热工检测仪表2测量误差分析与处理

1、第二章 测量误差分析与处理本章主要内容：本章主要内容：1.随机误差的分析随机误差的分析2.直接测量误差分析与处理直接测量误差分析与处理3.间接测量误差分析与处理间接测量误差分析与处理4.剔除可疑数据的统计学方法剔除可疑数据的统计学方法5.系统误差分析系统误差分析6.等精度测量结果的数据处理等精度测量结果的数据处理7.组合测量误差分析与处理组合测量误差分析与处理本章重点：本章重点：1.掌握标准偏差、标准误差、贝塞掌握标准偏差、标准误差、贝塞尔公式等概念和计算公式尔公式等概念和计算公式2.掌握随机误差、系统误差的基本掌握随机误差、系统误差的基本概念、分析及处理方法。概念、分析及处理方法。3.掌握等

2、精度测量结果的数据处理掌握等精度测量结果的数据处理方法方法4.最小二乘法及应用最小二乘法及应用本章难点：本章难点：等精度测量结果的数据处理方法及等精度测量结果的数据处理方法及应用。应用。2.1随机误差的分析随机误差是由于仪器不完善、热骚动、空气扰动、大地震动、测量者感官的无规变化等对测量值影响较小、又互不相关的多种因素综合引起的。就一次测量而言，随机误差不可避免、不可控制、不可预见、没有规律性，也不能用实验的方法加以消除。再规定的条件下对某一物理量重复测量时，所得结果互不相同，其总体服从统计规律，多数情况下服从正态分布，具有随机变量的一切特征，则称这类误差为随机误差。2.1.12.1.1随机误

3、差的正态分布随机误差的正态分布连续型正态分布随机变量X的概率密度函数的数学表达式为：222)()(21xxeP（2-1） 式中均值或数学期望值； 均方根差或标准偏差； 2方差 随机变量可能取值的范围和取这些值的相应概率,称为随机变量的概率分布.方差的定义是当n时，测定值xi与真值之差的平方的统计值，表示为：2n1iin12)(x2-2则：n1i2)i(xn1limn2-3值恒为正值。如果令测定值x对真值的偏差为真误差，据定义，有 =x-， 2-4则2-1式可以改写成作用于该组测定值的随机误差的分布密度函数形式：22221)p(e2-5 函数p(x)或p()的图解曲线成为正态分布曲线，呈钟型，如

4、图2.1所示。P（x）xP()OP( )：随机误差的概率密度 （概率） ； ：随机误差。 可见随机误差的分布与由该随机误差作用的恒定量重复测量数据分布具有同一形式：标准偏差相同，分布形状相同，只是横坐标相差一个真值。图2-1 正态分布（a）x的正态分布曲线（b）随机误差的正态分布曲线2.1.2正态分布密度函数与概率积分 将密度函数积分，就获得正态分布函数F（x），亦称概率积分或简称为概率：dxe21F(x)222)(xx2-6 由概率积分求随机误差出现在某一区间的概率为：de212a)ap(202222-7 在统计学上,随机变量 (误差)取值的范围定义为置信区间,用符号a表示，而随机变量（误差

5、）在置信区间取值的概率为置信概率。而且，p(|)68.27%， p(|2)95.45%， p(|3)99.73%。以上关系示于图2-2。图2-2 置信概率与置信区间 -3 -2 - 0 2 3 68.27%95.45%99.73%P()2.1.3 随机误差的特点1 对称性绝对值相等的正误差和负误差，其出现的概率相等； 2 单峰性绝对值小的误差在测量中出现的概率要大于绝对值大的误差； 3 有界性绝对值很大的随机误差出现的概率接近于零。即在一定测量条件下的有限测量值中，测量误差的绝对值不会超过一定的界限；4 抵偿性相同条件下（等精度测量）对同一量进行测量，测量误差的代数和随测量次数的无限增加而趋进

6、于零。2.1.4标准偏差图2-3表示了对应不同标准偏差的正态分布曲线。-6 -4 -2 0 2 4 6 P()图2-3 标准偏差不同的正态分布曲线 可见， 大小不同，各测量值的弥散程度不同，或称符合度不同。愈小，p(x)减小的速度快，分布曲线愈尖锐。这意味着小误差出现的概率大，而大误差出现的概率小。因而，可以用标准偏差来表示测量的精密度。从几何角度看，恰好是p()曲线拐点的横坐标。由拐点性质0d)p(d22，根据式2-5，令01)(2ed)p(d22322222=0.4=1.0=2.5则0122故2.2 直接测量误差分析与处理2.2.1算术平均值与标准误差 所有测量，无论采用什么方法，其目的都

7、是为了求得被测物理量的真值，但是，由于多种原因，绝大多数被测物理量的真值是无法得到的，只能通过多次反复的测量，并对测量数据进行处理，求取真值的估计值（最可信赖或最佳值）的大小。 在数理统计中，所研究的随机变量x取值的全体或集合，称为总体；随机变量的真值称为总体均值；称为总体的标准偏差；从总体中随机选取n个数据x1 ,x2 ,xn ,称为子样，或样本值。样点总数n称为样本容量。具有代表性和独立性的子样能够反映总体的特性，因而可以根据子样来认识总体。 一列n次等精度测量所得到的n个测定值xi为随机变量，其算术平均值为样本平均值的代数和除以样本容量，即：,xn1)xxx(xn1xn1iini212-

