普通的ARCH模型是模型是GARCH模型的一个模型的一个特例，特例，GARCH(0,1)，即在条件方差方程中不存在滞后预，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差测方差 t2-1的说明。的说明。 27 在在EViews中中ARCH模型是在扰动项是条件正态分布的假定下，模型是在扰动项是条件正态分布的假定下，

28、通过极大似然函数方法估计的。例如，对于通过极大似然函数方法估计的。例如，对于GARCH(1,1)，t 时期时期的对数似然函数为：的对数似然函数为：(6.1.19) 其中其中 (6.1.20) 这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差（GARCH项）和在以前各期中观测到的关于变动性的信息项）和在以前各期中观测到的关于变动性的信息（ARCH项）来预测本期的方差。如果上升或下降的资产收益出项）来预测本期的方差。如果上升或下降的

29、资产收益出乎意料地大，那么贸易商将会增加对下期方差的预期。这个模型乎意料地大，那么贸易商将会增加对下期方差的预期。这个模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。222/)(21ln21)2ln(21tttttylx2121212112)(ttttttuyx28 有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这个模有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这个模型：型： 1如果我们用条件方差的滞后递归地替代（如果我们用条件方差的滞后

30、递归地替代（6.1.18）式）式的右端，就可以将条件方差表示为滞后扰动项平方的加权平的右端，就可以将条件方差表示为滞后扰动项平方的加权平均：均： （6.1.21） 我们看到我们看到GARCH(1,1)方差说明与样本方差类似，但是，方差说明与样本方差类似，但是，它包含了在更大滞后阶数上的，扰动项的加权条件方差。它包含了在更大滞后阶数上的，扰动项的加权条件方差。 .12112jtjjtu29 2设设 vt = ut2 t2。用其替代方差方程（。用其替代方差方程（6.1.18）中的）中的方差并整理，得到关于扰动项平方的模型：方差并整理，得到关于扰动项平方的模型： （6.1.22）因此，扰动项平方服从

31、一个异方差因此，扰动项平方服从一个异方差ARMA(1, 1)过程。决定波过程。决定波动冲击持久性的自回归的根是动冲击持久性的自回归的根是 加加 的和。在很多情况下，的和。在很多情况下，这个根非常接近这个根非常接近1，所以冲击会逐渐减弱。，所以冲击会逐渐减弱。 . 1212ttttvvuu30 方程方程(6.1.18)可以扩展成包含外生的或前定回归因子可以扩展成包含外生的或前定回归因子 z 的的方差方程：方差方程： （6.1.23） 注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。可以引入到这样一些形式的回归算子，它们总是正的，从而可以引入到这样一

32、些形式的回归算子，它们总是正的，从而将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以要求：将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以要求：ttttzu21212ttxz 31 高阶高阶GARCH模型可以通过选择大于模型可以通过选择大于1的的 p 或或 q 得到估得到估计，记作计，记作GARCH(p, q)。其方差表示为：其方差表示为：（6.1.24） 这里这里，p是是GARCH项的阶数，项的阶数，q是是ARCH项的阶数项的阶数，p0并并且且, , (L)和和 (L)是滞后算子多项式是滞后算子多项式。 22012122)()(ttpiitiqjjtjtLuLu32 为了使为了使GARCH(

33、q, p)模型的条件方差有明确的定义，模型的条件方差有明确的定义，相应的相应的ARCH()模型模型 （6.1.25）的所有系数都必须是正数。只要的所有系数都必须是正数。只要 (L)和和 (L)没有相同的根没有相同的根并且并且 (L)的根全部位于单位圆外，那么当且仅当的根全部位于单位圆外，那么当且仅当 0= 0/(1- (L)， (L)= (L)/(1- (L)的所有系数都非负时，这个正数的所有系数都非负时，这个正数限定条件才会满足。例如，对于限定条件才会满足。例如，对于GARCH(1, 1)模型模型 （6.1.26）这些条件要求所有的这些条件要求所有的3个参数都是非负数个参数都是非负数。202

34、)(ttuL21212tttu33 如果限定如果限定GARCH模型的方差方程中的参数和等于模型的方差方程中的参数和等于1，并且去掉常数项：并且去掉常数项： （6.1.27）其中其中 （6.1.28） 这就是这就是Engle和和Bollerslev（1986）首先提出的单整）首先提出的单整GARCH模型（模型（Intergrated GARCH Model，IGARCH）。）。piitiqjjtjtu12122111piiqjj34 在估计一个在估计一个GARCH模型时，有两种方式对模型时，有两种方式对GARCH模型模型的参数进行约束（的参数进行约束（restrictions）。一个选择是）。一

