中考数学必做压轴题分类之——二次函数与几何综合(共22页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上二次函数与几何综合二次函数与几何综合是中考压轴题的考查重点，常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长的最值、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等压轴题的综合性强，难度大，复习时应加强训练，它是突破高分瓶颈的关键1、 如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且抛物线经过A(1，0)， C(0，3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线ymxn经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小， 求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P

2、的坐标2、 如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点 C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB.(1)求抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得BCD的面积最大？若存在，求 出D点坐标及BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3) 在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得QMB与PMB的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由3、 如图，二次函数yax2bxc的图象的顶点C的坐标为(0，2)，交x轴于A、B两点， 其中A(1，0)，直线l：xm(m1)与x轴交于D.(1)求二

3、次函数的解析式和B的坐标；(2)在直线l上找点P(P在第一象限)，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点 的三角形相似，求点P的坐标(用含m的代数式表示)；(3) 在(2)成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使BPQ是以P为直角顶 点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由4、 已知抛物线yx22xa(a0)与y轴相交于A点，顶点为M，直线yxa分别与 x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于点N点(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标；(2)将NAC沿着y轴翻折，若点N的对称点P恰好落在

4、抛物线上，AP与抛物线的对称轴相 交于点D，连接CD，求a的值及PCD的面积；(3) 在抛物线yx22xa(a0)上是否存在点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由5、 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ly轴于点B(0，2)，A为OB的中点，以A 为顶点的抛物线yax2c(a0)与x轴分别交于C、D两点，且CD4，点P为抛物线 上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆(1)求抛物线的解析式；(2)若P与y轴的另一交点为E，且OE2，求点P的坐标；(3)判断直线l与P的位置关系，并说明理由6、 如图，抛物线yax2bxc(a0)的图

5、象过点M(2，)，顶点坐标为N(1，)， 且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上的动点，当PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在直线AC上是否存在一点Q，使QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在， 请说明理由7、 如图，二次函数yx2bx3b3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)， 交y轴于点C，且经过点(b2，2b25b1)(1)求这条抛物线的解析式；(2)M过A，B，C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；(3)连接AM，DM，将AMD绕点M顺时针旋转，两边MA，MD与x轴，y轴分别交于点E，F. 若DMF为等腰

6、三角形，求点E的坐标8、 如图1，二次函数yax2bxc的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C， 若tanABC3，一元二次方程ax2bxc0的两根为8，2.(1)求二次函数的解析式；(2)直线l以AB为起始位置，绕点A顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P 是AD的中点求点P的运动路程；如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DFAC所在直线于点F，连接PE、PF，在l运 动过程中，EPF的大小是否改变？请说明理由；(3)在(2)的条件下，连接EF，求PEF周长的最小值9、 已知抛物线C1：yx2，平移抛物线yx2，使其顶点D落在抛物线C1位于y轴 右侧的图象上，设平移后的

7、抛物线为C2，且C2与y轴交于C(0，2)(1)求抛物线C2的解析式；(2)抛物线C2与x轴交于A，B两点(点B在点A的右方)求点A、B的坐标及过点A、B、C 的圆的圆心E的坐标；(3) 在过点(0，)且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形，若存在，求 出点F的坐标，若不存在，请说明理由10、 如图，已知直线y3x3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yax2bxc 经过点A和点C，对称轴为直线l：x1，该抛物线与x轴的另一个交点为B.(1)求此抛物线的解析式；(2)点P在直线l上，求出使PAC的周长最小的点P的坐标； (3)点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N

8、为顶点的四边形能否为平行四边形？ 若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由11、 如图，已知抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴正半轴交于点C，且OCOB.(1)求此抛物线的解析式；(2)若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积最大值，并求出 此时点E的坐标；(3) 点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针方向旋转90°后，点A的对应点A 恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标12、 如图，已知抛物线y(x2)(x4)(k为常数，且k0)与x轴从左至右依次交于A， B两点，与y轴交于点C，经过点B