8、8 当测量次数n时，x的极限值称为该测量值的数学期望，其关系式为).1(lim1niinxxnM2-9可以证明n1in1iinn1iinxn1xlimn1)xn1(limM即 Mx = 2-10上式说明x的数学期望（统计平均值）等于真值。也就是说，算数平均值x是真值的无偏估计。证明如下： 设测量序列为x1 , x2 , , xn , 则随机误差为： i= xi - i=1 , 2 , , n 2-11将上式两边求和得：nxnnxn1iin1iin1iin1ii或 由随机误差正态分布的特性（抵偿性），有：nx0nn1iin1ii当n当n 2-12故对于有限测量列，把其算术平均值x做为该测量值的最

9、佳值，这就是算术平均值原理。 一般地说，x ，x本身也是一个随机量。每作一组n次等精度测量，所得的算术平均值都略有不同。若对某一量重复测量n次，得 由于x 或是正态的，而正态分布的随机变量之和的分布仍是正态的，故x也属于正态分布。因而，也可以用x的标准偏差x来表征和评定算术平均值x的精密度。 设各测量列的均方根误差都相同，均为，即 ：一测量数据列，可求出一个算术平均值1x，重复上述过程m次，则可求出m个算术平均值，分别是。x,x,xm21nn1i2kikK=1,2,m 2-13x :kk并令则算术平均值的均方根误差可表示为：mm1k2kx2-15 2n1i2ki22n1in1iki22n1ik

10、i2k2kn1)(xn1)x(n1)nx()x(而将上式代入2-15，则有：nnm2m1k2x故nx2-17 2-142-16一般称 x为被测量的标准误差，式2-17说明n次测量平均值的方差是原始测量值（即总体）方差的n1。显然，n增大，x下降算术平均值的精密度增高，亦即x作为的估计值的精密度增高。 式2-17图解表示如图2-4。 0 5 10 15 20 251.21.00.80.60.40.2nx图2-4 比值x与n的关系曲线 无限增多测量次数并不持续有效，x的下降速度比n 的增长慢得多；而且实际测量中，n增大会使工作量大为增加，并因而破坏等精度测量条件，故取测量次数很少超过50100，常

11、有n20.2.2.2 标准偏差的估计值贝塞尔公式 由标准偏差的定义式2-3可见，它是以真误差x-及测量次数n的情况下定义的。实际测量时，样点数有限，且真值不可测知，只能求得各剩余误差（残差），即随机变量的某一次测定值xi与全部测量结果算术平均值之差：Vi = xi -x2-18由2-4和2-14式知：n1ii2n1i2in1i2in1i2iv 2nv)(vv)x()x(x-xiiii故0 xn-xnx-xvn1in1iin1ii而且由式2-16：22n12n1i2i2vn即：1n)x(x1nvn1i2in1i2i最后得：2-19式2-19即为著名的贝塞尔公式。当n时，x，(n-1)n，可见贝塞

12、尔公式与原始定义式2-3完全一致。上述推导引用了n的条件。原则上当n足够大时，式2-19才是正确的，当n为有限时，用贝塞尔公式计算所得的结果，为理论值的估计值。为示区别，用加上标“”来表示估计值，写作。总有。当测量次数n为有限时，显然用贝塞尔公式求得的本身也是个随机量。因此也同样存在一个对估值离散程度的估价问题。可以用的标准偏差来表征的精密度。此时称为标准偏差的标准偏差，其值为：2n 由此可见，应用贝塞尔公式估计出来的偏差，其精度是不高 的，实际测量中，当n50时，=0.1；当n=10时，=0.22因此，对的计算结果，通常取一位有效数字，或最多不超过二位有效数字，其计算精度约在10%。2.2.

13、3 小子样误差分析、t分布及其应用 只有当子样容量n趋近于无穷时，x 才准确地等于x ，当n为有限时，x 是一随机变量，其值在x 周围摆动，平均值的标准误差很不准确，子样容量愈小，这种情况就愈严重。 为了在母体参数未知的情况下，根据子样平均值估计被测量真值,必须考虑一个统计量，它的分布只取决于子样容量n，而与母体均方根误差无关，现在，引入统计量t，定义：nx-xtx4-1 统计量t不服从正态分布，而是服从所谓t分布（又称学生氏分布）。t分布的概率密度函数是：212)t)(12()21()f(t;4-2 式中是特殊函数，是正整数，称为t分布的自由度。当进行n次独立测量时，统计量t由于受平均值的约

