极限和连续的总结

1、极限和连续的总结小组分工：极限和连续的总结数列的极限 若若 当当n时，时，un无限趋近于一个确定的无限趋近于一个确定的 常数常数A 则则 称称A为为un的极限，或称的极限，或称 un收敛于收敛于A 记为记为 或或 unA （n）limnnuA极限和连续的总结 定义定义 设函数设函数 ，如果当，如果当 的绝对值无限的绝对值无限增大时，函数增大时，函数 无限趋于一个确定的常数无限趋于一个确定的常数A A，则称则称 当当 趋于无穷时，函数趋于无穷时，函数 以以A A为极限，为极限，记作记作 A A，或，或 A A ( ). ( ). )(xfx)(xfx)(xflimx)(xf)(xfx )(xf极

2、限和连续的总结无穷小量与无穷大量极限为零的变量称为无穷小量(简称无穷小)。在自变量的变化过程中绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷小量的性质：定理1： 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小。定理2 ： 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。定理3 ：无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍是无穷小。极限和连续的总结常用的等价无穷小当0 x时 ;tan )2(xx;sin ) 1 (xx;21cos1 )3(2xx;1 )5(xex;21)1 ( )6(2xx;)1ln( )4(xx;arcsin )7(xx.arctan )8(xx极限和连续的总结23:24极限的性质与运算法则极限的性

3、质与运算法则一、极限的性质一、极限的性质性质性质2 2（有界性）（有界性）有极限的变量是有界变量有极限的变量是有界变量性质性质1 1（唯一性）（唯一性）函数若有极限，则其极限必函数若有极限，则其极限必 唯一唯一性性质质 3 3( (保保号号性性) ) 若若Axfxx)(lim0，且且A A0 0 （或或A A0 0) )，则则在在 ),(000 xxx内内，恒恒有有0)(xf（或或0)(xf）. . 极限和连续的总结23:24性性质质 4 4 若若Axfxx)(lim0, ,且且在在 ),(000 xxx内内恒恒有有)(xf0 0（或或)(xf0 0） ，则则A A0 0（或或A A0 0）.

4、 . 性性 质质 5 5 若若BxgAxfxxxx)(lim,)(lim00， 且且 在在),(000 xxx内内 恒恒 有有)()(xgxf， 则则BA . . 极限和连续的总结23:24二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则定定理理( (四四则则运运算算法法则则) )设设 lim( )f xA，lim ( )g xB, , 则则 法法则则 1 1 lim( )( )lim( )lim ( )f xg xf xg xAB 法则法则 2 2 lim( )( )lim( ) lim( )f xg xf xg xA B 法法则则 3 3 ( )lim( )lim0( )lim ( )f xf

5、 xABg xg xB（） 推论推论 1 1 lim( )lim( )cf xcf x ( (c c 为为常常数数) ) 推推论论 2 2 lim( )lim( )f xf x )(R 极限和连续的总结极限存在性定理极限存在性定理 两个重要极限两个重要极限ennn)11 (lim (1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limexxx10)1 (lim极限和连续的总结定定义义 （函函数数在在某某区区间间连连续续） 如如果果函函数数)(xfy在在区区间间),( ba或或, ba上上的的每每一一点点都都连连续续，则则称称函函数数)(xf在在),( ba内内或或, ba上上是是连连续续

6、的的如如果果函函数数)(xfy在在其其定定义义域域内内的的每每点点均均连连续续， 则则称称函函数数)(xf在在其其定定义义域域内内是是连连续续的的 极限和连续的总结三、函数的间断点极限和连续的总结（1 1）间断点分类）间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若称0 x, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡 ,称0 x若其中有一个为,为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .极限和连续的总结)(.

7、2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型我们可以这样记忆极限和连续的总结23:24可去型可去型第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x极限和连续的总结（2 2）分子、分母分解因式，约去趋于）分子、分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因子零但不等于零的因子（3 3）分子分母同除以高次幂）分子分母同除以高次幂（3939页例页例6 6）（4 4）分子、分母有理化）分子、分母有理化（3939页例页例5 5）(5)(5)利用两个重要极限公式求极限利用两个重要极限公式求极限（1）基本极限）基本极限x极限和连续的总结（6）代值法）代值法（7）约去零因子法）约去零因子法（8）利用无穷小替换定理）利用无穷小替换定理（1010）化无穷多项的和（或积）为有限项）化无穷