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文档简介
1、 自选模块自选模块 专题六专题六导导数数真题体验引领卷一、选择题1(2015安徽高考)函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示,则下列结论成立的是()Aa0,b0,d0Ba0,b0,c0Ca0,b0,d0Da0,b0,c0,d0 时,xf(x)f(x)0,则使得f(x)0 成立的x的取值范围是()A(,1)(0,1)B(1,0)(1,)C(,1)(1,0)D(0,1)(1,)6(2015全国卷)设函数f(x)ex(2x1)axa,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)2;a0,b2;a1,b2.三、解答题10(2015北京高考)已知函数f(x)ln1x1x.(1)求曲线yf(x)在点
2、(0,f(0)处的切线方程;(2)求证:当x(0,1)时,f(x)2xx33 ;(3)设实数k使得f(x)kxx33 对x(0,1)恒成立,求k的最大值11(2015全国卷)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明:f(x)在(,0)单调递减,在(0,)单调递增;(2)若对于任意x1,x21,1,都有|f(x1)f(x2)|e1,求m的取值范围12(2015全国卷)已知函数f(x)x3ax14,g(x)lnx.(1)当a为何值时,x轴为曲线yf(x)的切线;(2)用 minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数专题六专题六导导数数经典
3、模拟演练卷一、选择题1曲线yax32x4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A45B60C120D1352已知函数f(x)13x32x23m,x0,),若f(x)50 恒成立,则实数m的取值范围是()A.179,B.179,C(,2D(,2)3 (2015温州中学模拟)已知f(x)为函数f(x)x1x的导函数, 则下列结论中正确的是()Ax0R R,xR R 且x0,f(x)f(x0)Bx0R R,xR R 且x0,f(x)f(x0)Cx0R R,x(x0,),f(x)04(2015镇海中学三模)当a0 时,函数f(x)(x22ax)ex的图象大致是()5已知函数f(x)x(lnxax)有两
4、个极值点,则实数a的取值范围是()A(,0)B.0,12C(0,1)D(0,)6 (2015温岭中学模拟)已知函数f(x)ax33x21, 若f(x)存在唯一的零点x0, 且x00,则a的取值范围是()A(2,)B(,2)C(1,)D(,1)二、填空题7 (2014温州模拟)关于x的方程x33x2a0 有三个不同的实数解, 则实数a的取值范围是_8若函数f(x)12x24x3lnx在t,t1上不单调,则t的取值范围是_9(2015长沙调研)设直线xt,与函数f(x)x2,g(x)lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为_三、解答题10(2015杭州高级中学模拟)已知函数f(
5、x)aexx2,g(x)sinx2bx.直线l与曲线yf(x)切于点(0,f(0)且与曲线yg(x)切于点(1,g(1)(1)求a,b的值和直线l的方程;(2)证明:f(x)g(x)11(2015宁波模拟)设函数f(x)1a2x2axlnx(aR R)(1)当a3 时,求函数f(x)的极值;(2)当a1 时,讨论函数f(x)的单调性;12(2015乐清乐武寄宿中学)设函数f(x)(xa)lnx,g(x)x2ex.已知曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与直线 2xy0 平行(1)求a的值;(2)是否存在自然数k,使得方程f(x)g(x)在(k,k1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不
6、存在,请说明理由;(3)设函数m(x)minf(x),g(x)(minp,q表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值专题六专题六导导数数专题过关提升卷第卷(选择题)一、选择题1设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x,则a()A0B1C2D32函数y12x2lnx的单调减区间是()A(1,1B(0,1C1,)D(0,)3(2015鲁迅中学模拟)已知函数f(x)ax3bx2cx,其导函数yf(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中不正确的是()A当x32时函数取得极小值Bf(x)有两个极值点C当x2 时函数取得极小值D当x1 时函数取得极大值4若 0
7、x1x21,则()Aex2ex1lnx2lnx1Bex2ex1lnx2lnx1Cx2ex1x1ex2Dx2ex1x1ex25当x2,1时,不等式ax3x24x30 恒成立,则实数a的取值范围是()A5,3B.6,98C6,2D4,36 (2015学军中学模拟)设函数f(x)x22mx, 若函数f(x)的极值点x0满足x0f(x0)x30m2,则实数m的取值范围是()A(,0)0,12B(,0)(2,)C.0,12D(0,2)7定义一种运算(a,b)*(c,d)adbc,若函数f(x)14,1*(cosx,x2),设f(x)为函数f(x)的导函数,则f(x)的大致图象是()8(2015镇海中学模
8、拟)已知定义在 R R 上的函数g(x)的导函数为g(x),满足g(x)g(x)1 的解集为()A(2,)B(0,)C(,0)D(,2)第卷(非选择题)二、填空题9曲线ye5x2 在点(0,3)处的切线方程为_10已知函数f(x)alnxx在区间2,3上单调递增,则实数a的取值范围是_11若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是_12 设P为曲线C:f(x)x2x1 上的点, 曲线C在点P处的切线斜率的取值范围是1,3,则点P的纵坐标的取值范围是_13 若函数f(x)lnx12ax22x(a0)存在单调递减区间, 则实数a的取值范围是_14(2015湖南高考改编