14、束，服从自由度为n-1的t分布，所以=n-1。正态分布（n=)t分布（n=2)tF(t;)0图4-1 t分布曲线 假设一列等精度独立测量值x1 ，x2 ，xn 服从正态分布，真值和均未知，根据这一列测定值可求得子样平均值及均方根误差的估计值：1)n(n)x(xxn1xn1i2ixn1ii 利用4-2作如下的概率描述：p)txtp()ttp(pxpp4-3或写成：p)txtxp(xpxp4-4测量结果可表示成：xptx测量结果(P=?) P v123456789100.9973235.8019.219.216.625.514.904.534.284.093.360.9963.669.925.84

15、4.604.033.713.503.363.253.17表4-1 t分布的分位数（tp）表 显然，tp 1,xxpt对于小子样，若用x来计算误差限，往 往得到太好的结果。 例：用光学高温计测量某金属铸液的温度，得如下5个测量数据（):975,1005,988,993,987。设金属铸液温度稳定，测温随机误差属于正态分布。求铸液的实际温度（置信概率取99%）。 解：（1）4.7989.8)(x1)5(51989.8x51x51i2ix51ii（2） p=99.73% ，置信系数k=3， 测量结果为：=989.83*4.7=989.8 14.1（3）因测量次数较少，采用t分布推断给定置信概率下的误

16、差限：由p=99.73%，=5-1=4,查表4-1得tp=5.51,测量结果为： =989.8 5.51 *4.7=989.8 25.9 (p=99.73%)2.3 间接测量的误差分析与处理间接测量的误差分析与处理 通过已经得到的有关直接测量量的平均值（也可是单次测定值）及其误差，估计间接测量量的真值及其误差。2.3.1 误差传递原理： 设间接测量量y是可以直接测量量x1 , x2 ,xm 的函数，其函数关系式为： y=F(x1 ,x2 ,xm) 5-1 假定对x1 , x2 , , xm都进行了n次测量，那么每个xi (i=1,2，m)都有自己的一列测定值xi1 , xi2 ,xim , 则

17、： （1）间接测量量的最佳估计值y可以由与其有关的各直接测量量的算术平均值ix（I=1 , 2 , ,m )，代入代数关系式5-1求得：)x,.,x,xF(ym215-2 （2）间接测量量的标准误差是各独立直接测量量的标准误差和函数对该直接测量量偏导数乘积的平方和的根：2x2m2x222x21ym21)xF()xF()xF(5-3 （3）局部误差的取舍原则：若某个局部误差小于间接测量量标准误差的1/3，则该局部误差是微小误差，可以舍去。2.3.2 间接测量误差分析在测量系统设计中的应用间接测量误差分析在测量系统设计中的应用 误差传布原理不仅可以解决如何根据各独立的直接测量量误差传布原理不仅可以

18、解决如何根据各独立的直接测量量及其误差估计间接测量量的真值及其误差的问题，而且对测量及其误差估计间接测量量的真值及其误差的问题，而且对测量系统的设计有重要意义。如果规定了间接测量结果的误差不能系统的设计有重要意义。如果规定了间接测量结果的误差不能超过某一值，那么可以利用误差传布规律求出各间接测量量的超过某一值，那么可以利用误差传布规律求出各间接测量量的误差允许值，以便满足间接测量量允许误差的要求。同时，可误差允许值，以便满足间接测量量允许误差的要求。同时，可以根据各间接测量量允许误差的大小选择适当的仪表。以根据各间接测量量允许误差的大小选择适当的仪表。 一般采用等影响原则即：一般采用等影响原则

19、即：mm2211xFxFxFiiy )xF(m从而从而 进而考虑技术上实现的可能性及各测量量在函数关系中进而考虑技术上实现的可能性及各测量量在函数关系中的地位，对误差分配进一步调整。（高次幂出现的应提高精的地位，对误差分配进一步调整。（高次幂出现的应提高精度要求，对方根形式出现的可放松要求等。）度要求，对方根形式出现的可放松要求等。） 2.3 剔除可疑数据的统计学方法剔除可疑数据的统计学方法 凡是用测量的客观条件不能解释为合理的明凡是用测量的客观条件不能解释为合理的明显偏离测量总体的个别测值，称为异常值（坏显偏离测量总体的个别测值，称为异常值（坏值）。值）。异常值是虚假的，并会直接形象数据总体

20、异常值是虚假的，并会直接形象数据总体的正确性。测量中的粗大误差导致出现异常值。的正确性。测量中的粗大误差导致出现异常值。粗大误差又称疏失误差、粗差、差错。意指明显粗大误差又称疏失误差、粗差、差错。意指明显歪曲测量结果的误差。在测量过程中，粗大误差歪曲测量结果的误差。在测量过程中，粗大误差是偶然出现的，带有随机性。产生粗大误差的原是偶然出现的，带有随机性。产生粗大误差的原因主要是测量方法不当，测试者的粗心大意，以因主要是测量方法不当，测试者的粗心大意，以及出现概率极小但作用较强的偶发性干扰等。粗及出现概率极小但作用较强的偶发性干扰等。粗大误差在数值上远大于随机误差或系统误差。严大误差在数值上远大

