《编制数学开放题开展探究性学习》

1、编制数学开放题开展探究性学习摘要：开展探究性学习需要有合适的载体。实践表明，数学开放题是用丁研究性 学习合适、有效的载体，有利于调动学生学习数学的积极性，有利于学生创造潜 能的发挥。木文重点阐述了如何编制数学开放题，开展探究性学习。关键词：数学开放题 探究性学习随着人类新型知识体系的构建和形成，新的教育理念正在不断更新，以适应 新型知识体系。国家数学课程标准（实验稿）的基本理念屮指岀：“有效的 数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学 生学习数学的重要方式。”探究性学习是素质教育培育创新精神和实践能力的必 由之路。“学生是数学学习的主人，老师是数学学习的组织者、引

2、导者与合作 者。”为此，教师应激发学生的学习积极性，应该让学生在数学学习活动屮改变 学习方式，使学生乐意并将更多的精力投入到现实的探索性的学习活动屮去。数学开放性问题是近年来高考命题的一个新的热点。近年来在全国和各地的 高考试题屮连续出现具有开放性的题忖。其主要形式有:信息迁移题、填空选择 化、条件和结论的探索开放以及解题方法和策略的开放等。通过比较不难发现， 不仅开放的题量有所增加，而且开放的形式也在不断变化。实践表明，数学开放 题是用于探究性学习合适、有效的载体。数学开放题体现了数学研究的思想方法, 解答过程是探究的过程，数学开放题体现数学问题的形成过程，体现解答对象的 实际状态，数学开放

3、题有利于为学生个别探索，便于因材施教，可以用来培养学 生思维的灵活性和发散性，使学生体会学习数学的成功感。开放题的核心是培养 学生的创造意识和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是新的教育理 念的具体体现。编制开放题用于数学教学，这无疑是对教师和学生都提出了更高 的要求，通过师生对实际问题的观察、记录、分析、归纳、探索和交流等，为学 生提供了多渠道获取知识，并将获得的知识综合应用于开放的学习环境，从而可 以培养创新精神和实践能力，提髙进行数学探究学习的本领。如何编制数学开放题是值得研究的课题。数学开放题按命题要素的发散倾向 分为：条件开放型、方法开放型、结论开放型、综合开放型；按信息过程

4、的训练 价值分为信息迁移型、知识巩固型、知识发散型等。开放题的编制不仅是教师的 任务，它的编制本身也可以成为学生探究性学习的一项内容。其本身意义也是一 种教育创新。如何编制数学开放题，本人认为从以下几个方面着手：1、编制数学开放题 激发学生探究兴趣爱因斯坦说过，源于兴趣的动力是无穷的。问题则是激发学生兴趣的心理动 力。思维经常从问题开始，它是激发学生求知欲， 引起学习兴趣的内在动力。问题不管在学习中还是 在生活中，都能引起学生的兴趣。如：在“全等三广角形判定”新课的教学中，我编制了这样的一个开/ /放性问题。/ / 例1、某同学不慎将一块三角形的玻璃打碎成了(如图1所示)，现在要到玻璃丿占去配

5、一块完全一样的玻璃，那么他应带哪几块 去？通过编制开放性数学问题，把问题隐藏在情境z中，从而产生认知冲突，形 成悬念，引发学生迫不及待地探究的兴趣，激发学生探究的欲望，促进学生利用 已有的知识和经验，调动己的思维，促进学生自主探索意识的形成，使学生逐 步树立起学习的主动性、积极性，确立学习是一个快乐的进程。这样学生才会肯 思维，才能敢思维。2、以知识网络的交汇处为切入口编制开放问题以一定的知识结构为依托，从知识网络的交汇处切入编制开放问题，进行 研究性学习。首先，我们以高考题为例，来看看高考命题专家如何编制综合问 题來发挥其考查功能。例2、(2003年高考江苏卷第20题)己知常数a>0,

6、向量2 = (0, a),；二(1,0)。经过原点0以c +入z为方向向量的直线与经过定点a(0, a)以2-2入c为方向向 量的直线相交于点p,其中x gro试问：是否存在两点e、f,使得| pe | + | pf|为定值。若存在，求出e、f的坐标；若不存在，说明理由。本小题主耍考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法、椭圆的方程和性 质，利用方程判断曲线的性质，曲线和方程的关系等解析儿何的基本思想和综 合解题能力。通过该问题的研究、探索和合作交流，可以增强学生的学习体验 和应用数学知识解决实际问题的能力。因而，我们可以依照高考题的编制方法, 在知识网络的交汇处引导学生编制开放题或寻找典型开放