35、个选择是IGARCH方法，方法，它将模型的方差方程中的所有参数之和限定为它将模型的方差方程中的所有参数之和限定为1。另一个就。另一个就是方差目标（是方差目标（variance target）方法，它把方差方程（）方法，它把方差方程（6.1.24）中的常数项设定为中的常数项设定为GARCH模型的参数和无条件方差的方程：模型的参数和无条件方差的方程： （6.1.29）这里的是残差的无条件方差。这里的是残差的无条件方差。qpiij1j12135 在计算在计算GARCH模型的回推初始方差时，首先用系数值模型的回推初始方差时，首先用系数值来计算均值方程中的残差，然后计算初始值的指数平滑算子来计算均值方程

36、中的残差，然后计算初始值的指数平滑算子 （6.1.30）其中：是来自均值方程的残差，是无条件方差的估计：其中：是来自均值方程的残差，是无条件方差的估计： （6.1.31）平滑参数平滑参数为为0.1至至1之间的数值。也可以使用无条件方差来初之间的数值。也可以使用无条件方差来初始化始化GARCH过程：过程： （6.1.32）)()1 (02122020TjjTjTTuuTttuT122122020 u36 在实践中我们注意到，许多时间序列，特别是金融时间在实践中我们注意到，许多时间序列，特别是金融时间序列的无条件分布往往具有比正态分布更宽的尾部。为了更序列的无条件分布往往具有比正态分布更宽的尾部。

37、为了更精确地描述这些时间序列分布的尾部特征，还需要对误差项精确地描述这些时间序列分布的尾部特征，还需要对误差项ut的分布进行假设。的分布进行假设。GARCH模型中的扰动项的分布，一般模型中的扰动项的分布，一般会有会有3个假设：正态（高斯）分布、学生个假设：正态（高斯）分布、学生t-分布和广义误差分分布和广义误差分布（布（GED）。给定一个分布假设，）。给定一个分布假设，GARCH模型常常使用极模型常常使用极大似然估计法进行估计。下面分别介绍这大似然估计法进行估计。下面分别介绍这3种分布，其中的种分布，其中的 代表参数向量。代表参数向量。 1对于扰动项服从正态分布的对于扰动项服从正态分布的GAR

38、CH(1, 1)模型，它模型，它的对数似然函数为的对数似然函数为 （6.1.33）这里的这里的 t2是是ut的条件方差。的条件方差。TttttTttyTL12212)(21ln21)2ln(2)(lnx37 2如果扰动项服从学生如果扰动项服从学生t分布，分布，GARCH(1, 1)模型的对数似模型的对数似然函数的形式就是然函数的形式就是 （6.1.34） 这样，参数的估计就变成了在自由度这样，参数的估计就变成了在自由度k2的约束下使对数似的约束下使对数似然函数（然函数（6.1.34）最大化的问题。当）最大化的问题。当k时，学生时，学生t-分布接近于分布接近于正态分布。正态分布。注注 式（式（6

39、.1.34）和（）和（6.1.35）中的）中的 ( )代表代表 函数：函数： 若若N是偶整数，则是偶整数，则 (N/2)=1 2 3(N/2)-1，有，有 (2/2)=1； 若若N是奇整数，则是奇整数，则 ， 有有 。1)2(252321)2(NN)21(TttttTttkykkkkTL1221222)2()(1ln2) 1(ln212) 1()2()2(ln2)(lnx 38 3扰动项的分布为广义误差分布（扰动项的分布为广义误差分布（GED）时，）时，GARCH(1, 1)模型的对数似然函数的形式为模型的对数似然函数的形式为 （6.1.35）这里的参数这里的参数r 0。如果。如果r = 2，

40、那么，那么GED就是一个正态分布。就是一个正态分布。TtrtttTttryrrrrTL12221223)1 ()(3(ln21)2)(3()1 (ln2)(ln x39 金融理论表明具有较高可观测到风险的资产可以获得更金融理论表明具有较高可观测到风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益应高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种利当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为用条件方差表示预期风险的模型被称为ARCH均值模型均值模型(ARCH-in-mean)或或A