21、于随机误差或系统误差。严格地说，它已不属于误差的范畴，而是不应该发格地说，它已不属于误差的范畴，而是不应该发生但大多由于粗心大意而导致的一种错误。生但大多由于粗心大意而导致的一种错误。 根据随机误差的单峰性和有界性，绝对值很大根据随机误差的单峰性和有界性，绝对值很大的误差出现的概率很小。因此，总可以确定一的误差出现的概率很小。因此，总可以确定一些原则来判断某些可疑数据是否在正常的离散些原则来判断某些可疑数据是否在正常的离散分布范围之内。分布范围之内。 用统计学方法处理可疑数据的实质，就是给定用统计学方法处理可疑数据的实质，就是给定一个置信系数或置信概率，再根据一个置信系数或置信概率，再根据a=

22、k ,找出找出相应的置信区间。凡在此区间以外的数据，就相应的置信区间。凡在此区间以外的数据，就定为异常数据并从测定值数列中剔除。定为异常数据并从测定值数列中剔除。在实际在实际测定值处理中，常用算术平均值代替真值，用测定值处理中，常用算术平均值代替真值，用标准偏差估计值代替标准偏标准偏差估计值代替标准偏差差，凡测量值在区，凡测量值在区间间 以外，即以外，即kxkx kxxk6-1这时，就将该数据这时，就将该数据xk定为坏值，弃而不用。公式定为坏值，弃而不用。公式6-1中，置信中，置信系数系数k选定过小，有可能把正常的测定值当成异常值剔除；置选定过小，有可能把正常的测定值当成异常值剔除；置信系数给

23、得过大，异常值又有可能未被鉴别出来，从而影响测信系数给得过大，异常值又有可能未被鉴别出来，从而影响测值处理的精确度。下面介绍几种常用的判别方法。值处理的精确度。下面介绍几种常用的判别方法。（1）莱特准则）莱特准则(3 准则）准则）3xxi6-2该准则是以该准则是以n为前提的。当测量次数较少时，这个判据并不可靠。为前提的。当测量次数较少时，这个判据并不可靠。31n当当n=10,若坏值若坏值xk包含在一列等精度测量值包含在一列等精度测量值xi中，则：中，则：3)x(x101i2i3xxk即式子即式子恒成立，此时已无法依据莱特准则剔除坏值恒成立，此时已无法依据莱特准则剔除坏值Xk 。当然以上推算理论

24、上也是不严格的，因为贝塞尔公式的引用有。当然以上推算理论上也是不严格的，因为贝塞尔公式的引用有n的前提。的前提。 莱特准则的运用条件一般要求莱特准则的运用条件一般要求n 20 。（2） 肖维勒准则肖维勒准则 同上，根据式同上，根据式6-1，当某剩余误差满足：，当某剩余误差满足： 剔除该坏值剔除该坏值xk，式中，式中 n3，故肖维勒准则比莱特准则，故肖维勒准则比莱特准则严格一些，更易于发现坏值。但在严格一些，更易于发现坏值。但在n185时，时，肖维勒准则是对莱特准则的一种变革，但它没有固定肖维勒准则是对莱特准则的一种变革，但它没有固定的概率意义，特别是理论上当的概率意义，特别是理论上当 n时，时

25、， n ，此时，此时所有异常值都不能被剔除。所有异常值都不能被剔除。vnknnnnnn34567891011121. 381. 531. 651. 731. 791. 861. 921. 962. 002. 04131415161718192021222.072.102.132.162.182.202.222.242.262.28232425262728293031322.302.322.332.392.502.582.712.813.023.29表表6.2 肖维勒系数肖维勒系数 n数值表数值表（3）格拉布斯准则）格拉布斯准则当当vn),(k6-4则认为则认为xk为坏值。式中，为坏值。式中，

26、=1-p为危险率；为危险率； ( ,n)值列于表值列于表6.3。 格拉布斯准则是建立在统计理论基础上的较为合理的判断方法。格拉布斯准则是建立在统计理论基础上的较为合理的判断方法。在作以上统计学处理时，在作以上统计学处理时， 值不宜选得过小，否则正常值被误判的值不宜选得过小，否则正常值被误判的概率固然减小了，但把异常值判为正常值的另一种误判的可能性却概率固然减小了，但把异常值判为正常值的另一种误判的可能性却增大了。工程计算时，通常取增大了。工程计算时，通常取 =0.05或或0.01。 n0.010.05 n0.010.05 n0.010.05345678910111. 161. 491. 751

27、. 942. 102.222.322,412.481. 151. 461. 671. 821. 942. 032.112.182.231213141516171819202.552.612.662.702.752.782.822.852.882.282.332.372.412.442.482.502.532.562122232425303540502.912.942.962.993.013. 103.183.243.342.582. 602.622.642.662.742.812.872.96表表6.3 格拉布斯系数格拉布斯系数 ( ,n)数值表数值表例例2：重复测量某电压：重复测量某电压24

