1金融工程分析方法

1、1第一部分:金融 工程理论2 金融工程在解决金融问题过程中离不开现金金融工程在解决金融问题过程中离不开现金流。一项投资（负债），现金在不同时间，不断流。一项投资（负债），现金在不同时间，不断地流进（流出）。所以投资和融资机会都可以用地流进（流出）。所以投资和融资机会都可以用现金流来描述。现金流来描述。 一、现金流：指收到的一、现金流：指收到的现金序列现金序列或支付的现或支付的现金序列。在时间金序列。在时间t时收到的现金流用时收到的现金流用cf t表示。表示。 二、现金流的三个重要特征：二、现金流的三个重要特征： 1、现金流的大小或数量；、现金流的大小或数量； 2、现金流的方向（流入或流出）；、

2、现金流的方向（流入或流出）； 3、现金流发生的时间。、现金流发生的时间。3例例1 初始成本相等初始成本相等120美元的两项投资项目美元的两项投资项目a和项目和项目b，投资收益的现金流如下表，从会计利润和金融价值投资收益的现金流如下表，从会计利润和金融价值（设贴现率（设贴现率10%,25%。若按风险中性则用国债利率）。若按风险中性则用国债利率）两方面比较两方面比较a和和b。 会计利润（绝对收益）：不管经过多少年，只管部会计利润（绝对收益）：不管经过多少年，只管部绝对收益。绝对收益。 金融价值（时间价值）：现金流在时间上是有价金融价值（时间价值）：现金流在时间上是有价值的。同一笔资金在不同时间有不

3、同价值。值的。同一笔资金在不同时间有不同价值。45a时间（年时间（年）a收入数量（美元）收入数量（美元）b时间（年）时间（年）b收入数量（美元）收入数量（美元）1500 454.551900 818.182600 495.872600 495.873700 525.923500 375.664800 546.414400 273.21总计总计2600总计总计2400 现值（现值（10%）现值（现值（25%） 2022.75 390.08现值（现值（10%）现值（现值（25%） 1962.92 443.84 会计利润分析：会计利润分析：a优于优于b； 金融价值分析：？金融价值分析：？ 一、现金流

4、的时间价值一、现金流的时间价值 例例1中，中，a和和b的现金流的金融价值和会计利润的现金流的金融价值和会计利润是不同的。金融价值要考虑时间价值，即是不同的。金融价值要考虑时间价值，即现金流在现金流在时间上是有价值的，时间上是有价值的，在评价现金流价值时要考虑时在评价现金流价值时要考虑时间因素。间因素。 例例2：投资组合：持有一份执行价：投资组合：持有一份执行价x的欧式看涨的欧式看涨期权期权+数额数额x*exp-r(t-t)收益率收益率r的债券。的债券。 从合同期从合同期t到到t，不同的时刻组合有不同的价值。，不同的时刻组合有不同的价值。6 例例2 投资组合：持有一份执行价投资组合：持有一份执行

5、价x的欧式看的欧式看涨期权涨期权+数额数额x*exp-r(t-t)收益率收益率r的债券。的债券。 从合同期从合同期t到到t，不同的时刻组合有不同的价值。，不同的时刻组合有不同的价值。 例例3 5年期的借款年期的借款100万元，利率万元，利率10%，则当，则当前前100万元与以下现金流等价：万元与以下现金流等价： 第第1年末，第年末，第2年末，第年末，第3年末，第年末，第4年末，第年末，第5年末年末 10万，万， 10万，万， 10万，万， 10万，万， 110万万 二、现金流的现值二、现金流的现值 通过考虑时间因素把现金流折现到当前值，折通过考虑时间因素把现金流折现到当前值，折现后的价值称为现