41、RCH-M回归模型。在回归模型。在ARCH-M中我们中我们把条件方差引进到均值方程中把条件方差引进到均值方程中: （6.1.38） ARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差：标准差：（6.1.41） 或取对数或取对数 （6.1.42） ttttuy2xttttuyxttttuy)ln(2x40 ARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险紧密相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易紧密相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票

42、指的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票指数的收益率数的收益率（returet）依赖于一个常数项及条件方差依赖于一个常数项及条件方差(风险风险)： 这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为GARCH-M模型。模型。 tttureture)ln(22112112tttu41 估计估计GARCH和和ARCH模型，首先模型，首先选择选择Object/ New Object/ Equation，然后在然后在Method的下的下拉菜单中选择拉菜单中选择ARCH，得到如下，得到如下的对话框。的对话框。42 与选择估计方法和样本一样，需

43、要指定均值方程和与选择估计方法和样本一样，需要指定均值方程和方差方程。方差方程。 在因变量编辑栏中输入均值方程形式，均值方程的形在因变量编辑栏中输入均值方程形式，均值方程的形式可以用回归列表形式列出因变量及解释变量。如果方程式可以用回归列表形式列出因变量及解释变量。如果方程包含常数，可在列表中加入包含常数，可在列表中加入C。如果需要一个更复杂的均。如果需要一个更复杂的均值方程，可以用公式的形式输入均值方程。值方程，可以用公式的形式输入均值方程。 43 如果解释变量的表达式中含有如果解释变量的表达式中含有ARCHM项，就需要项，就需要点击对话框右上方对应的按钮。点击对话框右上方对应的按钮。EVi

44、ews5.0中的中的ARCH-M的下拉框中的下拉框中，有有4个选项：个选项： 1.选项选项None表示方程中不含有表示方程中不含有ARCHM项；项； 2.选项选项Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差表示在方程中加入条件标准差 ； 3.选项选项Variance则表示在方程中含有条件方差则表示在方程中含有条件方差 2。 4.选项选项Log(Var)，表示在均值方程中加入条件方差的，表示在均值方程中加入条件方差的对数对数ln( 2)作为解释变量。作为解释变量。 44 EViews5的选择模型类型列表的选择模型类型列表 (1) 在下拉列表中可以选择所要估计的在下拉列表中可以选择所要估计的ARCH

45、模型的类模型的类型。型。 45 设定了模型形式以后，就可以选择设定了模型形式以后，就可以选择ARCH项和项和GARCH项的阶数。缺省的形式为包含一阶项的阶数。缺省的形式为包含一阶ARCH项和一阶项和一阶GARCH项的模型，这是现在最普遍的设定。项的模型，这是现在最普遍的设定。 如果估计一个非对称的模型，就应该在如果估计一个非对称的模型，就应该在Threshold编辑编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的个数为型，即该选项的个数为0。可以估计含有多个非对称项的非。可以估计含有多个非对称项的非对称模型。对称模型。

46、这里需要注意，这里需要注意，EViews只能估计只能估计Component ARCH (1,1)模型，也就是说如果选择该项，则不能再选择模型，也就是说如果选择该项，则不能再选择ARCH项和项和GARCH项的阶数，但可以通过选择包含非对称项来估计非项的阶数，但可以通过选择包含非对称项来估计非对称对称Component ARCH模型，但该模型也只能包含一个非对模型，但该模型也只能包含一个非对称项。称项。 46 （2）在）在Variance栏中，可以根据需要列出包含在方差栏中，可以根据需要列出包含在方差方程中的外生变量。由于方程中的外生变量。由于EViews在进行方差回归时总会包在进行方差回归时总会

47、包含一个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出含一个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出C。 （3）约束（）约束（Restriction）下拉列表则允许我们进行）下拉列表则允许我们进行IGARCH约束或者方差约束，当然也可以不进行任何约束约束或者方差约束，当然也可以不进行任何约束（None）。）。47 (4) Error组合框可以设定误差的分布形式：组合框可以设定误差的分布形式： 缺省的形式：缺省的形式：Normal（Gaussian），）， 备选的选项有：备选的选项有： Students-t； Generalized Error（GED）；）； Students-t with fi

48、xed df.； GED with fixed parameter。 需要注意，选择了后两个选项的任何一项都会弹出一需要注意，选择了后两个选项的任何一项都会弹出一个选择框，需要在这个选择框中分别为这两个分布的固定个选择框，需要在这个选择框中分别为这两个分布的固定参数设定一个值。参数设定一个值。48 EViews为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只要点击要点击Options按钮并按要求填写对话即可。按钮并按要求填写对话即可。 49 在缺省的情况下，在缺省的情况下，MA初始的扰动项和初始的扰动项和GARCH项中项中要求的初始预测方差都是用回推方法来确