9、的直线yxb与抛物线的另一交点为D. (1)若点D的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；(2)若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似，求k 的值；(3) 在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿 线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？13、 已知抛物线yx2bxc与x轴交于点A(m2，0)和B(2m1，0)(点A在点B的左 侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x1.(1)求抛物线解析式；(2)直线ykx2(

10、k0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1<x2)，当|x1x2|最小 时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标；(3) 首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动，求L最小 时点O，B移动后的坐标及L的最小值14、 如图，抛物线yax28ax12a(a0)与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点D的坐标为(6，0)，且ACD90°.(1)请直接写出A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周 长的最小值；若不存在，说明理由；(4)

11、平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止设直线m与折线DCA 的交点为G，与x轴的交点为H(t，0)记ACD在直线m左侧部分的面积为S，求S关 于t的函数关系式及自变量t的取值范围15、 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22ax3a(a0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：ykxb与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC.(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示)(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为，求a的值；(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物

12、线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能 否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由参考答案1、【思路点拨】(1)利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；(2)利用抛物线的轴对称性，BC与对称轴的交点即为M，继而求出其坐标；(3)设P(1，t)，用含t的代数式表示PB、PC.对直角顶点分三种情况讨论，利用勾股定理建立方程可求得t的值【解答】(1)依题意，得解得抛物线解析式为yx22x3.对称轴为x1，且抛物线经过A(1，0)，B(3，0)把B(3，0)、C(0，3)分别代入直线ymxn，得解得直线ymxn的解析式为yx3.(2)设直线BC与对称轴x1的交点为M，则此时MAMC的值

13、最小，把x1代入直线yx3，得y2.M(1，2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时，M的坐标为(1，2)(3)设P(1，t)，又B(3，0)，C(0，3)，BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10.若点B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即184t2t26t10，解得t2；若点C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即18t26t104t2，解得t4；若点P为直角顶点，则PB2PC2BC2，即4t2t26t1018；解得t1，t2.综上所述，P的坐标为(1，2)或(1，4)或(1，)或(1，)2、【思路点拨】(1)把A(1，0)、B(3，0)两点的坐

14、标代入yx2bxc即可求出b和c的值，进而求出抛物线的解析式；(2)设D(t，t22t3)，作DHx轴，则SBCDS梯形DCOHSBDHSBOC，进而得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质，确定D点坐标与SBCD的最大值；(3)因为两三角形的底边MB相同，所以只需满足MB上的高相等即可满足题意【解答】(1)由解得抛物线解析式为：yx22x3.(2)设D(t，t22t3)，作DHx轴令x0，则y3，C(0，3)则SBCDS梯形DCOHSBDHSBOC (t22t33)t(3t)(t22t3)×3×3 t2t.0，当t时，即D(，)时，SBCD有最大值，且最大面积为.(3)

15、P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一，直线BC为yx3，过点P且与BC平行的直线为yx5.由解得Q1(2，3)；直线PM为x1，直线BC为yx3，M(1，2)设PM与x轴交于E点，PMEM2，过点E且与BC平行的直线为yx1.从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一由解得Q2(，)，Q3(，)满足条件的Q点为Q1(2，3)，Q2(，)，Q3(，)3、【解答】(1)抛物线yax2bxc的顶点坐标为C(0，2)，b0，c2.yax2bxc过点A(1，0)，0a02，a2，抛物线的解析式为y2x22.当y0时，2x220，解得x±1，点B的

16、坐标为(1，0)(2)连接BC.设P(m，n)PDBBOC90°，当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：若OCBDBP，则，即，解得n.此时点P坐标为(m，)；若OCBDPB，则，即，解得n2m2.此时点P坐标为(m，2m2)综上所述，满足条件的点P的坐标为(m，)或(m，2m2)(3)假设在抛物线上存在第一象限内的点Q(x，2x22)，使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形如图，过点Q作QEl于点E.DBPBPD90°，QPEBPD90°，DBPQPE.在DBP与EPQ中，DBPEPQ.BDPE，DPEQ.分两种情况：当P