6、值。现后的价值称为现值。7 在第在第t年收到的现金流为年收到的现金流为cft，折现率为，折现率为kt ， 当当kt 为年利率，并且每年派一次息，现值为为年利率，并且每年派一次息，现值为 pv= cft /（1+ kt ）（）（t方）方） 当当kt 为连续复利，把一年的利息连续派息无限为连续复利，把一年的利息连续派息无限次，现值为次，现值为 pv= cft *exp（-t*kt ） 上例中，上例中，a和和b的合理价格（金融价值，折现的合理价格（金融价值，折现率取率取10%）分别为：）分别为：2022.75美元，美元，1962.92美元的美元的成本。成本。 值得为项目值得为项目a和和b付出成本的上

7、限分别为：付出成本的上限分别为：2022.75美元，美元，1962.92美元，但不能超出。于是可美元，但不能超出。于是可用净现值法分析用净现值法分析a和和b的投资价值：的投资价值： npv=项目现值项目现值-项目成本项目成本8连续复利终值公式：连续复利与每年m次复利的转换：rnaeln 11mcrcmrmmrmrm e9 假设数额假设数额a以利率以利率r投资了投资了n年。如果利息按年。如果利息按每一年计一次复利，则上述投资的终值为：每一年计一次复利，则上述投资的终值为：如果每年计如果每年计m次复利，则终值为：次复利，则终值为： 当当m趋于无穷大时，趋于无穷大时，r就称为连续复利就称为连续复利（

8、continuous compounding），此时的终值为），此时的终值为 ：10nra1mnmra 1rnmnmrmaea1lim 净现值：净现值： npv=现值总量现值总量-成本成本 a的的npv= 2022.75-120=822.75美元美元 b的的npv= 1962.92-120=762.92美元美元 显然显然a的净现值优于的净现值优于b的净现值，所以对的净现值，所以对10%的折现率，的折现率，a的投资价值优于的投资价值优于b的投资价值。的投资价值。 但是折现率变化时，但是折现率变化时，npv会有变化，称为敏感会有变化，称为敏感性。例如当折现率为性。例如当折现率为25%，a的的npv

9、=270.08美元，美元，b的的npv=323.84美元，所以当折现率为美元，所以当折现率为25%，b的的投资价值优于投资价值优于a的投资价值。的投资价值。 可见，分析可见，分析a和和b还要考虑到市场利率和投资还要考虑到市场利率和投资的预期收益率。即要考虑折现率。的预期收益率。即要考虑折现率。11一、绝对定价法一、绝对定价法 绝对定价法就是根据证券未来现金流绝对定价法就是根据证券未来现金流的特征，运用恰当的贴现率将这些现金的特征，运用恰当的贴现率将这些现金流贴现加总为现值，该现值就是此证券流贴现加总为现值，该现值就是此证券的合理价格。的合理价格。 股票和债券定价大多使用绝对定价法。股票和债券定

10、价大多使用绝对定价法。12 求债券当前的价格求债券当前的价格 把这一债券将来把这一债券将来有限有限的现金流（收益）按一定的现金流（收益）按一定贴现率进行贴现，再加总所得到的结果就是该债贴现率进行贴现，再加总所得到的结果就是该债券的当前价格。券的当前价格。 求股票当前的价格求股票当前的价格 把这一股票将来把这一股票将来无限无限的现金流（收益）按一的现金流（收益）按一定贴现率进行贴现，再加总所得到的结果就是该定贴现率进行贴现，再加总所得到的结果就是该股票的当前价格。股票的当前价格。 区别：债券的期限是有限的，股票的期限是无区别：债券的期限是有限的，股票的期限是无限的。限的。 绝对定价法是一般原理，

11、易于理解，但难以应用。绝对定价法是一般原理，易于理解，但难以应用。13二、相对定价法二、相对定价法 相对定价法的基本思想就是利用标的资产相对定价法的基本思想就是利用标的资产价格与衍生证券价格之间的内在关系，直接价格与衍生证券价格之间的内在关系，直接根根据标的资产价格求出衍生证券价格据标的资产价格求出衍生证券价格。 应用：应用： 衍生证券定价则主要运用相对定价法。衍生证券定价则主要运用相对定价法。 例如在后面要进行的衍生证券的定价都是相例如在后面要进行的衍生证券的定价都是相对定价法。对定价法。 绝对定价法是一般原理，易于理解，但难以绝对定价法是一般原理，易于理解，但难以应用；相对定价法则易于实现

