应力状态及应变状态分析

1、7 应力状态及应变状态分应力状态及应变状态分析析FN7.1 应力状态概述应力状态概述这是所已知的应力分布情况。这是所已知的应力分布情况。7.1 应力状态概述应力状态概述1凡提到凡提到“应力应力”，必须指明：，必须指明：在哪一点；在哪个面；在哪个方向。在哪一点；在哪个面；在哪个方向。一、一点的应力状态一、一点的应力状态1凡提到凡提到“应力应力”，必须指明：，必须指明：在哪一点；在哪个面；在哪个方向。在哪一点；在哪个面；在哪个方向。7.1 应力状态概述应力状态概述一、一点的应力状态一、一点的应力状态目的：判断受力构件在目的：判断受力构件在那个点那个点，那个方向那个方向最危险，最危险，以便解决构件在

2、复杂受力情况下的强度问题。以便解决构件在复杂受力情况下的强度问题。一点处的一点处的应力状态应力状态：是指通过一点不同截面：是指通过一点不同截面上的应力情况的集合。上的应力情况的集合。二、单元体分析法二、单元体分析法 一点处的应力状态可用围绕该点截取的一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元微单元体体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。来表示。轴向拉伸杆件内围绕点截取的两种微元体。轴向拉伸杆件内围绕点截取的两种微元体。1、微元体三个方向的尺寸均无穷小；、微元体三个方向的尺寸均无穷小；2、每个面上的应力是均匀的；、每个面上的应力是均匀的；

3、3、微元体内相互平行的截面上，应力相同；、微元体内相互平行的截面上，应力相同；4、互相垂直的两个侧面上切应力服从剪切互等关系。、互相垂直的两个侧面上切应力服从剪切互等关系。特点特点：正正 应应 力力xxxx拉为正拉为正压为负压为负正应力正负号规则正应力正负号规则切切 应应 力力 使微元或其使微元或其局部顺时针方向局部顺时针方向转动为正；反之转动为正；反之为负。为负。 y x 切应力正负号规则切应力正负号规则q 角角 由由 x正向正向反时针转到反时针转到x正向者为正；正向者为正；反之为负。反之为负。xyyxqq角角正负号规则正负号规则三、主应力与主平面三、主应力与主平面 主平面主平面：切应力为零

4、的面：切应力为零的面 。主应力主应力：主平面上的正应力。：主平面上的正应力。主单元体主单元体：对于受力构件内的任意一点，都可找到三：对于受力构件内的任意一点，都可找到三个互相垂直的主平面，三对主平面组成一个主单元体，个互相垂直的主平面，三对主平面组成一个主单元体，主单元体上存在三个主应力，用主单元体上存在三个主应力，用1、2、3表示表示。321 1 2 3 1 2 3 四、应力状态分类四、应力状态分类单向应力状态单向应力状态 二向应力状态二向应力状态 三向应力状态三向应力状态 说明：从构件内取出说明：从构件内取出一单元体，往往并非一单元体，往往并非主单元体，须在求出主单元体，须在求出其主应力之

5、后，才能其主应力之后，才能判断它属于哪一种应判断它属于哪一种应力状态。力状态。2薄壁圆筒压力容器薄壁圆筒压力容器1轴向拉压杆件轴向拉压杆件3受钢轮挤压的钢轨受钢轮挤压的钢轨 应力状态的工程实例应力状态的工程实例:4弯曲与扭转组合作用下的圆轴弯曲与扭转组合作用下的圆轴FPlaSyxzMzFSMx43211txWM1zzxWM 1 43txWM4txWM3zzxWM3五、应力状态分析的目的：五、应力状态分析的目的：确定构件上的危险点及危险方向确定构件上的危险点及危险方向平面一般应力状态平面一般应力状态，即空间应力状态中，即空间应力状态中，z方向的方向的应力分量全部为零；或只存在作用于应力分量全部为

6、零；或只存在作用于x-y平面内的平面内的应力分量。应力分量。7.2 平面应力状态分析解析法平面应力状态分析解析法yyyxyx7.2.1平面一般应力状态斜截面上应力平面一般应力状态斜截面上应力斜截面平行于斜截面平行于z轴且与轴且与x面成倾角面成倾角 ，由力的平衡条件，由力的平衡条件 可求得斜截面上应力可求得斜截面上应力 ， 。 cos)cos(dAx ydA(sin )sin 0dA + + dA(cos )sinx+ + dA(sin )cosy22xyxcossin2sin cos + + 0nyx22xyxcossin2sin cos + + xyxyx11()()cos2sin222 +

