向量组的极大线性无关组(1)ppt课件

1、1第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n3.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组二、向量组的秩二、向量组的秩一、极大线性无关组的概念一、极大线性无关组的概念三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系系2第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n一、极大线性无关组的概念一、极大线性无关组的概念上一节讨论了向量组的线性相关与线性无关的概念，其上一节讨论了向量组的线性相关与线性无关的概念，其中线性无关也称为线性独立。中线性无关也称为线性独立。系数及右端项构成行向量，那么线性相关与线性无关的概念实系数及右端项构成行向量，那么线性相

2、关与线性无关的概念实反映了线性方程组中各个方程能否关联或能否独立。反映了线性方程组中各个方程能否关联或能否独立。本节将讨论假设一个给定的向量组线性相关，那么，本节将讨论假设一个给定的向量组线性相关，那么，(1) 该向量组中究竟有多少个向量是独立的？该向量组中究竟有多少个向量是独立的？(2) 详细哪些向量是独立的？详细哪些向量是独立的？(3) 其他的向量是如何由这些独立向量组合出来的？其他的向量是如何由这些独立向量组合出来的？假设以线性方程组中各方程的假设以线性方程组中各方程的3第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n一、极大线性无关组的概念一、极大线性无关组的概念定义定义假设向量组假

3、设向量组 中的一个部分组中的一个部分组r ,21siii ,21满足满足: (1) 线性无关；线性无关；siii ,21(2) 向量组向量组 中的每一个向量都可由中的每一个向量都可由r ,21siii ,21线性表示，线性表示，(即在即在 中再加一个向量就相关中再加一个向量就相关.)siii ,21那么称那么称 为为 的的(一个一个)极大线性极大线性siii ,21r ,21无关组。无关组。4第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n那么那么 是一个极大线性无关组；是一个极大线性无关组；,31 , ,41 ,32 等都是极大线性无关组。等都是极大线性无关组。由此可见，一个向量组的极大线

4、性无关组不是独一的。由此可见，一个向量组的极大线性无关组不是独一的。 需求讨论的问题需求讨论的问题(1) 一个向量组中各极大线性无关组的向量个数能否独一？一个向量组中各极大线性无关组的向量个数能否独一？(2) 如何求出向量组的一个极大线性无关组？如何求出向量组的一个极大线性无关组？如何将其他的向量表示为极大线性无关组的线性组合？如何将其他的向量表示为极大线性无关组的线性组合？5第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n设有两个向量组设有两个向量组1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示定义定义假设向量组假设向量组()中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组(I)线性表示，

5、线性表示，mjmjjjccc 2211,),(2121 jmjjmccc 那么称向量组那么称向量组()能由向量组能由向量组(I)线性表示。线性表示。,21jmjjccc,j 此时，对每个向量此时，对每个向量使得使得存在数存在数二、向量组的秩二、向量组的秩6第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n, ),(21ssnB , ),(21mmnA 假设记假设记即有即有),(21s ,),(21222211121121 smmmssmccccccccc ,smmnsnCAB 其中其中 n 为向量的维数。为向量的维数。那么所谓的向量组那么所谓的向量组()能由向量组能由向量组(I)线性表表示味着

6、线性表表示味着使得使得,smC 存在矩阵存在矩阵1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示二、向量组的秩二、向量组的秩7第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n,322211 1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示二、向量组的秩二、向量组的秩例如例如设向量组设向量组 能由能由 线性表示：线性表示：4321, 4321, ,414433 那么有那么有.1100011000111001),(),(43214321 8第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示定理定理 设向量组设向量组 可由可由 线性表示，线性表示，s ,2

7、1r ,21二、向量组的秩二、向量组的秩那么向量组那么向量组 线性相关。线性相关。假设假设r ,21, sr 换句话说，假设换句话说，假设 线性无关，那线性无关，那么么. sr r ,21证明证明 ( (略略) )*推论推论n + 1 个个 n 维向量一定线性相关。维向量一定线性相关。根本向量根本向量 线性表示线性表示neee,21由于任何由于任何 n 维向量都可由维向量都可由 n 维维9第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n 上述定理的直观解释上述定理的直观解释 仅以仅以 为例为例2, 3 sr(1) 设由两个向量设由两个向量 构成的向量组，经过线性组合得到构成的向量组，经过线性

8、组合得到21, 三个向量三个向量,321 显然，即使显然，即使 是线性独立的，也不能够线性组合出是线性独立的，也不能够线性组合出21, 三个性线独立的向量；三个性线独立的向量；更何况更何况 本身能够是本身能够是21, 线性相关的。线性相关的。因此，向量组因此，向量组 必然是线性相关的。必然是线性相关的。321, (2) 特别地，假设特别地，假设 “代表代表 某方程组中的两个方程，某方程组中的两个方程，21, 显然，经过线性组合不能够得到更多的独立方程。显然，经过线性组合不能够得到更多的独立方程。10第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示