28、次，测定结果如表次，测定结果如表6.4:序号 测 定 值序号 测 定 值序号 测 定 值1234567825.30725.32425.30025.29525.29325.29425.31425.34191011121314151625.31525.31425.29925.30325.31325.29825.31125.309171819202122232425.31625.31025.31725.30625.29125.32525.31525.308求估计值及标准误差。求估计值及标准误差。解：（解：（1）根据测量数据可以求出：）根据测量数据可以求出：0.011625.3091x根据莱特准则，全

29、体数据可用。根据莱特准则，全体数据可用。（2）根据肖维勒准则，）根据肖维勒准则，n=24时，时， 24=2.32。其中。其中0.01162.32v8，故，故x8此时被判为坏值。剔除后重新计算：此时被判为坏值。剔除后重新计算：0.009725.3077x标准偏差已明显下降，而标准偏差已明显下降，而 23=2.30，各剩余误差均能满足，各剩余误差均能满足0.00972.30vi无新的坏值出现，各测定值可用。无新的坏值出现，各测定值可用。（3）根据格拉布斯准则，系数）根据格拉布斯准则，系数 (0.01,24)=2.99， (0.05,24)=2.64。如果。如果取取 =0.01，将判定，将判定x8为

30、正常数据；若取为正常数据；若取 =0.05，则，则x8被判为坏值。被判为坏值。 从例从例6.2可以看出，对于同一测定值数列，三种判据的结论互有可以看出，对于同一测定值数列，三种判据的结论互有差异。差异。2.4 系统误差系统误差 2.4.1 系统误差的性质及分类系统误差的性质及分类 系统误差是指在规定的测量条件下多次测量同一量系统误差是指在规定的测量条件下多次测量同一量值时，误差的数值保持恒定，或按某种确定的规律变值时，误差的数值保持恒定，或按某种确定的规律变化的误差。化的误差。系统误差具有下面特点：系统误差具有下面特点：（1） 确定性确定性系统误差是固定不变的，或是一个确定性的（非系统误差是固

31、定不变的，或是一个确定性的（非随机性质）时间函数，它的出现服从确定的函数规律。随机性质）时间函数，它的出现服从确定的函数规律。（2） 重现性重现性在测量条件完全相同时，重复测量时系统误差在测量条件完全相同时，重复测量时系统误差可以重复出现。可以重复出现。（3） 可修正性可修正性由于系统误差的重现性，就决定了它的可修由于系统误差的重现性，就决定了它的可修正性。正性。 系统误差的分类：系统误差的分类：（1） 固定不变的系统误差。固定不变的系统误差。（2） 线性变化的系统误差。线性变化的系统误差。（3） 周期性变化的系统误差。周期性变化的系统误差。（4） 变化规律复杂的系统误差。变化规律复杂的系统误

32、差。变值系差变值系差恒值系差恒值系差研究系统误差的意义在于：研究系统误差的意义在于：（1） 对随机误差所进行的数学分析和处理，是以测量数对随机误差所进行的数学分析和处理，是以测量数据中不含系统误差为前提的。研究系统误差产生的原因据中不含系统误差为前提的。研究系统误差产生的原因极其规律，并消除或减弱其在误差总体中的影响，对以极其规律，并消除或减弱其在误差总体中的影响，对以数理统计方法提高随即误差的分析至关重要。数理统计方法提高随即误差的分析至关重要。（2） 系统误差在数值上常比随即误差大得多，但其出现系统误差在数值上常比随即误差大得多，但其出现的规律性又常隐含在测量数据中不易被发现，更由于多次的

33、规律性又常隐含在测量数据中不易被发现，更由于多次重复测量不能降低它对测量结果准确度的影响，故比随即重复测量不能降低它对测量结果准确度的影响，故比随即误差更具危险性。误差更具危险性。（3） 对系统误差的性质及其本质的研究，有助于发现新对系统误差的性质及其本质的研究，有助于发现新的规律或事物。的规律或事物。 恒定系差可以修正，而变值系差无法修正。二者都恒定系差可以修正，而变值系差无法修正。二者都可以通过实验分析或计算予以抵消或削弱。可以通过实验分析或计算予以抵消或削弱。2.4.2 系统误差的判别系统误差的判别（1）实验对比法）实验对比法通过改变产生系统误差的条件进行通过改变产生系统误差的条件进行同

34、条件的测量，以便发现误差，它用于发现固定不变的同条件的测量，以便发现误差，它用于发现固定不变的系统误差。系统误差。（2） 残余误差观察法残余误差观察法 对被测量进行多次测量后得对被测量进行多次测量后得到测量列到测量列x1 ,x2 ,xn ,便可算出相应便可算出相应 的残余误差列，通过的残余误差列，通过对残余误差列大小符号的变化分析，可以判断该测量列对残余误差列大小符号的变化分析，可以判断该测量列有无系统误差，这种方法主要用于发现有规律变化的系有无系统误差，这种方法主要用于发现有规律变化的系统误差。统误差。（3）残余误差之和相减法）残余误差之和相减法当测量次数较多时，将测当测量次数较多时，将测量

