分段函数的几种常见题型及解法好

1、分段函数的几种常见题型及解法【关键词】 分段函数；定义域；值域或最值;函数值；解析式；图像；反函数；奇偶 性；方程；不等式分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内有不同的对应法则的函数本卷第1页（共5页）本卷第1页（共5页）它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并 集，其值域也是各段函数值域的并集 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知 识的程度的考察上有较好的作用 ，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题 型做了一些思考，解析如下：1 求分段函数的定义域和值域2x 2 x -1,0;例1 .求函数f(x)= -2 x (0, 2)；的

2、定义域、32，：)；值域.【解析】作图，利用“数形结合易知f（x）的定义域为本卷第1页（共5页）本卷第1页（共5页）-1，：），值域为（-1，3.2 求分段函数的函数值x-1|-2，（|x|）例2. （05年浙江理）已知函数f（X）二三1求ff®R，'I【解析】因为 f(i) -I1-i| -2 号,"314所以本卷第1页（共5页）本卷第1页（共5页）求分段函数的最值本卷第1页（共5页）例5函数y =e|lnx|-|x-1|的图像大致是()4x 3 (x < 0)I例3求函数f(x)二x 3(0：x1)的最大值.-x 5 (x 1)【解析】当 XE0 时,Ja

3、x(X)=f(0) =3,当 0：X 叮时，fmax(X)= f(1) = 4.当 x .1 时,x -5 :： -1 5 =4, 综上有 fmax(x)=4.3 求分段函数的解析式例4.在同一平面直角坐标系中，函数y二f (x)和y = g(x)的图象关于直线 y二x对称，现将y=g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示)则函数f (x)的表达式为()A.B.C.D.(2x+2(1 兰xEO)吃+2(0 £X 兰2)'2x-2(1兰x兰0)>_21.2厶(0<xE2)'2x-2(1兰x兰2

4、)桂+1(2 v x 乞 4)2x-6T(1ExE2)U-3(2 £x4)f(x)=f(x)二f(x)二f (x)=【解析】平移1个单位，得解析式为 y="2(x-2)1-1=gx-1 ,所以f( xF2x2x-,当 x 0,1时，y = 2x 1,将其图象沿X轴向右平移 2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得解析式y=2(x-2) 1 -1 =2x_4,所以l2x 2 (-仁x岂0)丄f(x)二2X 2(X0,2),综上可得f(x) 乂x 一 _,故选A当 x-2,0时,y =1 x 1,将其图象沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下4 作分段函数的图像y6 求分段函数得反

5、函数例6已知y = f(x)是定义在 R上的奇函数且当 x 0 时,f(x)=3x-1,设f (x)得反函数为y=g(x),求g(x)的表达式.【解析】又因为f (x)是定义在R上的奇函数所以 f (-X)= - f(x),且 f(0)=0,所以 f(x)=1-3： 因此设 x ： 0 ,则一x 0 ,所以 f(_x) = 3“ -1,' x3 -1 (x 0)log3(x 1)(x 0)f (x) =0 (x= 0),从而可得g(x) =0(x = 0)1 3(x： 0)log3(1 x)(x ： 0)7 判断分段函数的奇偶性2工x2(x-1) (x 亠0)例7判断函数f(x) 的奇

6、偶性-x (x+1)(x V0)【解析】当 x 0 时，x：0, f (X)- -(x)2(x 1) = x2(x T) = f (x),当 x = 0 时,本卷第3页(共5页)2 2f ( 一0) = f (0) =0 ,当 x ： 0 ,-x 0 , f (_x) =( x) (_x 1) - -x (x 1)= f (x)因此，对于任意x R都有f ( _x)二f (x),所以f (x)为偶函数&判断分段函数的单调性x3 x (x 0)例8 .判断函数f (x)的单调性.-x2 (x ： 0)【解析】显然f(x)连续.当x_0时，f'(x) =3x2 1 _1恒成立，所以

7、f (x)是单调递增函数，当x：0时，f'(x)-2x0恒成立，f (x)也是单调递增函数，所以f (x)在R上是单调递增函数；或画图易知f(x)在R上是单调递增函数2x例9写出函数f(x)叩 2x| |2-x|的单调减区间._3x+1 (xE-2)【解析】f (x) £3 x ( - 2 ： x ： 2)，画图易知单调3x -1 (x_2)减区间为(-今.例10.(01年上海)设函数f(x)二2log8ixX (-：，1X (1，二)9解分段函数的方程1则满足方程f (x) 的x的4值为【解析】若 2" =|，则 2" =2，得 x=2r：，1，所以 x

8、=2(舍去)，若 log814,1 则 x =814，解得x =3, (1) 所以x =3即为所求.10解分段函数的不等式2-1 X兰 0)例11 设函数f (x)二i, 若x2 (xaO)f（x0） 1,则X）得取值范围是（）A.（-1,1）B.（-1,：）C. （一“, 一2） （03）D. （- ：, -1）（1,：）首先画出y = f （x）和y = 1的大致图像易知f（x。）1时，所对应的xo的取值范【解析1】【解析2】因为 f （x0）1 ,当x0乞0 时，20-1 1 , 解得x0”1, 当x00 时,1xo2 1,解得xo1,综上xo的取值范围是（-：，-1）_ （1：）.故选D.例12设函数2l（x+1）（x<1）f（x）,贝y使得f（x）_1的自变量x的取值范围为（）4 - Vx -1 (x1)A. (-：，-2 一 0,10 B.(-：，-2 一 0,1C.(-2 一 1,10 D.-2,01,10【解析】当x <1时，2f(x) 一1= (x 1) 一1= x_ -2或x_0 , 所以 X -2或0乞 x ：1 ,当 x _1 时，f(x)_1= 4 '、x1_1= 、.x1E3二 x 乞 10, 所以 1EX乞 10, 综 上所述,x乞-2或0乞x乞1