7、问题进行改编，这样 不仅可以提高学生的积极性，而且可以体验知识的形成过程，从而提高探究能 力和研究问题的本领。3、以数学定理、公理为依托编制数学开放题在美国国家科学教育标准屮，探究也指学习过程。它是一种积极的学习过程 “学生去做的事，而不是为他们做好的事”(something that students do, not something that is done to them) 3。换句话说，就是让学生自己思考 怎么做甚至做什么，而不是让学生接受教师思考好的现成的结论。数学中的定理、 公理或公设是数学学习的重要内容，围绕定理、公理或公设我们可以设计适当的 开放的问题情景，让学生进行探究，通

8、过口己的努力去发现一般规律，体验研究 的乐趣。如在平行四边形的判定教学屮。例3、平行四边形abcd具有以下性质：(1) ab/cd (2)bc/ad(3)ab 二 cd(4)bc 二 ad(5)za=zc (6)zb二zi) o若满足上述两个条件，能否保证abci)为平行四边形？我们以平行四边形的判定为依托编制数学开放题，通过上述开放问题的 研究，师生合作交流，共同探究发现了平行四边形的判定定理。从而让学生经历 了数学“再创造”的过程，培养了学生的探究能力。4、以封闭题为原型推广、引申编制数学开放题很多习题多是具有完备的条件和确定的答案，习惯上称z为“封闭题”，在 研究性学习小首先呈现给学生封

9、闭题，解答完z后，进一步引导学生进行探究， 如探究更一般的结论，探究更多的情形，或探究该结论成立的其它条件等等。女 人教版高中数学第一册（上）第92页的一道习题：例4、如图2所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其 四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无 盖的盒子，写出体积v以x为自变量的函数式，并求出这 个函数的定义域。探索1 （提岀问题）：问x为何值时，体积v最大？探索2 （条件发散）：从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方形盒子，要求长方体的 高度x与底面正方形边长的比不超过常数-1）把铁盒的容积v表示为x的函数, 并指出其定义域；2

10、） x取何值时，容积v有最大值？探索3（对彖发散）：有一块长为2,宽为1的矩形铁皮，现要在四个角各截去一 个边长为x的正方形，然后做成无盖的长方形盒子，问x取何值时，容积v有最 大值？通过教师引导师生共同深入挖掘教材，使教学内容问题化，教学过程 探索化。课木上有很多好题，如果我们能对具进行挖掘、加工、引申与改造，就 可以得到一些综合性具有创新意义的新问题。这样可以激发学生的学习兴趣，对 学生应用能力、探究能力的提高大有裨益，同时也是进行研究性学习的一-种行之 有效的手段。我们在原有封闭性问题基础上，使学生的思维向纵深发展，发散开 去，能够启发学生有独创性的理解，就形成了开放题。5. 以实际问题

11、为背景编制开放题教师要引导学生用数学的眼光观察社会现象，观察生活，从而从中找到可以 供学生研究的问题，以实际问题为背景编制的开放题，往往有趣而富有吸引力， 有利于开展探究性学习，提高学生的学习能力。ci + m a例4已知s已厂并且代方求证乔近（苏教版，选修4-5不 等式选讲第13页例3）除教材介绍的方法外，并用实际例子说明这个不等式的意义。根据廿标的结 构特征，改变一下考察问题的角度，或同时对目标的结构作些调整、重新组合， 可获得如下思路：两点（b,a）、（-m, -m）的连线的斜率大于两点（b,a）、（0, 0） 的连线的斜率；b个单位溶液屮有a个单位溶质，其浓度小于加入m个单位溶质 后的

12、浓度；在数轴上的原点和坐标为1的点处，分别放置质量为m、a的质点时 质点系的重心，位于分别放置质量为叭b的质点时质点系的重心的左侧等。以实际问题为背景，编制此类应用问题的作用，用于探究性学习，不只在于 解决问题，更重要的是让学生参与活动，增加体验，增强将实际问题转化为数学 问题的“数学化”能力，培养学生创新精神和实践能力，从而提高研究能力。此外，以数学研究思想、方法和技巧等为依托均可编制开放题。数学家的很 多数学发现屮研究方法蕴涵深刻的数学思想，在数学研究性学习屮让学生亲身体 验数学家的某些研究，做小科学家，点燃埋藏在学生心灵深处的智慧火种。以此 为着眼点编制开放题，其教育价值是不言而喻的。总z,在课堂上应倡导“开放式学习方式”，鼓励学生大胆质疑，尽量把思 考的时间和表现的机会止给学生，鼓励师生间、学生间相互交流，体现以“学生 的发展为木”的教育观念。著名数学教育家弗赖登塔尔曾说过：“没有一种数学 的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来”。因此，在数学教学屮反璞归 真，寻找数学的木原，重现数学家当初发明创新时的思维过程，