35、列前一半的残余误差之和，减去测量列后一半的残余量列前一半的残余误差之和，减去测量列后一半的残余误差之和，若其差值接近于零，说明不存在变化的系统误差之和，若其差值接近于零，说明不存在变化的系统误差。若其差值明显不为零，则认为测量列存在着变化误差。若其差值明显不为零，则认为测量列存在着变化的系统误差。的系统误差。2.4.3 减少系统误差的方法减少系统误差的方法 从现实的角度看从现实的角度看,没有一种通用的处理模式来降低系统误没有一种通用的处理模式来降低系统误差的影响差的影响,检验及鉴别实验中是否存在系统误差检验及鉴别实验中是否存在系统误差,分析产生系统分析产生系统误差的原因误差的原因,估计系统误差

36、的数值估计系统误差的数值,以及尽可能消除产生系统误以及尽可能消除产生系统误差的根源差的根源,或设法防止受到这些误差源的影响或设法防止受到这些误差源的影响,例如提高操作人例如提高操作人员的水平员的水平;改善测量工作环境改善测量工作环境,采用稳压、散热、恒温、屏蔽采用稳压、散热、恒温、屏蔽措施措施;定期校准仪表定期校准仪表,正确调节零点正确调节零点;在读测数据时引入仪表的在读测数据时引入仪表的修正值等修正值等,这些都是减小系统误差较为有效的方法这些都是减小系统误差较为有效的方法. 采用某些特定的测量技术采用某些特定的测量技术,可以在相当程度上减小以致可以在相当程度上减小以致消除系统误差的影响消除系

37、统误差的影响,例如例如:(1) 零示法零示法_零示法属于比较测量法零示法属于比较测量法.它是把被测量与作为计量它是把被测量与作为计量单位的标准的已知量进行比较单位的标准的已知量进行比较,使二者的效应相互抵消使二者的效应相互抵消.当总当总的效应为零时的效应为零时,指示读数为零或最小指示读数为零或最小.零示法测量的准确度主零示法测量的准确度主要决定于标准已知量的准确性要决定于标准已知量的准确性,而对平衡状态的判断是否准确而对平衡状态的判断是否准确,主要取决于指示器的灵敏度主要取决于指示器的灵敏度.零示法可以较好地消除系统误差零示法可以较好地消除系统误差.（3）交换法）交换法交换法又称为对照法。交换

38、法原理是交换法又称为对照法。交换法原理是交换改变测量条件，使产生系统误差的原因对测量结果交换改变测量条件，使产生系统误差的原因对测量结果起相反的作用，从而抵消了恒定系差。起相反的作用，从而抵消了恒定系差。 系统误差的出现一般是有规律的，其产生的原因是系统误差的出现一般是有规律的，其产生的原因是可知或可以掌握的。工程测量中估计误差时，应该重点可知或可以掌握的。工程测量中估计误差时，应该重点研究系统误差。在一个测量当中，如果系统误差很小，研究系统误差。在一个测量当中，如果系统误差很小，则测量结果的准确度就高。可以说，测量的准确度由系则测量结果的准确度就高。可以说，测量的准确度由系统误差来表征。如果

39、存在某项系统误差，而我们却毫无统误差来表征。如果存在某项系统误差，而我们却毫无察觉，那是很危险的。察觉，那是很危险的。（2） 替代法替代法替代法是在测量条件不变的情况下，替代法是在测量条件不变的情况下，用已知量替代测量电路中的待测量，并使仪器的示值用已知量替代测量电路中的待测量，并使仪器的示值不变，以达到消除恒定系差的目的。此时，被测量就不变，以达到消除恒定系差的目的。此时，被测量就等于标准已知量。等于标准已知量。2.5 等精度测量结果的数据处理等精度测量结果的数据处理 恒定量数据处理的目的，就是从测量所得的一组等精度原恒定量数据处理的目的，就是从测量所得的一组等精度原始数据中，通过误差分析和

40、加工整理，求出被测量值的最佳始数据中，通过误差分析和加工整理，求出被测量值的最佳估计值，并计算其精度。估计值，并计算其精度。 在一组等精度测量的数据中，常含有系统误差、随机误在一组等精度测量的数据中，常含有系统误差、随机误差和粗大误差。误差的性质不同，对误差的处理方法也不同。差和粗大误差。误差的性质不同，对误差的处理方法也不同。对于系统误差，可以采取消除误差源或减弱误差源的影响、对于系统误差，可以采取消除误差源或减弱误差源的影响、以及对测定值进行修正等技术措施来处理；对于随机误差的以及对测定值进行修正等技术措施来处理；对于随机误差的影响，应该用统计平均的方法消除或削弱；而对含有粗大误影响，应该

41、用统计平均的方法消除或削弱；而对含有粗大误差的坏值，则应予以剔除。当然，在实际测量中，随机误差、差的坏值，则应予以剔除。当然，在实际测量中，随机误差、系统误差和粗大误差并不是一成不变的，它们在一定的条件系统误差和粗大误差并不是一成不变的，它们在一定的条件下可以相互转化。下可以相互转化。 数据处理的步骤如下：数据处理的步骤如下：（1）判明是否含有系统误差，（方法如）判明是否含有系统误差，（方法如3.2），然后，），然后，采取各种措施消除误差源或减小误差源的影响，用修采取各种措施消除误差源或减小误差源的影响，用修正值等方法，减小恒定系差的影响。判明含有系统误正值等方法，减小恒定系差的影响。判明含有