12、，贴近市场，一应用；相对定价法则易于实现，贴近市场，一般仅适用于衍生证券。般仅适用于衍生证券。1415 一、套利一、套利套利是一种在既没有成本，又没有风险的情况下能套利是一种在既没有成本，又没有风险的情况下能够获取利润的交易活动。够获取利润的交易活动。 即套利机会是指无风险和无初始投资的获利机会。即套利机会是指无风险和无初始投资的获利机会。 二、无套利假设二、无套利假设 市场是有效率的。一旦有市场信息（包括套利机市场是有效率的。一旦有市场信息（包括套利机会）出来每个投资者都有能同时发现。会）出来每个投资者都有能同时发现。 无套利：在有效的资本市场上，资产价格会立即无套利：在有效的资本市场上，资

13、产价格会立即调整而使得套利机会无法长时间存在。调整而使得套利机会无法长时间存在。 在一个有效金融市场上，信息传递得如此之快，在一个有效金融市场上，信息传递得如此之快，如此之广，所有投资者都有参与交易，以至于任何如此之广，所有投资者都有参与交易，以至于任何无风险套利的机会都瞬间即逝。无风险套利的机会都瞬间即逝。16 一、无套利含义：对成熟市场（市场是有效的），一、无套利含义：对成熟市场（市场是有效的），一旦发现无风险套利的机会，就会充分利用，直至一旦发现无风险套利的机会，就会充分利用，直至无风险套利机会消失，市场达到均衡为止。无风险套利机会消失，市场达到均衡为止。 二、无套利原则（无套利原理，无

14、套利均衡分析方二、无套利原则（无套利原理，无套利均衡分析方法）：法）：如果市场是有效的，则市场不存在无市场风如果市场是有效的，则市场不存在无市场风险套利的机会。即无套利市场不存在既不要成本，险套利的机会。即无套利市场不存在既不要成本，又没有风险的套利机会。又没有风险的套利机会。 如果市场上有无风险套利机会，因为市场是有如果市场上有无风险套利机会，因为市场是有效的，就会有很多人发现这机会而进行套利，于是效的，就会有很多人发现这机会而进行套利，于是价格必然由于套利行为作出相应的调整，使套利机价格必然由于套利行为作出相应的调整，使套利机会立即消失，重新回到均衡的状态。这就是无套利会立即消失，重新回到

15、均衡的状态。这就是无套利的定价原则。的定价原则。 “所有人所有人”发现机会时，无法套利！发现机会时，无法套利！“所有人所有人”认同的投资机会就不是机会了认同的投资机会就不是机会了（如入市和选股）（如入市和选股）17一、无套利价格一、无套利价格 在没有套利机会存在的条件下金融资产的价格。在没有套利机会存在的条件下金融资产的价格。二、无套利基本引理二、无套利基本引理（一）基本条件（一）基本条件 1、资产在市场交易；、资产在市场交易； 2、投资者自由进入市场；、投资者自由进入市场； 3、任何交易者都可无限制取得市场上资产的任意多、任何交易者都可无限制取得市场上资产的任意多头和空头，也可以无限制取得合

16、成资产的多头和空头；头和空头，也可以无限制取得合成资产的多头和空头； 4、投资者可按无风险利率进行进行无限制的现金借、投资者可按无风险利率进行进行无限制的现金借贷；贷； 5、无交易费用，含经济人拥金、税、保证金、无交易费用，含经济人拥金、税、保证金、融券融券成本成本等。等。往后只考虑融资成本，忽略融券（借资产）成本。往后只考虑融资成本，忽略融券（借资产）成本。 6、无违约风险。即违约风险不在这里讨论。、无违约风险。即违约风险不在这里讨论。18（二）基本引理（二）基本引理 如果资产如果资产a和和b在时间区间（在时间区间（t,t）内都没有）内都没有发生另外的现金流或另外的交易，则发生另外的现金流或