7、 + + 1cos22cos2 2sin212cos 0t22xyx()sin cos(cossin) + + xyx1()sin2cos22 + +yx 一单元体如图所示，试求在一单元体如图所示，试求在 = 30 的斜截面的斜截面上的应力。上的应力。3020,20a3010,MPaMPa,MP,MPayxyxMPa.sincossincosxyxyx32260206023010230102222+MPa.cossincossinxyx33160206023010222+7.2.2主应力主应力 及作用平面方向及作用平面方向maxmin ，7.2.3 及作用平面方向及作用平面方向maxmin ，

8、7.3 二向应力状态分析图解法应力圆法二向应力状态分析图解法应力圆法1应力圆方程应力圆方程xyxy2222x()()22 + + + + + +xyxyx11()()cos2sin222 + + + xyx1()sin2cos22 + +xyxyx11()()cos2sin222 + + 圆的方程圆的方程此为以此为以，为变量的为变量的圆方程圆方程。以以为横坐标轴，为横坐标轴， 为纵坐标轴，则此圆圆心为纵坐标轴，则此圆圆心O坐标为坐标为 xy1(),02 + + 122xy2xR2 +半径为半径为此圆称此圆称应力圆应力圆或或莫尔莫尔（Mohr）圆圆。xyxy2222x()()22+ 2xy2xR

9、2 +R xy+ +2c应力圆应力圆2x2yx22yx)2()2( + + + + + 在在 - 坐标系中，标定微元的坐标系中，标定微元的A、D面面上上 应力对应的点应力对应的点a和和d（由两个面找两个点由两个面找两个点） 连连a,d交交 轴于轴于c点，点，c即为圆心，即为圆心，cd为为应力圆半径应力圆半径。 yy x AD a( x , x)d( y , y)cR xy+ +2x 2x2yx22yx)2()2( + + + + + x xAD odac245245beBE可见：可见： o a (0, )d(0,- )A ADbec245245 y x BE y x y x ocadA ADq

10、 q2q q qq， x， xytan12 2xyxy2cos 222qq + + + + + 2xy2sin 22qq + + oc2q q0ad2xyxy21x22 + + + + + 2xyxy22x22 + + + + 30 yxx022tan q q y x y xA ADq q0 0 o o2xyxy21x22 + + + + + 2xyxy23x22 + + + + 20 2xyxy22x22 + + + + + 2xyxy23x22 + + + + 10 132xy2x22 + + o maxc oc2q q0ad30080 , ,yx例例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主

11、单元体单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体3080单位：单位：MPa80301 3 OA (80, 3080, 30BCx y D1、取、取 的中点的中点C为圆心为圆心yx, 以以 AC 为半径画莫尔圆为半径画莫尔圆2、算出心标、算出心标 0C = -40，半径，半径3、算出主应力、切应力极值、算出主应力、切应力极值5022+DCADACR4、算出方位角、算出方位角MPaMPaRC 9010031 MPaR -minmax50 5、画出主单元体、画出主单元体 1 3 OA (80, 3080, 30BCx y Do 257712863618086360. .DCADtg arcACD 3

12、080单位：单位：MPa803 1 o pD1210pD2 p 022121sincos0.8q q q q q q + + b2.43D o1 2 2q q1212cos 222q q q q+ + 3364z120 300111 270I8810 mm1212 3zaS120151507.5256000mm 求求a、b两点的主应力两点的主应力 3aa64zM8010 N my0.135m122.7 MPaI8810m 363szaa643z20010 N25610mF S64.6MPaI d8810m910m x x x x x x x x 11122xxOAOCCA150.4MPa22

13、+ + + + + 32OCCA27.7 MPa 0 xtan 22 0023.2 3bb64zM8010 N my0.15m136.4MPaI8810m b0 3bb64zM8010 N my0.15m136.4MPaI8810m b0 求主应力方向的主点法：求主应力方向的主点法：【例题】【例题】 如图（）所示单元体，如图（）所示单元体， 试用应力试用应力圆求圆求 时斜截面上的应力，时斜截面上的应力， 最大正应力及作用平面最大正应力及作用平面方向方向 ， 最大切应力及作用平面方向最大切应力及作用平面方向 。2xyxy22cos22q+ + + + + 2xy22sin48MPa2q + +

14、00 xytan2 2q 0020180120q 20MPa 【例题】【例题】 如图（）所示单元体，如图（）所示单元体， 试用应力试用应力圆求圆求 时斜截面上的应力，时斜截面上的应力， 最大正应力及作用平面最大正应力及作用平面方向方向 ， 最大切应力及作用平面方向最大切应力及作用平面方向 。2xyxy2164MPa22+ + + + + 2xyxy2334MPa22+ + + + max49MPa min49MPa 【例题】【例题】 如图（）所示单元体，如图（）所示单元体， 试用应力试用应力圆求圆求 时斜截面上的应力，时斜截面上的应力， 最大正应力及作用平面最大正应力及作用平面方向方向 ， 最

