振动和机械波习题

1、mkxtx 且且0dd222 f =-kx)cos( tAx线谐运动线谐运动(定义兼判据定义兼判据)222d0dt )cos( t角谐运动角谐运动)cos( tAx)sin( tAv)cos(2 tAa 振幅振幅A、周期、周期T、频率、频率 、角频率、角频率 、相位、相位( t+ ) 初相位初相位 kEvxA222020 Ax0cos Av0sin ,mk 弹弹簧簧振振子子：2Tlg 单单摆摆：5 5、阻尼运动与受迫振动、阻尼运动与受迫振动220220d xdxxdtdt22022cosd xdxxhtdtdt2202arctan-阻尼系数；阻尼系数；0 0 -振动系统的固有角频率振动系统的固

2、有角频率阻尼运动：过阻尼、欠阻尼以及临界阻尼运动阻尼运动：过阻尼、欠阻尼以及临界阻尼运动受迫振动受迫振动共振现象共振现象幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性12222220()4hA 2202p)cos(212212221 AAAAA)cos()cos(221121 tAtAxxx仍为简谐运动仍为简谐运动,其中其中:同相同相:k=0,1, 2, 3.22112211coscossinsintan AAAA k212 21AAA 反相反相: )12(12 k21AAA k=0,1, 2, 3.)(sin21212222 tAmmvEk)(cos2121222 tkAkxEp221kAEEEpk

3、（1 1）简谐运动的运动学问题。）简谐运动的运动学问题。 围绕描述简谐运动的三个物理量：振幅、角频率和初相围绕描述简谐运动的三个物理量：振幅、角频率和初相建立简谐运动的表达式，或者从振动曲线建立简谐运动的表建立简谐运动的表达式，或者从振动曲线建立简谐运动的表达式。达式。（2 2）简谐运动的动力学问题）简谐运动的动力学问题 对物体进行受力分析，根据牛顿定律建立方程，判断是否对物体进行受力分析，根据牛顿定律建立方程，判断是否符合简谐运动的特征，然后根据初始条件，建立简谐运动的表符合简谐运动的特征，然后根据初始条件，建立简谐运动的表达式。达式。（3 3）简谐运动的合成。）简谐运动的合成。本章的习题可

4、以分为三方面的问题：本章的习题可以分为三方面的问题：简谐运动的动力学问题：简谐运动的动力学问题：判断振动物体是否作简谐运动。判断振动物体是否作简谐运动。采用动力学的方法的步骤：（采用动力学的方法的步骤：（1 1）确定振动系统，找出平衡）确定振动系统，找出平衡位置并且作为坐标原点，规定坐标轴的正方向；（位置并且作为坐标原点，规定坐标轴的正方向；（2 2）分析）分析处于任意位置处系统各物体所受的力；（处于任意位置处系统各物体所受的力；（3 3）列出各物体的）列出各物体的运动方程，与简谐运动的微分方程进行比较，即可判断物体运动方程，与简谐运动的微分方程进行比较，即可判断物体是否做简谐运动。是否做简谐

5、运动。采用能量法的步骤：（采用能量法的步骤：（1 1）确定振动系统的机械能是否守恒；）确定振动系统的机械能是否守恒；（2 2）找出平衡位置并将它选为坐标原点，规定坐标轴的正方向；）找出平衡位置并将它选为坐标原点，规定坐标轴的正方向；（3 3）写出任意位置处的机械能表达式，并且对这一表达式进行）写出任意位置处的机械能表达式，并且对这一表达式进行时间微分，将求得的结果与简谐运动的微分方程进行比较，判时间微分，将求得的结果与简谐运动的微分方程进行比较，判断是否作简谐运动。断是否作简谐运动。 Tu 波波速速 各质点的振动状态的差别各质点的振动状态的差别仅在于仅在于，后开始振动的，后开始振动的质点比先开

6、始振动的质点，在步调上落后一段时间。质点比先开始振动的质点，在步调上落后一段时间。)cos( tAy 当坐标当坐标原点原点x=0m 处简谐振动的方程为处简谐振动的方程为当波以波速当波以波速u向向x正方向传播正方向传播,则平面简谐波波函数则平面简谐波波函数:)(cos uxtAy 单位体积内波的能量单位体积内波的能量,即即能量密度能量密度为为: )(sin222uxtAw 单位体积内波的平均能量单位体积内波的平均能量, 即即平均能量密度平均能量密度为为: 220211AwdtTwT 平均能流密度平均能流密度波的强度波的强度为为: uAI2221 uAI2221 矢量式在波动中，每个质元都起着能量

7、转换的作用在波动中，每个质元都起着能量转换的作用-不断地吸取能量，又不断地放出能量。因此说振动不断地吸取能量，又不断地放出能量。因此说振动的传播过程也就是的传播过程也就是能量能量的传播过程。的传播过程。 频率相同、振动方向相同、相位差恒定频率相同、振动方向相同、相位差恒定.其中其中: k=0,1,2,3 )(2cos21212212221rrAAAAA 212112121222AAAAAAkkrr减减弱弱加加强强)()(当当 1 = 2时时,干涉点的相位差干涉点的相位差由波程差由波程差 =r2- - r1决定。决定。 (1)合成以后合成以后各点振幅不同各点振幅不同波腹波腹波节波节4 (2k+1