17、另外的交易，则 1、t时刻时刻a价值大于等于价值大于等于b价值的价值的充要条件充要条件是是a现值也大于等于现值也大于等于b现值。现值。 即即at=bt（at=bt（at=bt）。）。 2、t时刻时刻a价值等于价值等于b价值的价值的充要条件充要条件是是a现值也等于现值也等于b现值。现值。 即即at=bt充要条件充要条件是是at=bt 。19 证明：（证明：（1）必要性（反证法）：若）必要性（反证法）：若at0 at-bt=0 组合在组合在t现金流为正现金流为正,在在t现金流非负，组合在现金流非负，组合在t到到t不需要投入资金，也没有市场风险。所以组合不需要投入资金，也没有市场风险。所以组合c是套

18、利组合。与无套利原理矛盾，必要性得证。是套利组合。与无套利原理矛盾，必要性得证。20 充分性（反证法）：若充分性（反证法）：若at=0 bt-at0 组合在组合在t现金流非负现金流非负,在在t现金流为正，组合在现金流为正，组合在t到到t不需要投入资金，也没有风险。所以组合不需要投入资金，也没有风险。所以组合d是套是套利组合。与无套利原理矛盾，充分性得证。利组合。与无套利原理矛盾，充分性得证。21 （2）at=bt ，当且仅当，当且仅当at=bt与与at=bt与与at11%，所以市场存在套利机会。，所以市场存在套利机会。附：按一年派息一次的复利计算：附：按一年派息一次的复利计算：由（由（*）式）

19、式有：有： （1+0.100.5）（）（1+r0.5）= （1+ 0.121） 即按一年派息一次的复利计算的无套利远即按一年派息一次的复利计算的无套利远期利率为期利率为r=13.33% 。显然。显然r=13.33% 11% 。所以市场存在套利机会。所以市场存在套利机会。25（2）如果市场上远期利率）如果市场上远期利率r=11%，而无套利的远，而无套利的远期利率期利率r=14%，则市场有无风险套利机会。，则市场有无风险套利机会。 套利思路：套利思路：借短借短（前半年即期（前半年即期10%和和612的的远期远期11%）贷长贷长（一年的即期（一年的即期12%） 套利组合：年初三笔交易为套利组合套利组

20、合：年初三笔交易为套利组合 按按10%的利率借款的利率借款6个月，本金个月，本金1000万元；万元； 以多头方以多头方签订一份签订一份612的远期利率协议，的远期利率协议，协议利率为协议利率为11%，名义本金为，名义本金为 1051万元万元=1000exp(0.100.5）万元；）万元； 按按12%的即期利率贷出一笔的即期利率贷出一笔1年期的款项，年期的款项，金额为金额为1000万元。万元。26 套利结果：套利结果： 借入借入：头：头6个月，按个月，按10%利率借入资金利率借入资金1000万万元，到期要还要还本息为元，到期要还要还本息为 1051万元万元=1000exp(0.100.5）。）。

21、 后后6个月，按个月，按11%利率借款利率借款1051万元，到期要还万元，到期要还本息为本息为 1110万元万元=1051exp(0.110.5）。）。 贷出贷出：12个月，按个月，按12%的利率贷出款项金额的利率贷出款项金额1000万元。万元。1年后收回本息年后收回本息 1127万元万元=1000exp(0.121） 无风险套利额无风险套利额： 17万元万元=1127万元万元-1110万元万元27效果分析：效果分析： 既不用投入资金，又无风险地套利既不用投入资金，又无风险地套利17万元。万元。即交易者净赚即交易者净赚17万元。万元。 无套利原理认为：在无套利的假定下，这无套利原理认为：在无套