15、大切应力及作用平面方向最大切应力及作用平面方向 。011180BODBD C2 011ACD180BOD 0 xytan2 0011.98 0【例题7.3】如图7.10（a）所示单元体为纯剪切应力状态，若切应力x=y为已知，试用应力圆求其主应力的数值和方向。7.4 梁的应力状态分析及主应力轨迹线梁的应力状态分析及主应力轨迹线7.4 梁的应力状态分析及主应力轨迹线梁的应力状态分析及主应力轨迹线【例题】【例题】 有一悬臂梁如图。有一悬臂梁如图。 试求距自试求距自 由端由端 的截面的截面 上、上、 五点的五点的主应力数值和主平面位置。主应力数值和主平面位置。【解】【解】 在梁在梁 截面上的内截面上的

16、内 力为力为1. 点点 点点A处于单向处于单向 应力应力 状态，状态， 在该点处的横截面和纵截面就是主平面在该点处的横截面和纵截面就是主平面2. 点点 B3. 点点 C4. 点点 D与与B点计算方法相同：点计算方法相同：5. 点点 E与与A点计算方法相同：点计算方法相同：目的：设计钢筋混凝土梁时，若已知梁中主应力方向的变目的：设计钢筋混凝土梁时，若已知梁中主应力方向的变化情况，化情况， 即可判断梁上裂缝可能发生的方向即可判断梁上裂缝可能发生的方向 ， 从而可以从而可以恰当地配置钢筋，恰当地配置钢筋， 更有效地发挥钢筋的抗拉作用。更有效地发挥钢筋的抗拉作用。1主应力主应力 空间一般应力状态空间一

17、般应力状态：总可将微元体转到某一方位，此时三对微：总可将微元体转到某一方位，此时三对微面上只有正应力而无切应力作用。此三对微面即主平面，三个面上只有正应力而无切应力作用。此三对微面即主平面，三个正应力即主应力（正应力极值）。空间一般应力状态一般具有正应力即主应力（正应力极值）。空间一般应力状态一般具有三个非零的主应力，故也称三个非零的主应力，故也称三向应力状态三向应力状态。 7.5 三向应力状态下应力分析简介三向应力状态下应力分析简介2222xyxx+极小极大，01极大0203极小例例 受弯曲与扭转组合作用圆轴中的受弯曲与扭转组合作用圆轴中的1点，可用应力点，可用应力圆求其主应力：圆求其主应力

18、：2最大切应力最大切应力2cos)(21)(212121+2sin)(21211）平行）平行 3 3方向的任意斜截面方向的任意斜截面 上应力上应力 )(212112 45 o122）平行）平行2方向斜截面上的主方向斜截面上的主切应力切应力(最大切应力最大切应力)： )(213113 o1233）求平行）求平行1方向斜截面上的主切应力方向斜截面上的主切应力:)(213223薄壁圆筒压力容器薄壁圆筒压力容器40pDL得轴向应力：得轴向应力： 20pDH得环向应力：得环向应力： 42013maxpD极大1222xxx22+极极大大，极极小小极大13max2极小极大22xx2 +146MPa 220M

19、Pa 326MPa o234 单向应力状态单向应力状态单向胡克定律单向胡克定律横向效应横向效应纯切应力状态纯切应力状态剪切胡克定律剪切胡克定律 7.6 胡克定律（应力与应变间的关系）胡克定律（应力与应变间的关系） 简单应力状态的胡克定律和横向效应：简单应力状态的胡克定律和横向效应：Exxyxzx Gxyxy三向应力状态三向应力状态胡克定律：胡克定律： 1）对空间一般应力状态）对空间一般应力状态xxyzyyzxzzxy1()E1()E1()E + + + GGGxyxyzxzxyzyz 2）对平面一般应力状态）对平面一般应力状态xxyyyx1()E1()E Gxyxyzxyyzzx()E0 +

20、+ 1123223133121()E1()E1()E + + + 如果已知三个主应力，则如果已知三个主应力，则如果为平面应力状态，则如果为平面应力状态，则为为01122213121)E1)EE + + +12EG1123223133121()E1()E1()E + + + 例例 构件自由表面上某点的两主应变为构件自由表面上某点的两主应变为 1=240 10-6 ， 3= 160 10-6， E=210GPa， =0.3， 求该点的主应力求该点的主应力及另一主应变。及另一主应变。 1132E1 + + 3312E1 + + 1 3 2:0 解解自自由由面面上上例例 构件自由表面上某点的两主应变为构件自由表面上某点的两主应变为 1=240 10-6 ， 3= 160 10-6， E=210GPa， =0.3， 求该点的主应力求该点的主应力及另一主应变。及另一主应变。 MPa1132962E121010( 2400.3160 )1044.310.3 + + MPa3312962E121010(1600.3240 )