9、2. 向量组之间的等价向量组之间的等价定义定义 假设向量组假设向量组 与向量组与向量组 可以相互可以相互s ,21m ,21线性表示线性表示 ，, ),(21ssnB , ),(21mmnA 此时此时, 假设记假设记其中其中 n 为向量的维数。为向量的维数。那么存在矩阵那么存在矩阵 和和 使得使得smC ,msD ,smmnsnCAB ,mssnmnDBA 二、向量组的秩二、向量组的秩任何一个向量组与它的极大线性无关组是等价的。任何一个向量组与它的极大线性无关组是等价的。例如例如那么称这两个向量组等价。那么称这两个向量组等价。11第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1. 向量组之

10、间的线性表示向量组之间的线性表示二、向量组的秩二、向量组的秩性质性质(1) 反身性，反身性，(2) 对称性，对称性，(3) 传送性，传送性，即向量组本人与本人等价；即向量组本人与本人等价；假设假设 与与 等价，等价，(I)(I)()()那么那么 与与 等价；等价；(I)(I)()()假设假设 与与 等价，且等价，且 与与 等价，等价，()()(I)(I)()()()()那么那么 与与 等价。等价。(I)(I)()()2. 向量组之间的等价向量组之间的等价12第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示二、向量组的秩二、向量组的秩定理定理两个等

11、价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量2. 向量组之间的等价向量组之间的等价个数相等。个数相等。证明证明等价等价等价等价等价等价等价等价m ,21向量组向量组极大线性无关组极大线性无关组riii ,21n ,21向量组向量组极大线性无关组极大线性无关组siii ,2113第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示二、向量组的秩二、向量组的秩定理定理两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量2. 向量组之间的等价向量组之间的等价个数相等。

12、个数相等。证明证明即即 可由可由 线性表示，线性表示，riii ,21siii ,21因此因此. sr 同理同理. sr 即得即得. sr 且且 线性无关，线性无关，riii ,2114第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示二、向量组的秩二、向量组的秩推论推论(1) 假设两个线性无关的向量组等价，那么它们所含的向假设两个线性无关的向量组等价，那么它们所含的向量量2. 向量组之间的等价向量组之间的等价个数相等。个数相等。(2) 在一个给定的向量组中，各个极大线性无关组所含在一个给定的向量组中，各个极大线性无关组所含的向量个数相等。的向量个

13、数相等。组的向量个数是独一的。组的向量个数是独一的。即一个向量组中各极大线性无关即一个向量组中各极大线性无关15第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示2. 向量组之间的等价向量组之间的等价二、向量组的秩二、向量组的秩定义定义一个向量组中的极大线性无关组所含的向量个数称为一个向量组中的极大线性无关组所含的向量个数称为3. 向量组的秩向量组的秩向量组的秩。向量组的秩。结论结论等价的向量组秩相等。等价的向量组秩相等。16第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n1. 向量组之间的线性表示向量组之间的线性表示2. 向量组之间的等价向量组

14、之间的等价3. 向量组的秩向量组的秩二、向量组的秩二、向量组的秩4. 向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系17第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n设设定理定理4. 向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系二、向量组的秩二、向量组的秩m ,21 的秩的秩那么那么)(Arn ,21 的秩。的秩。通常说，矩阵的秩通常说，矩阵的秩等于行秩等于列秩等于行秩等于列秩(行秩行秩)(列秩列秩) 此定理给出了一种求向量组的秩的方法。此定理给出了一种求向量组的秩的方法。18第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n证明证明(1) 首先证明一个引理：首先证明一个引理：QCP

15、化为规范形化为规范形, tI000其中其中. st ,1 tIP000可逆矩阵可逆矩阵 P 和和 使得使得,ssQ 现实上，对于矩阵现实上，对于矩阵 ,21sC 下面利用反证法证明下面利用反证法证明. st 可逆矩阵可逆矩阵 P 和和 使得使得假设列向量假设列向量 线性无关，线性无关，s ,21那么存在那么存在 .21 ssIQP 0,Q tIPP)(21000QC tIP1000即即一定存在一定存在19第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n sssssssqqqqqqqqqQC11222211121121 假设假设 那么有那么有, st ,2211 sssssqqq 0由由 Q