22、利的假定下，这种机会瞬间被所有人发现，大家都来套利，种机会瞬间被所有人发现，大家都来套利，市场上的远期利率市场上的远期利率11%就会立刻升高，套利就会立刻升高，套利机会立刻消失，恢复到无套利机会的远期利机会立刻消失，恢复到无套利机会的远期利率率14%的水平。的水平。 这种无套利机会的状态，叫做均衡状态。这种无套利机会的状态，叫做均衡状态。所以无套利分析法也叫无套利均衡分析法。所以无套利分析法也叫无套利均衡分析法。28总结并证明一般结论：总结并证明一般结论： 1、无套利远期利率（连续复利）公式、无套利远期利率（连续复利）公式当前时刻是当前时刻是t，设，设r和和r*分别是分别是t至至t，t至至t*

23、即即期利率，期利率，t*t，rf是是t到到t*的远期利率，则的远期利率，则 2、如果市场上远期利率不等于无套利远期、如果市场上远期利率不等于无套利远期利率，则可按利率，则可按“借短贷长借短贷长”的思路进行套利。的思路进行套利。29假定外汇市场和货币市场的行情如下表。假定外汇市场和货币市场的行情如下表。（1）试进行无风险套利；）试进行无风险套利；（2）求无套利远期汇率。）求无套利远期汇率。30货币市场货币市场外汇市场外汇市场美元利率：美元利率：6%马克利率：马克利率：10%即期：即期：1美元美元=1.8马克马克1年远期：年远期： 1美元美元=1.8马克马克解解：（：（1）套利办法为：套利办法为：

24、低买（低买（6%）高卖（）高卖（10%）。）。 套利组合为：套利组合为： 按即期利率按即期利率6%借入美元，本金借入美元，本金1美元，期限美元，期限1年（年（到期偿还本息到期偿还本息1.06美元美元）；）； 按即期汇率按即期汇率1.8将将1美元换成美元换成1.8马克；马克； 按即期期利率按即期期利率10%贷出贷出1.8马克，期限马克，期限1年年（到期得到本息为（到期得到本息为1.98马克）；马克）； 年初以卖方交易一份远期外汇协议，协议汇年初以卖方交易一份远期外汇协议，协议汇率率1美元美元=1.8马克，马克，本金本金1.98马克。（到期结算得到马克。（到期结算得到1.1美元）美元） 套利结果：

25、套利结果： 1.1美元美元- 1.06美元美元= 0.04美元美元31 （2）求无套利远期汇率）求无套利远期汇率 组合组合a：本金：本金1美元，按美元，按6%即期利率投资即期利率投资1年，到期本息是年，到期本息是1.06美元；美元；expr(t-t) 组合组合b：本金：本金1美元，按美元，按1美元美元=1.8马克汇率马克汇率换成马克，以换成马克，以10%的即期利率投资的即期利率投资1年，到期年，到期可获取可获取1.98马克的本息。马克的本息。f*(1/s)*exprf(t-t) a的初值的初值=b的初值的初值=1美元美元根据无套利原理有：根据无套利原理有： a的终值的终值=b的终值值的终值值

26、即即1.06美元美元= 1.98马克。由此，所求的无套利马克。由此，所求的无套利远期汇率为：远期汇率为：1美元美元= 1.8679马克。马克。32总结并证明一般结论：总结并证明一般结论： 1、两国利率平价关系、两国利率平价关系 当前时刻是当前时刻是t，本币和外币从，本币和外币从t至至t的利率分的利率分别是别是r和和rf（连续复利），当前时刻（连续复利），当前时刻t的汇率是的汇率是s，将来时刻将来时刻t的远期汇是的远期汇是f，汇率都采用直接标，汇率都采用直接标价法（以本币表示每单位外币的价格，如人民价法（以本币表示每单位外币的价格，如人民币汇率），则币汇率），则 2、如果市场上远期汇率不等于无套