17、(m，)时，B(1，0)，D(m，0)，E(m，2x22)，解得(均不合题意，舍去)当P(m，2m2)时，B(1，0)，D(m，0)，E(m，2x22)，解得(均不合题意，舍去)综上所述，不存在满足条件的点Q.4、【思路点拨】(1)把两个解析式联立，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围利用二次函数解析式求得M、A的坐标；(2)求出两直线的交点N，从而求出其对称点P，利用面积之差得PCD的面积；(3)分两种情况进行讨论：当P在y轴左侧时，利用平行四边形对角线互相平分得P点坐标，代入二次函数解析式，求得a；当P在y轴右侧时，利用平行四边形的对边平行且相等得P点坐标，代入二次函数解析式，求得a

18、.【解答】(1)由题意联立整理得2x25x4a0.由2532a0，解得a.a0，a且a0.令x0，得ya，A(0，a)由y(x1)21a，得M(1，1a)(2)设直线MA的解析式为ykxb，代入A(0，a)、M(1，1a)，得解得故直线MA的解析式为yxa.联立解得N(，)由于P点是N点关于y轴的对称点，P(，)代入yx22xa，得a2aa，解得a或a0(舍去)A(0，)，C(0，)，M(1，)，|AC|.SPCDSPACSDAC |AC|×|xP|AC|×|xD| ×(31).(3)当点P在y轴左侧时，四边形APCN为平行四边形，则AC与PN相互平分，点P与N关

19、于原点(0，0)中心对称，而N(，)，故P(，)代入yx22xa，得a2aa，解得a或a0(舍去)，P(，)当点P在y轴右侧时，四边形ACPN为平行四边形，则NPAC且NPAC，而N(，)、A(0，a)、C(0，a)，故P(，)代入yx22xa，得a2aa，解得a或a0(舍去)，P(，)当P点为(，)或(，)时，以A、C、P、N为顶点能构成平行四边形1(1)A为OB的中点，B(0，2)，A(0，1)抛物线yax2c对称轴为y轴，CD4，C(2，0)，D(2，0)把A(0，1)，D(2，0)代入抛物线yax2c，得解得抛物线的解析式为y1.(2)设点P(x，1)，过P作PMy轴于点M，则OMOE

20、1.|1|1.11或11.解得x12，x22，x30.点P坐标是P1(2，1)，P2(2，1)，P3(0，1)(3)直线l与P相切设点P(x，1)，过P作PNl于点N，交x轴于点Q.在RtPOQ中，PO2x2(1)2x211.PN21(2)21.PNPO.直线l与P相切2.(1)由抛物线顶点坐标为N(1，)，可设其解析式为ya(x1)2.将M(2，)代入，得a(21)2，解得a.故所求抛物线的解析式为yx2x.(2)yx2x，x0时，y，C(0，)y0时，x2x0，解得x1或x3，A(1，0)，B(3，0)，BC2.设P(1，m)，当CPCB时，有CP2，解得m±；当BPBC时，有B

21、P2，解得m±2；当PBPC时，解得m0.综上所述，当PBC为等腰三角形时，点P的坐标为(1，)，(1，)，(1，2)，(1，2)，(1，0)(3)由(2)知BC2，AC2，AB4，所以BC2AC2AB2，即BCAC.连接BC并延长至B，使BCBC，连接BM，交直线AC于点Q，连接BQ，BM.B、B关于直线AC对称，QBQB，QBQMQBQMMB，又BM2，所以此时QBM的周长最小由B(3，0)，C(0，)，易得B(3，2)设直线MB的解析式为ykxn，将M(2，)，B(3，2)代入，得解得即直线MB的解析式为yx.同理可求得直线AC的解析式为yx.由解得即Q(，)所以在直线AC上存

22、在一点Q(，)，使QBM的周长最小3.(1)把点(b2，2b25b1) 代入解析式，得2b25b1(b2)2b(b2)3b3.解得b2.抛物线解析式为yx22x3.(2)由x22x30，得x3或x1.A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)抛物线的对称轴是直线x1，圆心M在直线x1上设M(1，n)，作MGx轴于G，MHy轴于H，连接MC，MB.MH1，BG2.MBMC，BG2MG2MH2CH2.4n21(3n)2.解得n1.点M的坐标为(1，1)(3)由M(1，1)，得MGMH.MAMD，RtAMGRtDMH.MAGMDH.由旋转可知AMEDMF.AMEDMF.若DMF为等腰三角形，则AME为