16、可逆，有可逆，有 不全为零，不全为零，ssssqqq,21这与这与 线性无关矛盾，因此引理成立。线性无关矛盾，因此引理成立。s ,21证明证明(1) 首先证明一个引理：首先证明一个引理：可逆矩阵可逆矩阵 P 和和 使得使得假设列向量假设列向量 线性无关，线性无关，s ,21那么存在那么存在 .21 ssIQP 0,Q 000tIP1020第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n证明证明它的一个极大线性无关组为它的一个极大线性无关组为,21s 那么存在可那么存在可逆逆),(),(2121snR 0记为记为,C QCP, sI00 0(2) 设由矩阵设由矩阵 A 的列构成的向量组的列构成

17、的向量组 的秩为的秩为 s，n ,21对矩阵对矩阵 根据引理一定存在可逆阵根据引理一定存在可逆阵 和和 使得使得P,Q,C矩阵矩阵 R，使得，使得 QRAP, sI00 0即得即得sQRAPrAr )()(n ,21 的秩的秩 .进一步有进一步有)()(TArAr m ,21 的秩的秩 .21第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n4. 向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系二、向量组的秩二、向量组的秩推论推论设设 A 为为 mn 阶矩阵，且阶矩阵，且 那么有那么有,)(rAr (1) 当当 r = m 时，时，A 的行向量线性无关，的行向量线性无关，当当 r m 时，时，

18、A 的行向量线性相关；的行向量线性相关；(2) 当当 r = n 时，时，A 的列向量线性无关，的列向量线性无关，当当 r n 时，时，A 的列向量线性相关；的列向量线性相关；特别地，方阵特别地，方阵 A 的行的行(列列)向量线性无关的充要条件向量线性无关的充要条件是是.0| A22第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系 首先引见几个引例，用来掌握在什么情况下，可以非常首先引见几个引例，用来掌握在什么情况下，可以非常容易地知道一个列向量组的秩、极大线性无关组以及它容易地知道一个列向量组的秩、极大线性

19、无关组以及它们之间的线性组合关系。们之间的线性组合关系。引例引例11 2 4 3 (1) 向量组的秩为向量组的秩为 2;(2) 极大线性无关组为极大线性无关组为;,21 (3) 组合关系组合关系,32213 .4)1(214 000000004310120123第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n引例引例21 2 4 3 (1) 向量组的秩为向量组的秩为 2;(2) 极大线性无关组为极大线性无关组为;,31 (3) 组合关系组合关系,2312 .23314 (1) 向量组的秩为向量组的秩为 3;(2) 极大线性无关组为极大线性无关组为;,421 引例引例31 2 4 3 5 (3

20、) 组合关系组合关系,0524213 .644215 0000000021203011 0000061000105104020124第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系1. 原理原理定理定理设矩阵设矩阵 A 经过行变换得到矩阵经过行变换得到矩阵 B，矩阵矩阵 B 的列向量有一样的线性组合关系。的列向量有一样的线性组合关系。证明证明设设, ),(21mB , ),(21mA 那么存在可逆矩阵那么存在可逆矩阵 P，使得，使得,BAP ,1BPA 假设假设有有,0 XA,01 XBP,0 XB假设假设有

21、有,0 XB,0 XAP,0 XA即方程即方程 与与 同解，同解，0 XB0 XA故故 与与 有一样的线性组合关系。有一样的线性组合关系。m ,21m ,21那么矩阵那么矩阵 A 的列向量的列向量与与25第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系1. 原理原理2. 方法方法(1) 无论所给的向量组是行向量还是列向量，都按照列向量无论所给的向量组是行向量还是列向量，都按照列向量陈列，并构成矩阵陈列，并构成矩阵 A ；(2) 对矩阵对矩阵 A 进展初等行变换得到行规范形矩阵进展初等行变换得到行规范形矩阵 B

22、 ；(3) 根据矩阵根据矩阵 B 的秩及其列向量的线性组合关系，直接得出的秩及其列向量的线性组合关系，直接得出原向量组的秩、极大线性无关组以及线性组合关系。原向量组的秩、极大线性无关组以及线性组合关系。26第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n 151225311421例例 设设 求求(1) 向量组的秩向量组的秩;(2) 向量组的极大线性无关组；向量组的极大线性无关组；(3) 将其他向量表示为极大线性无关组的线性组合。将其他向量表示为极大线性无关组的线性组合。1 2 4 3 解解 333011101421行变换行变换27第三章 维向量空间3.4 向量组的极大线性无关组n(1) 向量组的秩为向量组的秩为 2;(2) 极大线性无关组为极大线性无关组为;,21 (3) 线性组合关系为线性组合关系为,2213 .)1(214 333011101421行变换行变换 00001110120128第三章