27、利远期、如果市场上远期汇率不等于无套利远期汇率，则存在无风险套利机会。汇率，则存在无风险套利机会。 33 证明结论证明结论1： 构造两个组合构造两个组合 组合组合a： 1单位外币投资于利率单位外币投资于利率rf，到期本，到期本息是息是exprf(t-t)外币，再按远期汇率外币，再按远期汇率f换成本换成本币币f*exprf(t-t)（本币）（本币）; 组合组合b： 1单位外币等于单位外币等于s单位本币，投资单位本币，投资于于r，到期本息，到期本息s*expr(t-t)（本币）。（本币）。 at=bt=1单位外币单位外币根据无套利原理有：根据无套利原理有： at=bt f*exprf(t-t)=

28、s*expr(t-t)34 套利是指利用一个或多个市场存在的价格差异，在不冒任何损失风险且无需自有资金的情况下获取利润的行为。 无格套利的三大特征无格套利的三大特征 无风险无风险/复制复制/零投资零投资 特征特征1：无套利定价原则要求在：无套利定价原则要求在无风险无风险的的状态下进行套利。状态下进行套利。 在套利无法获取无风险超额收益的状态下，市场达到无套利均衡，此时得到的价格即为无套利价格。35 无套利分析法是衍生资产定价的基本思想和重要方法，也是金融学区别于经济学“供给需求分析”的一个重要特征。 特征特征2：无套利定价的关键技术：无套利定价的关键技术：“复制复制”技术，即用一组证券来复制另

29、技术，即用一组证券来复制另外一组证券。外一组证券。 特征特征3：从即时看无风险的套利活：从即时看无风险的套利活动是现金流为动是现金流为零投资组合零投资组合（自融资组（自融资组合），即不投入新资金。合），即不投入新资金。3637一、风险中性假设一、风险中性假设 假定所有投资者都是风险中性的，既不偏假定所有投资者都是风险中性的，既不偏好也不厌恶。此时投资者不需要额外的收益好也不厌恶。此时投资者不需要额外的收益来吸引它们承担风险。来吸引它们承担风险。 二、风险中性原理二、风险中性原理 在风险中性假设下，投资者不需要额外的在风险中性假设下，投资者不需要额外的收益来吸引他们承担风险，因此收益来吸引他们承

30、担风险，因此所有证券的所有证券的预期收益率都等于无风险利率，所有现金流预期收益率都等于无风险利率，所有现金流都应该使用无风险利率进行贴现求得现值都应该使用无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。这就是风险中性定价原理。38三、风险中性定价与无套利定价在三、风险中性定价与无套利定价在假设假设上的区上的区别别 无套利定价法假设市场是有效的，因此不无套利定价法假设市场是有效的，因此不存在无风险套利的机会。它是存在无风险套利的机会。它是对市场进行假设对市场进行假设的。的。 风险中性定价法是假设所有投资者都是风风险中性定价法是假设所有投资者都是风险中性的，因此投资者不需要额外的收益来吸险中性

31、的，因此投资者不需要额外的收益来吸引它们承担风险。它是引它们承担风险。它是对所有投资者进行假设对所有投资者进行假设的。的。 这些假设都是把环景假设成一种极端的理这些假设都是把环景假设成一种极端的理想状态，由此得出结论。然后人们将这些结论想状态，由此得出结论。然后人们将这些结论用于一般的情况。用于一般的情况。 39 假设一种不支付红利股票，目前价假设一种不支付红利股票，目前价为为10元，元，3个月后，该股票价格要么是个月后，该股票价格要么是11元，要么是元，要么是9元。设元。设f为该股票欧式看为该股票欧式看涨期权涨期权(标的为标的为1股股票股股票)的价格，期权的的价格，期权的期限为期限为3个月，

32、协议价为个月，协议价为10.5元，无风险元，无风险利率为利率为10% 。 （1）用无套利定价法求）用无套利定价法求f ； （2）用风险中性定价法求）用风险中性定价法求f。 解：解：（1）用无套利定价法用无套利定价法 方法方法1：组合的现值组合的现值=组合成本组合成本40 构造一个无风险组合：构造一个无风险组合： 卖出一个看涨期权卖出一个看涨期权+买入买入单位股票。单位股票。 该组合有风险，有成本，组合成本是该组合有风险，有成本，组合成本是10-f 。如果要求组合无风险，观察有什么结果：如果要求组合无风险，观察有什么结果： 因为组合无风险，所以将来没有不确定性，因为组合无风险，所以将来没有不确定