42、系统误差的测量数据，原则上应舍弃不用。差的测量数据，原则上应舍弃不用。（2）求算术平均值）求算术平均值（3）求各测定值相应的剩余误差）求各测定值相应的剩余误差n1iixn1xxxvii理论上讲，剩余误差之和为零。应予校准：理论上讲，剩余误差之和为零。应予校准：0vn1ii（4）按贝塞尔公式计算数列标准偏差的估计值）按贝塞尔公式计算数列标准偏差的估计值1nv)x(x1n1n1i2in1i2i（5）判断测定值中是否含有坏值，并剔除之。当测量次数足）判断测定值中是否含有坏值，并剔除之。当测量次数足够多时，可以用方法较为简单的莱特准则；如果够多时，可以用方法较为简单的莱特准则；如果n较少，应当较少，应

43、当用格拉布斯或肖维勒准则。用格拉布斯或肖维勒准则。（6）剔除坏值后，数据总数相应减少。应重新计算）剔除坏值后，数据总数相应减少。应重新计算x，vi和再判断和剔除可能出现的坏值。再判断和剔除可能出现的坏值。 在一组测量数据中，由于粗大误差引起的坏值应当是在一组测量数据中，由于粗大误差引起的坏值应当是很少的几个。如果剔除的坏值数目较多，则说明测量很少的几个。如果剔除的坏值数目较多，则说明测量系统工作不正常，不具备精密测量条件，测量数据不系统工作不正常，不具备精密测量条件，测量数据不可信。应重新安排测量工作，改善测量条件，获取新可信。应重新安排测量工作，改善测量条件，获取新的测量数据。的测量数据。（

44、7）计算算术平均值的标准误差估计值）计算算术平均值的标准误差估计值（8）按设定的数据量和置信概率，可以写出测量结果处）按设定的数据量和置信概率，可以写出测量结果处理值及其可信范围的表示式。理值及其可信范围的表示式。 (P=?)nxxkx测量结果（9）测量结果的误差评价）测量结果的误差评价 测量误差即一定概率下真误差可能出现的范围的界限测量误差即一定概率下真误差可能出现的范围的界限值也就是置信区间半长。实际测量中常用以下几种表示值也就是置信区间半长。实际测量中常用以下几种表示方法：方法：1.标准误差标准误差xx测量结果(P=68.3%)2. 平均误差平均误差x2x测量结果（p=57.5%）xn1

45、ii2nxx测量误差这时这时实质是残差的平均值。实质是残差的平均值。3. 或然误差或然误差x0.6745x测量结果（p=50%）4. 极限误差极限误差x3x测量结果（p=99.73%） 以上的表示方法的置信概率含义并不明确，因为即使以上的表示方法的置信概率含义并不明确，因为即使测定值服从正态分布，其置信概率并不恒定，而是随测定值服从正态分布，其置信概率并不恒定，而是随n而而异，因此，常用异，因此，常用t分布估计测量误差。分布估计测量误差。5. t分布误差估计分布误差估计xptx测量结果（p=99%或或p=95%） t根据设定的置信概率根据设定的置信概率p和样本容量和样本容量n，由，由t分布表分

46、布表4-1查得。查得。2.6 误差的综合误差的综合（1） 随机误差的综合随机误差的综合 若测量结果中含有若测量结果中含有k项彼此独立的随机误差，各单项测量的标项彼此独立的随机误差，各单项测量的标准误差分别为准误差分别为 1 , 2 , k ，则，则k项独立随机误差的综合效应是它们项独立随机误差的综合效应是它们的平方和之均方根。的平方和之均方根。k1i2i（2）系统误差的综合）系统误差的综合 若测量结果中含有若测量结果中含有l项已定系统误差分别为项已定系统误差分别为E1 ，E2 ，El ,则已则已定系统误差的综合效应为：定系统误差的综合效应为：l1iiEE（3）未定系统误差的综合）未定系统误差的

47、综合 估计出未定系统误差极限范围估计出未定系统误差极限范围e，并设测量结果中含有，并设测量结果中含有m项未定系项未定系统误差为统误差为e1 ,e2 ,em ,则：则：m1iiee（4）误差合成规律）误差合成规律k1ppm1jjl1iieE测量系统的综合误差为测量系统的综合误差为：2.7 组合测量的误差分析与处理组合测量的误差分析与处理2.7.1概述概述 从一组离散的测量数据中，运用有关误差理论知识，从一组离散的测量数据中，运用有关误差理论知识，用数学方法减小随机因数引起测定值对原函数的偶然偏用数学方法减小随机因数引起测定值对原函数的偶然偏差，求差，求 得一条能最佳地描述该原函数的曲线的过程，称