23、等腰三角形设E(x，0)AME为等腰三角形，分三种情况：当AEAM时，则x3，E(3，0)当AMME时，M在AB的垂直平分线上，MAMEMB，E(1，0)当AEME时，则点E在AM的垂直平分线上AEx3，ME2MG2EG21(1x)2.(x3)21(1x)2.解得x.E(，0)所求点E的坐标为(3，0)，(1，0)或(，0)4.(1)函数yax2bxc与x轴交于A、B两点，且一元二次方程ax2bxc0两根为8，2，A(8，0)、B(2，0)，即OB2.又tanABC3，OC6，即C(0，6)将A(8，0)、B(2，0)代入yax2bx6中，得a，b，二次函数解析式为yx2x6.(2)当l在AB

24、位置时，P即为AB中点H，当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，点P的运动路程为ABC的中位线HK.HKBC.在RtBOC中，OB2，OC6.BC2.HK.即点P的运动路程为.EPF的大小不会改变理由如下：DEAB，在RtAED中，P为斜边AD的中点，PEADPA，PAEPEAEPD.同理可得：PAFPFADPF，EPFEPDDPF2(PAEPAF)，即EPF2EAF.又EAF大小不变，EPF的大小不会改变(3)设PEF的周长为C，则CPEPFEF，PEAD，PFAD，CADEF.在等腰三角形PEF中，过P作PGEF于点G，EPGEPFBAC.tanBAC.tanEPG.EGPE，EFPEA

25、D.CADEF(1)ADAD.又当ADBC时，AD最小，此时C最小，又SABC30，BC·AD30，AD3.C最小值为AD.5.(1)由题意，设D(a，a2)则抛物线C2的解析式为y(xa)2a2.又点C在抛物线C2上，将C(0，2)代入上式，解得a±2.又因为D在y轴右侧，所以a2.抛物线C2的解析式为y(x2)22.(2)由题意，在y(x2)22中，令y0，则x2±.点B在点A的右侧，A(2，0)，B(2，0)又过点A、B、C的圆的圆心一定在线段AB的垂直平分线上，则设E(2，m)，且|CE|AE|.则22(2m)2m2(22)2，解得m.圆心E的坐标为(2，

26、)(3)假设存在F(t，)，使得四边形CEBF为菱形，则|BF|CF|CE|.()2(2t)2(2)2t2，解得t.当t时，F(，)此时|CE|，|CF|.|CF|BF|BE|CE|.即存在点F(，)，使得四边形CEBF为菱形6(1)对于y3x3，当x0时，y3；当y0时，x1，点C(0，3)，点A(1，0)解得此抛物线解析式为yx22x3.(2)如图1，点A关于直线l的对称点是点B(3，0)，连接BC交直线l于点P，连接PA，则此时PAC周长最小设BC的解析式为ykxm，将点B(3，0)、点C(0，3)代入解析式中，则解得BC的解析式为yx3.当x1时，y2，点P为(1，2).(3)如图2，

27、以点A、B、M、N为顶点的四边形能为平行四边形满足要求的点M有3个，分别是M1(2，3)，M2(4，5)，M3(4，21)7.(1)B点坐标为(3，0)，OCOB，OCOB3，C(0，3)将A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点的坐标分别代入yax2bxc，得解得此抛物线解析式为yx22x3.(2)过点E作直线EF平行于BC.直线BC过B(3，0)、C(0，3)，yBCx3.设直线EF的解析式为yEFxb.BOC面积为定值，S四边形BOCESBOCSBCE，四边形BOCE面积最大时，BCE面积最大BC为定值，当BC上的高最大时，BCE面积最大，此时直线EF与抛物线有且只有一个交点故一元二