8、)x 2 kx 5.驻波驻波：两列振幅相同的两列振幅相同的相干波相干波,在同一直线上在同一直线上,沿沿相反方向传播时所产生的叠加：相反方向传播时所产生的叠加：相邻波节间相邻波节间的各点步调一致（即相位的各点步调一致（即相位相同相同）, 波节两边波节两边各点的步调正好相反（相位各点的步调正好相反（相位相反相反）。）。 (2)合成以后各点的振动：合成以后各点的振动：(3)驻波进行中没有能量的定向传播，总能流密度驻波进行中没有能量的定向传播，总能流密度为零。能量在波腹和波节之间转换。为零。能量在波腹和波节之间转换。当各质点振动达到当各质点振动达到平衡位置平衡位置时，时，动能集中在波腹。动能集中在波腹

9、。当各质点振动达到当各质点振动达到最大位移最大位移时，时，势能集中在波节。势能集中在波节。Lunn2 驻驻波波系系统统的的本本征征频频率率观察者接收到的频率观察者接收到的频率有赖于有赖于波源波源或或观察者运动观察者运动的的现象，称为现象，称为多普勒效应多普勒效应。相对于媒质相对于媒质，波源和观察者，波源和观察者时时RRssuVuV观察者接收到的频率与波源的频率之间的观察者接收到的频率与波源的频率之间的关系关系 例例1 一劲度系数为一劲度系数为 k 的轻弹簧截成三等分，取出其中的两根，的轻弹簧截成三等分，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为将它们并联在一起，下面挂一质量为 m 的物体

10、，则振动系统的的物体，则振动系统的频率为频率为.221)(.321)(.621)(.21)(mkDmkCmkBmkA解解: 设每一等分弹簧的劲度系数为设每一等分弹簧的劲度系数为 k0 ，因此由弹簧串联关系，有因此由弹簧串联关系，有,3,3100kkkk两个同样的弹簧并联，有两个同样的弹簧并联，有kkk620振动频率为振动频率为mkmk621212答案：答案：( B)例例2 2、如图所示，一劲度系数为、如图所示，一劲度系数为k k的弹簧，一端固定，另一端系一的弹簧，一端固定，另一端系一轻绳，轻绳通过滑轮连接一个质量为轻绳，轻绳通过滑轮连接一个质量为m m的物体，滑轮的质量为的物体，滑轮的质量为M

11、 M，半径为半径为R R。若绳与滑轮之间没有相对滑动，试证明物体的微小振。若绳与滑轮之间没有相对滑动，试证明物体的微小振动是简谐运动，并求出其振动周期。设动是简谐运动，并求出其振动周期。设t=0t=0时，弹簧没有伸缩、时，弹簧没有伸缩、物体也没有初速度，写出物体的振动表达式。物体也没有初速度，写出物体的振动表达式。mMk（a）TTTPTa（b）分析：该系统由弹簧、滑轮和物分析：该系统由弹簧、滑轮和物体组成。画出隔离体受力图，对体组成。画出隔离体受力图，对质点应用牛顿运动定律，对转动质点应用牛顿运动定律，对转动物体应用转动定律，得到系统的物体应用转动定律，得到系统的运动方程，从而进行判断。运动方

12、程，从而进行判断。解法一解法一 动力学法动力学法系统的受力图如图所示。选取物体系统的受力图如图所示。选取物体平衡时的位置作为坐标原点，以竖平衡时的位置作为坐标原点，以竖直向下为直向下为x x轴的正方向。因为物体在轴的正方向。因为物体在平衡位置时已经伸长平衡位置时已经伸长x x0 0，所以有：，所以有：0kxmg22d xmgTmdt0()TRT RJTk xx当物体偏离平衡位置当物体偏离平衡位置x x时，物体的动力学方程为：时，物体的动力学方程为：此时，滑轮和弹簧的运动方程为：此时，滑轮和弹簧的运动方程为：而物体的加速度和滑轮的角速度之间的关系为：而物体的加速度和滑轮的角速度之间的关系为：22

13、d xRdt联立上述方程可以得到：联立上述方程可以得到：22220d xkRxdtmRJ显然上面的式子符合简谐运动的标准方程，所以该系统做简谐运显然上面的式子符合简谐运动的标准方程，所以该系统做简谐运动，其角频率为：动，其角频率为：22kRmRJ2222mRJTkR212JMR所以周期为：所以周期为：其中，其中，代入后可以得到：代入后可以得到：22MmTk根据初始条件：当根据初始条件：当t=0t=0时，时，00,0ttmgxvk 所以所以0,mgAkcos()2mgkxtMkm2220111()222EmvmgxJk xxC所以，其振动表达式为：所以，其振动表达式为：解法二解法二 能量法能量法