48、得一条能最佳地描述该原函数的曲线的过程，称为拟合。为拟合。而以比较符合事物内在规律性的数学表达式来而以比较符合事物内在规律性的数学表达式来代表这一函数关系或拟合曲线的方法，称为回归分析。代表这一函数关系或拟合曲线的方法，称为回归分析。 采用回归分析，能够把测量数据的内在规律性用最佳采用回归分析，能够把测量数据的内在规律性用最佳的经验公式表示出来，关系简明紧凑，易于判断各因数的经验公式表示出来，关系简明紧凑，易于判断各因数的影响，从而能最的影响，从而能最 优化的分析测试条件。回归分析后，优化的分析测试条件。回归分析后，还可进行微积分和插值处理，以及对变化趋势作某种预还可进行微积分和插值处理，以及

49、对变化趋势作某种预测和估计预测的精度等。测和估计预测的精度等。 回归分析的主要内容有：回归分析的主要内容有：（1）根据实验测量数据，确定变量之间是否存在相关）根据实验测量数据，确定变量之间是否存在相关关系，如果存在相关关系，则找出变量间关系的合适关系，如果存在相关关系，则找出变量间关系的合适的数学表达式，对变量间的关系给以近似描述，从而的数学表达式，对变量间的关系给以近似描述，从而建立表征被测系统基本特征的数学模型。建立表征被测系统基本特征的数学模型。（2）对关系式的可信程度进行统计检验，并了解这种）对关系式的可信程度进行统计检验，并了解这种归纳性预测的精度。归纳性预测的精度。2.7.2 最小

50、二乘法原理最小二乘法原理 最小二乘法原理是一个统计学原理，用来解决从一组测最小二乘法原理是一个统计学原理，用来解决从一组测定值中决定最佳值或最可信赖值的问题，它在工程实际中应定值中决定最佳值或最可信赖值的问题，它在工程实际中应用很广泛。最小二乘法作为一种最似然方法，用很广泛。最小二乘法作为一种最似然方法，仅在正态分布仅在正态分布误差的情况下才成立误差的情况下才成立。然而在与正态分布差异不大，以及在。然而在与正态分布差异不大，以及在误差很小的任意分布时，也常用最小二乘法原理来处理数据。误差很小的任意分布时，也常用最小二乘法原理来处理数据。假定某一元独立变量假定某一元独立变量x的函数表示为：的函数

51、表示为：y=f(x;a,b,=f(x;a,b,) )8-1式中，式中，a,b,是常数变量，而且是测量求解值。测量时，是常数变量，而且是测量求解值。测量时，改变改变x数值，相继取数值，相继取x1 , x2 ,xn ,测量出对应值测量出对应值y1 , y2 ,yn ,若测量无误差，则把若测量无误差，则把n个测量结果个测量结果yi及其对应值及其对应值xi代入式代入式8-1中，就可以得到中，就可以得到n个方程，就能得到个方程，就能得到a,b,共共n个参数值。个参数值。 然而然而yi的测量不可避免地含有误差，因而解出的的测量不可避免地含有误差，因而解出的a,b,也必然有误差。为了简化讨论，假定也必然有误

52、差。为了简化讨论，假定xi的取值无误差，的取值无误差，则真误差为：则真误差为： I I=y=yi i - f(x - f(xi i ; a,b,; a,b,) 8-2) 8-2 设在等精度测量中，各测量值的出现是彼此独立的，设在等精度测量中，各测量值的出现是彼此独立的，互不相关，互不相关， I I为正态分布，故所有误差同时出现的概为正态分布，故所有误差同时出现的概率为率为n2nin1i2)(de)21(de21p22i22i8-3 根据正态分布的特性，在一组测量中，测量结果的最根据正态分布的特性，在一组测量中，测量结果的最佳估计值乃是概率佳估计值乃是概率p为最大时所求出的计算值。为使为最大时所

53、求出的计算值。为使p最大，最大，显然应该令显然应该令min)2(max)2(n1i22in1i22i8-4或或实际上，测定值的真值不可知，常用算术平均值代替真值，以剩余误差实际上，测定值的真值不可知，常用算术平均值代替真值，以剩余误差代替真误差，并以标准偏差的估计值代替标准偏差，则上式可以改写为：代替真误差，并以标准偏差的估计值代替标准偏差，则上式可以改写为：n1i22imin)2v(8-5 式式8-5说明，说明，测量结果中最佳估计值出现的条件是剩余误测量结果中最佳估计值出现的条件是剩余误差平方和为最小，这在数学上称为最小二乘法差平方和为最小，这在数学上称为最小二乘法。而而,.)b, a ;f(xyviii8-6 将式将式8-6代入代入8-5，有，有min,.)b, a ;f(xyn1i2ii8-7 要求估计值能满足最小二乘条件要求估计值能满足最小二乘条件8-7，就是要求，就是要求0vb0va 2i2i8-8亦即要求解下列联立方程组：亦即要求解下列联立方程组：0)bf,.)(b,a ;f(xy0)a f,.)(b,a ;f(xyiiiiii8-9式中式中，i)a f(表示函数表示函数f(x;a,b,)对对a的偏导数在的偏导数在