33、性，即即 股票上涨时组合价值股票上涨时组合价值=股票下跌时组合价值股票下跌时组合价值 11 -0.5= 9 =0.25 无风险组合的终值为：无风险组合的终值为： 11 -0.5=9=2.25元元 。41组合的现值为：组合的现值为：42由组合现值等于组合成本，于是得到期权的由组合现值等于组合成本，于是得到期权的价格：价格： 元19. 225. 225. 01 . 0e元31. 019. 225. 010ff解：解：（1）用无套利定价法用无套利定价法方法方法2：零投资组合的终值是零投资组合的终值是0。 构造构造0投资组合：投资组合：卖出一个看涨期权卖出一个看涨期权+买入买入单位股票单位股票+借款借

34、款b（b0时借入，时借入，b0时贷出）。时贷出）。 组合初值：组合初值：f+b-10=0 （*） 由上式，只要求出由上式，只要求出 b和和，就可以求出，就可以求出 f 。 由无套利原理，组合终值由无套利原理，组合终值=0 当股票上涨和下跌时，组合终值分别为：当股票上涨和下跌时，组合终值分别为： 11-0.5-b*exp（10%*3/12）=0 9-0-b*exp（10%*3/12）=0 解得解得=0.25，b=2.1949 代入（代入（*）式，得）式，得f =0.31元元 。43 （2）用风险中性定价法）用风险中性定价法 由风险中性原理，贴现率为由风险中性原理，贴现率为10%。分别。分别求出股

35、票终值和期权终值，然后贴现。求出股票终值和期权终值，然后贴现。 股票现值股票现值=股票当前价格股票当前价格 设股票上升的概率为设股票上升的概率为p，下跌的概率为，下跌的概率为1-p，所以期权到期时，股票的期望价值为，所以期权到期时，股票的期望价值为11p+9（1-p）。用无风险利率贴现，得到股）。用无风险利率贴现，得到股票现值为票现值为 由上述等式求出概率由上述等式求出概率p=0.6266，这一概，这一概率称为风险中性概率。率称为风险中性概率。440 .10 .2 51 19 11 0epp（） 期权现值期权现值=期权当前价格期权当前价格 期权到期，当股价为期权到期，当股价为11，则期权价值为

36、，则期权价值为0.5；当股价为；当股价为9，则期权价值为，则期权价值为0。所以期权。所以期权的期望价值为：的期望价值为： 0.5p+0（1-p） 再根据风险中性定价原理，用无风险利再根据风险中性定价原理，用无风险利率折现期权的价值，就得到期权的价格：率折现期权的价值，就得到期权的价格：450.1 0.25(0.5 0.6266 0 0.3734)0.31fe 元 四、风险中性假设下一些结论四、风险中性假设下一些结论 1、收益率等于无风险利率；、收益率等于无风险利率； 2、贴现率等于无风险利率；、贴现率等于无风险利率； 3、投资的风险溢价等于、投资的风险溢价等于0； 风险溢价风险溢价=风险投资收

37、益率风险投资收益率-无风险利率无风险利率 4、单位风险价格等于、单位风险价格等于0。 单位风险价格单位风险价格=单位风险超额回报率单位风险超额回报率 =（风险投资收益率（风险投资收益率-无风险利率）无风险利率）/标准差。标准差。4647 在金融工程业务中，常常在当前在金融工程业务中，常常在当前t就可以推断风就可以推断风险资产价格（股价、利率、汇率等）在未来险资产价格（股价、利率、汇率等）在未来t时刻的时刻的价格，在这样情况下，求该资产的衍生产品当前价价格，在这样情况下，求该资产的衍生产品当前价格。格。如：如： us cu=max(us-k,0 s c ds cd=max(ds-k,0) 通过几