14、由弹簧、物体、滑轮和地球组成的系统，系统的机械能守恒，由弹簧、物体、滑轮和地球组成的系统，系统的机械能守恒，所以系统做简谐运动。所以系统做简谐运动。物体在任一位置物体在任一位置x x时，取平衡位置为势能零点，于是系统的机械时，取平衡位置为势能零点，于是系统的机械能为：能为：将上式两边对时间求一阶导数，可以得到：将上式两边对时间求一阶导数，可以得到：0()0dEdvdxddxmvmgJk xxdtdtdtdtdt其中，其中，22dvd xdtdtdxvRdt代入上面式子，可以得到：代入上面式子，可以得到：22220d xkRxdtmRJ这与用动力学法解得的结果相同。这与用动力学法解得的结果相同。

15、例例3、有三个同方向，同频率的简谐振动，振动方程分别为：、有三个同方向，同频率的简谐振动，振动方程分别为：12320.05cos();0.05cos();0.05cos()33xtxtxt试求合振动方程。试求合振动方程。OxA1A2A3A/32/3解：方法一（旋转矢量法）解：方法一（旋转矢量法）取坐标取坐标OxOx，每一振动相位差为，每一振动相位差为/3/3，三，三个分振动以及合振动的旋转矢量位置，个分振动以及合振动的旋转矢量位置，如图可以表示出来。如图可以表示出来。由图可以求出合振动的振幅为：由图可以求出合振动的振幅为：22112233112233221(coscoscos)(sinsins

16、in)22(cos0coscos)(sinsin)33330.05 1 30.1AAAAAAAA合振动的初始位相为：合振动的初始位相为：11122331122331sinsinsintansss3tan13AAAAcoA coA co0.1cos()3xt所以，合振动的振动方程为：所以，合振动的振动方程为：方法二、（解析法）方法二、（解析法）直接利用三角函数的计算，可以求出合振动方程为：直接利用三角函数的计算，可以求出合振动方程为：12320.05cos()0.05cos()0.05cos()330.05cos()0.1cos()cos()3330.05cos()0.05cos()330.1c

17、os()3xxxxtttttttt 例例4.一列波长为一列波长为 的平面简谐波沿的平面简谐波沿x 轴正方向传播。轴正方向传播。 已知在已知在 x = /2 处处 振动表达式为振动表达式为 y =A cos t ,（1）求该平面简谐波的波函数）求该平面简谐波的波函数;（2）若在波线上）若在波线上 处反射处反射,反射点为反射点为一固定端，一固定端，)2( LLx求反射波的波函数。求反射波的波函数。【解解】（1）入射波的波函数）入射波的波函数/2cos ()xyAtucos(2)xAt0Lx2 x画出示意图画出示意图找任意一点找任意一点 x反射有半波损失，反射有半波损失，到达到达L处的振动方程为处的

18、振动方程为cos(2)LyAt0Lx2 x)2cos( xtAy 已求得入射波的波函数已求得入射波的波函数L处反射的振动方程处反射的振动方程cos(2)LyAt反射波的波函数反射波的波函数cos ()2LLyAtxu)(24cosLxxLtAy 得得例例5: : 如图所示，波源位于如图所示，波源位于O O处，由波源向左右两边发出振幅为处，由波源向左右两边发出振幅为 ，角频率为角频率为，波速为，波速为 的简谐波。若波密介质的反射面的简谐波。若波密介质的反射面 BB BB 与与点点 O O 的距离为的距离为 d=5/4, d=5/4, 试讨论合成波的性质。试讨论合成波的性质。解：解：设设 O O

19、为坐标原点，向右为正方向。为坐标原点，向右为正方向。)2cos(),(1xtAtxy自自 O O 点向右的波：点向右的波：自自 O O 点向左的波：点向左的波：)2cos(),(2xtAtxyB BBBO Od=5/4d=5/4x xp p反射点反射点 p p 处入射波引起的振动：处入射波引起的振动：)2cos()45(2cos)(2tAtAtyp反射波在反射波在 p p 点的振动（有半波损失）：点的振动（有半波损失）：)2cos()2cos()(3tAtAtyp)24522cos(2)45(cos),(3xtAuxtAtxy反射波的波函数反射波的波函数叠加为驻波：与在32, 045yyx )

20、2cos()2cos(32tAtAyyy合成为简谐波：和在31,0yyx )2cos(2),(31xtAyytxy)2cos(),(3xtAtxy22 cos()cosyAxt)2cos(),(1xtAtxy)2cos(),(2xtAtxy)2cos()2cos()(3tAtAtypBBOd=5/4xp例例6 6、如图所示，地面上一波源、如图所示，地面上一波源S S，与一高频率探测器，与一高频率探测器D D之间的距之间的距离为离为d d，从，从S S直接发出的波与从直接发出的波与从S S发出经高度为发出经高度为H H的水平层反射后的水平层反射后的波，在的波，在D D处加强。当水平层逐渐升高处加强。当水平层逐渐升高h h