49、定初始值的。如要求的初始预测方差都是用回推方法来确定初始值的。如果不选择回推算法，果不选择回推算法，EViews会设置残差为零来初始化会设置残差为零来初始化MA过程，用无条件方差来设置初始化的方差和残差值。但是过程，用无条件方差来设置初始化的方差和残差值。但是经验告诉我们，使用回推指数平滑算法通常比使用无条件经验告诉我们，使用回推指数平滑算法通常比使用无条件方差来初始化方差来初始化GARCH模型的效果要理想。模型的效果要理想。 50 点击点击Heteroskedasticity Consistent Covariances计算计算极大似然（极大似然（QML）协方差和标准误差。）协方差和标准误差

50、。 如果怀疑残差不服从条件正态分布，就应该使用这如果怀疑残差不服从条件正态分布，就应该使用这个选项。只有选定这一选项，协方差的估计才可能是一个选项。只有选定这一选项，协方差的估计才可能是一致的，才可能产生正确的标准差。致的，才可能产生正确的标准差。 注意如果选择该项，参数估计将是不变的，改变的注意如果选择该项，参数估计将是不变的，改变的只是协方差矩阵。只是协方差矩阵。51 EViews现在用数值导数方法来估计现在用数值导数方法来估计ARCH模型。在计算导模型。在计算导数的时候，可以控制这种方法达到更快的速度（较大的步长计数的时候，可以控制这种方法达到更快的速度（较大的步长计算）或者更高的精确性

51、（较小的步长计算）。算）或者更高的精确性（较小的步长计算）。 当用默认的设置进行估计不收敛时，可以通过改变初值、当用默认的设置进行估计不收敛时，可以通过改变初值、增加迭代的最大次数或者调整收敛准则来进行迭代控制。增加迭代的最大次数或者调整收敛准则来进行迭代控制。 ARCH模型的似然函数不总是正规的，所以这时可以利用模型的似然函数不总是正规的，所以这时可以利用选择迭代算法（选择迭代算法（Marquardt、BHHH/高斯高斯-牛顿）使其达到收牛顿）使其达到收敛。敛。 52 在例在例6.1中，检验了方程（中，检验了方程（6.1.13）含有）含有ARCH效应。因此效应。因此利用利用GARCH(1，1

52、)模型重新估计式（模型重新估计式（6.1.12），结果如下：），结果如下：53 ARCH估计的结果可以分为两部分：上半部分提供了估计的结果可以分为两部分：上半部分提供了均值方程的标准结果；下半部分，即方差方程包括系数，均值方程的标准结果；下半部分，即方差方程包括系数，标准误差，标准误差，z-统计量和方差方程系数的统计量和方差方程系数的P值。在方程值。在方程(6.1.12)中中ARCH的参数对应于的参数对应于 ，GARCH的参数对应于的参数对应于 。在表在表的底部是一组标准的回归统计量，使用的残差来自于均值的底部是一组标准的回归统计量，使用的残差来自于均值方程。方程。 注意如果在均值方程中不存在

53、回归量，那么这些标准，注意如果在均值方程中不存在回归量，那么这些标准，例如例如R2也就没有意义了。也就没有意义了。 54 均值方程：均值方程： (2.74) (1480) 方差方程：方差方程： (13.49) (17.69) (75.61) R2=0.997 )ln(998. 0013. 0)ln(1ttsppsttttu8 . 013. 00000172. 02121255 方差方程中的方差方程中的ARCH项和项和GARCH项的系数都是统项的系数都是统计显著的，说明这个模型能够更好的拟合数据。再对这计显著的，说明这个模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行条件异方差的个方程进行条件异方差的A

54、RCHLM检验，取滞后阶检验，取滞后阶数数p=3。结果统计量的相伴概率为。结果统计量的相伴概率为P = 0.927，说明利用，说明利用GARCH模型消除了原残差序列的异方差效应。模型消除了原残差序列的异方差效应。ARCH项和项和GARCH项的系数和小于项的系数和小于1，满足参数约束条件。，满足参数约束条件。56 均值方程：均值方程： (12.53) (-1.53) (4.72) (-3.85) 方差方程：方差方程： (5.03) (3.21) R2=0.997 ttttttuRrmcpicpicpi06. 011 . 313. 009. 12121tttu648. 0186. 021257 方