38、何布朗运动，可求出通过几何布朗运动，可求出u和和d，于是，于是cu和和cd已已知，求欧式看涨期权当前价格知，求欧式看涨期权当前价格c。 类似地，可考虑多次开叉，得到风险资产未来可能价格，类似地，可考虑多次开叉，得到风险资产未来可能价格，求当前价格。求当前价格。 48一、状态价格一、状态价格 设资产在将来的特定状态的回报为设资产在将来的特定状态的回报为1，在将来的其它情况回报为在将来的其它情况回报为0，则该资产，则该资产在当前的价格就是状态价格。在当前的价格就是状态价格。二、状态定价法二、状态定价法49 如果某资产未来时刻有如果某资产未来时刻有n种状态种状态（n种可能结果），而这种可能结果），而

39、这n种状态的现种状态的现金流都已知，那么就可以运用该资产在金流都已知，那么就可以运用该资产在未来各种状态下的未来各种状态下的现金流和市场无风险现金流和市场无风险利率水平利率水平，对该资产进行定价对该资产进行定价，这就是，这就是状态价格定价技术。状态价格定价技术。 状态价格定价法与无套利定价原理、状态价格定价法与无套利定价原理、风险中性定价原理也存在内在一致性。风险中性定价原理也存在内在一致性。三种方法所得结果有一致性。三种方法所得结果有一致性。50三、状态定价技术三、状态定价技术 （一）先构造两个基本证券（一）先构造两个基本证券基本证券基本证券1：当前价格是：当前价格是 ，经过时间，经过时间t

40、后价后价格仅有两种状态，在证券市场上升时价格为格仅有两种状态，在证券市场上升时价格为1，在证券市场下跌时价格为在证券市场下跌时价格为0。基本证券基本证券2：当前价格是：当前价格是 ，经过时间，经过时间t后后价格仅有两种状态，在证券市场上升时价格价格仅有两种状态，在证券市场上升时价格为为0，在证券市场下跌时价格为，在证券市场下跌时价格为1。 1 0 0 151udud （二）对任何风险证券（二）对任何风险证券a，都可以由这两，都可以由这两个基本证券复制个基本证券复制 设风险证券设风险证券a的当前价格是的当前价格是pa，经过，经过t时时间后只有两种可能，一是上升到间后只有两种可能，一是上升到upa

41、，二是下，二是下降到降到dpa。 下面要在将来现金流下面要在将来现金流upa和和dpa都已知下，都已知下，求出求出pa。 a可由两个基本证券复制而得，通过复制可由两个基本证券复制而得，通过复制技术求技术求pa。 复制的组合如下：复制的组合如下：52组合组合：购买：购买upa份证券份证券1+购买购买dpa份证券份证券2。组合在时间组合在时间t时的价格时的价格：在证券市场上升时组：在证券市场上升时组合价格为合价格为upa，在证券市场下跌时组合价格为，在证券市场下跌时组合价格为dpa。所以组合正好复制了证券。所以组合正好复制了证券a。组合现在（时间组合现在（时间t）的价格）的价格： uupa+ddp

42、a。而而a在现在的价格为在现在的价格为pa。两者现价要相等两者现价要相等：根据无套利原理，现在组：根据无套利原理，现在组合的价格等于现在合的价格等于现在a的价格，即的价格，即 pa= upa+ dpa （1.1) 只要求出只要求出 和和 就得到就得到 pa。由。由(1.1)得得 1= u+ d (1.2)53ududud（三）为了求出基础证券的状态价格，研究三）为了求出基础证券的状态价格，研究单位组合：单位组合： 1份证券份证券1+1份证券份证券2 单位组合在时刻单位组合在时刻t的价值：在证券市场上的价值：在证券市场上升时组合价值为升时组合价值为1，在证券市场下跌时组合价，在证券市场下跌时组合价值为