28、次方程xbx22x3有两个相等的实数根整理得x23xb30.94(b3)0.解得b，x1x2.当x时，y，点E的坐标为(，)当E点的坐标为(，)时，S四边形BOCE×(3)×××(3).(3)抛物线yx22x3的对称轴为x1，点P在抛物线的对称轴上，设P(1，m)线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A恰好也落在此抛物线上，如图，PAPA，APA90°，如图，过A作AN对称轴于N，设对称轴与x轴交于点M，NPAMPANAPNPA90°，NAPMPA，在ANP与PMA中，ANPPMA.ANPM|m|，PNAM2.A(|

29、m|1，m2)，代入yx22x3，得m2(|m|1)22(|m|1)3，解得m1，m2.P1(1，1)，P2(1，2)8.(1)抛物线解析式为y(x2)(x4)，令y0，解得x2或x4，A(2，0)，B(4，0)直线yxb经过点B(4，0)，×4b0，解得b.直线BD解析式为yx.当x5时，y3，D(5，3)点D(5，3)在抛物线y(x2)(x4)上，(52)(54)3，k.抛物线的函数表达式为y(x2)(x4)(2)由抛物线解析式，令x0，得yk.C(0，k)，OCk.点P在第一象限内的抛物线上，ABP为钝角因此若两个三角形相似，只可能是ABCAPB或ABCPAB.若ABCAPB，

30、则有BACPAB，如图1所示设P(x，y)，过点P作PNx轴于点N，则ONx，PNy.tanBACtanPAB，即，yxk.P(x，xk)，代入抛物线解析式y(x2)·(x4)，得(x2)(x4)xk，整理得x26x160，解得x8或x2(与点A重合，舍去)，P(8，5k)ABCAPB，即，解得k.若ABCPAB，则有ABCPAB，如图2所示与同理，可求得k.综上所述，k或k. (3)由(1)知D(5，3)过点D作DNx轴于点N，则DN3，ON5，BN459，tanDBA，DBA30°.过点D作DKx轴，则KDFDBA30°.过点F作FGDK于点G，则FGDF.由

31、题意，动点M运动的路径为折线AFDF.所用时间为AFFG.由垂线段最短可知，折线AFFG最小值就是点A到直线DK的垂线段AH的长度所以F点的横坐标为2.把x2代入yx，得y×(2)2，F(2，2)当点F坐标为(2，2)时，点M在整个运动过程中用时最少9.(1)由已知对称轴为x1，得1，b2.抛物线yx2bxc与x轴交于点A(m2，0)和B(2m1，0)，x2bxc0的解为m2和2m1.(m2)(2m1)b，(m2)(2m1)c.m1，c3.抛物线解析式为yx22x3.(2)由得x2(k2)x10.x1x2(k2)，x1x21，(x1x2)2(x1x2)24x1x2(k2)24.当k2

32、时，(x1x2)2的最小值为4，即|x1x2|的最小值为2.x210，x11，x21，则y10，y24.当|x1x2|最小时，抛物线与直线的交点为M(1，0)，N(1，4)(3)由(1)得O(0，0)，B(3，0)，P(1，4)，C(0，3)O，B，P，C构成多边形的周长LOBBPPCCO，又线段OB平移过程中，OB、PC的长度不变，要使L最小，只需BPCO最短如图，平移线段OC到BC，四边形OBCC是矩形C(3，3)作点P关于x轴(或OB)的对称点P(1，4)，连接CP与x轴交于点B.设CP解析式为yaxn.解得yx.当y0时，x，B(，0)又3，故点B向左平移，平移到B.同时，点O向左平移

33、，平移到O(，0)即线段OB向左平移时，周长L最短此时，线段BP，CO之和最短为PC，OBOB3，CP.当线段OB向左平移，即点O平移到O(，0)，点B平移到B(，0)时，周长L最短为3.10.(1)抛物线的解析式为yax28ax12a(a0)，令y0，即ax28ax12a0，解得x12，x26，A(2，0)，B(6，0)(2)抛物线的解析式为yax28ax12a(a0)，令x0，得y12a，C(0，12a)，OC12a.在RtCOD中，由勾股定理得：CD2OC2OD2(12a)262144a236；在RtAOC中，由勾股定理得：AC2OC2OA2(12a)222144a24；在RtACD中，由勾股定理得：DC2AC