55、差方程中的方差方程中的ARCH项的系数是统计显著的，并且对数项的系数是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时似然值有所增加，同时AIC和和SC值都变小了，这说明值都变小了，这说明ARCH(1)模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行异模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行异方差的方差的ARCH LM检验，得到的残差序列在滞后阶数检验，得到的残差序列在滞后阶数p=1时时的统计结果：的统计结果： 接受原假设，认为该残差序列不存在接受原假设，认为该残差序列不存在ARCH效应，说明效应，说明利用利用ARCH(1)模型消除了残差序列的条件异方差性。模型消除了残差序列的条件异方差性。58 残差平方相关

56、图的检验结果为：残差平方相关图的检验结果为： 自相关系数和偏自相关系数近似为自相关系数和偏自相关系数近似为0。这个结果也说明。这个结果也说明了残差序列不再存在了残差序列不再存在ARCH效应效应。 59 选择的时间序列是选择的时间序列是1996年年1月月1日至日至2006年年12月月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数sp，股股票的收益率是根据公式：票的收益率是根据公式：re ln(spt /spt-1) ，即股票，即股票价格收盘指数对数的差分计算出来的。价格收盘指数对数的差分计算出来的。 ARCH-M模模型：型： re + t + ut 6061 估

57、计出的结果写成方程估计出的结果写成方程:均值方程均值方程: : (-2.5) (2.9)方差方程方差方程: : (12.46) (18.38) (74.8) 对数似然值对数似然值 = 8126 AIC = -5.66 SC = -5.65 在收益率方程中包括在收益率方程中包括 t 的原因是为了在收益率的生成过的原因是为了在收益率的生成过程中融入风险测量，这是许多资产定价理论模型的基础程中融入风险测量，这是许多资产定价理论模型的基础 “均值方程假设均值方程假设” 的含义。在这个假设下，的含义。在这个假设下， 应该是正数，结应该是正数，结果果 = 0.21，因此我们预期较大值的条件标准差与高收益率

58、相因此我们预期较大值的条件标准差与高收益率相联系。估计出的方程的所有系数都很显著。并且联系。估计出的方程的所有系数都很显著。并且方差方程方差方程系系数数 + 之和小于之和小于1，满足平稳条件。均值方程中，满足平稳条件。均值方程中 t 的系数为的系数为0.21，表明当市场中的预期风险增加一个百分点时，就会导，表明当市场中的预期风险增加一个百分点时，就会导致收益率也相应的增加致收益率也相应的增加0.21个百分点。个百分点。 tter21. 0002. 02121528 . 013. 01068. 1tttu62 一旦模型被估计出来，一旦模型被估计出来，EViews会提供各种视图和过程会提供各种视图

59、和过程进行推理和诊断检验。进行推理和诊断检验。 窗口列示了各种残差形式，窗口列示了各种残差形式，例如，表格，图形和标准残差。例如，表格，图形和标准残差。 显示了在样本中对每个观测值绘制向前一步的标准偏显示了在样本中对每个观测值绘制向前一步的标准偏差差 t 。t 时期的观察值是由时期的观察值是由t-1期可得到的信息得出的预测值。期可得到的信息得出的预测值。 63 显示了估计的系数协方差矩阵。大多数显示了估计的系数协方差矩阵。大多数ARCH模型模型（ARCHM模型除外）的矩阵都是分块对角的，因此均模型除外）的矩阵都是分块对角的，因此均值系数和方差系数之间的协方差就十分接近零。如果在均值系数和方差系

60、数之间的协方差就十分接近零。如果在均值方程中包含常数，那么在协方差矩阵中就存在两个值方程中包含常数，那么在协方差矩阵中就存在两个C；第一个第一个C是均值方程的常数，第二个是均值方程的常数，第二个C是方差方程的常数。是方差方程的常数。 对估计出的系数进行标准假设检验。对估计出的系数进行标准假设检验。64 显示了标准残差的相关图（自相关和偏自相关）。这显示了标准残差的相关图（自相关和偏自相关）。这个窗口可以用于检验均值方程中的剩余的序列相关性和检个窗口可以用于检验均值方程中的剩余的序列相关性和检查均值方程的设定。如果均值方程是被正确设定的，那么查均值方程的设定。如果均值方程是被正确设定的，那么所有