9、)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件, 并使新工件的一个面落在原工件的一个面内, 则原工件材料的利用率为_(材料利用率新工件的体积原工件的体积)15(2015四川高考)已知函数f(x)2x,g(x)x2ax(其中aR R)对于不相等的实数x1,x2,设mf(x1)f(x2)x1x2,ng(x1)g(x2)x1x2,现有如下命题:对于任意不相等的实数x1,x2,都有m0;对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n0;对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得mn;对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得mn.其中的真命题有_(写出所有
10、真命题的序号)三、解答题16(2015台州中学模拟)已知f(x)lnxa(1x)(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于 2a2 时,求a的取值范围17(2015北京高考)设函数f(x)x22klnx,k0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1, e上仅有一个零点18(2015安徽高考)设函数f(x)x2axb.(1)讨论函数f(sinx)在2,2 内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;(2)记f0(x)x2a0 xb0,求函数|f(sinx)f0(sinx)|在2,2 上的最大值D;(3)在(2)中,取a0b0
11、0,求zba24满足D1 时的最大值19(2015广东高考)设a1,函数f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(,)上仅有一个零点;(3)若曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m3a2e1.20(2015嘉兴一中三模)已知函数f(x)x(lnxax)(aR R),g(x)f(x)(1)若曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与直线 3xy10 平行,求实数a的值;(2)若函数F(x)g(x)12x2有两个极值点x1,x2,且x1x2,求证:f(x2)10,可排除 D;其导函数f(x)3a
12、x22bxc且f(0)c0,可排除 B;又f(x)0 有两不等实根,且x1x2c3a0,所以a0,故选 A.2B当m2 时,f(x)在12,2上单调递减,0n8,mn2n16,当m2 时,令f(x)(m2)xn80, xn8m2, 当m2 时, 对称轴x0n8m2, 由题意, n8m22,2mn12, 2mn2mn26,mn18,由 2mn12 且 2mn知m3,n6 取等号当m2 时,抛物线开口向下,由题意n8m212,即 2nm18, 2mn2nm29,mn812,由 2nm18 且 2nm,得m9(舍去),mn最大值为 18,选 B.3AA 正确等价于abc0,B 正确等价于b2a,C
13、正确等价于4acb24a3,D 正确等价于 4a2bc8.下面分情况验证,若 A 错,由、组成的方程组的解为a5,b10,c8.符合题意;若 B 错,由、组成的方程组消元转化为关于a的方程后无实数解;若 C 错,由、组成方程组,经验证a无整数解;若 D 错,由、组成的方程组a的解为34也不是整数综上,故选 A.4C导函数f(x)满足f(x)k1,f(x)k0,k10,1k10,可构造函数g(x)f(x)kx,可得g(x)0,故g(x)在 R R 上为增函数,f(0)1,g(0)1,g1k1 g(0),f1k1 kk11,f1k1 1k1,选项 C 错误,故选 C.5A因为f(x)(xR R)为
14、奇函数,f(1)0,所以f(1)f(1)0.当x0 时,令g(x)f(x)x,则g(x)为偶函数,且g(1)g(1)0.当x0 时,g(x)f(x)xxf(x)f(x)x20,故g(x)在(0,)上为减函数,在(,0)上为增函数所以在(0,)上,当 0 x1 时,g(x)g(1)0f(x)x0f(x)0;在(,0)上,当x1 时,g(x)g(1)0f(x)x0f(x)0.综上,得使得f(x)0 成立的x的取值范围是(,1)(0,1),选 A.6D由题意可知存在唯一的整数x0,使得 ex0(2x01)ax0a,设g(x)ex(2x1),h(x)axa.因为g(x)ex(2x1),所以当x12时,
15、g(x)12时,g(x)0,所以当x12时,g(x)min2e12.h(x)a(x1)恒过定点(1,0),且g(1)e0 在同一坐标系中作出yg(x)与yh(x)的大致图象结合图象,应有h(0)g(0) ,h(1)g(1) ,则a1,2a3e,解之得32ea1.故实数a的取值范围是32e,1.71f(x)3ax21,f(1)13a,f(1)a2.在(1,f(1)处的切线方程为y(a2)(13a)(x1)将(2,7)代入切线方程,得 7(a2)13a,解得a1.84令h(x)f(x)g(x),则h(x)lnx,0 x1,x2lnx2,1x2,x2lnx6,x2,当 1x2 时,h(x)2x1x1
16、2x2x0,故当 1x2 时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y|h(x)|和y1 的图象如图所示由图象可知|f(x)g(x)|1 的实根个数为 4.9令f(x)x3axb,f(x)3x2a,当a0 时,f(x)0,f(x)单调递增,必有一个实根,正确;当a0 时,由于选项当中a3,只考虑a3 这一种情况,f(x)3x233(x1)(x1),f(x)极大f(1)13bb2,f(x)极小f(1)13bb2,要有一根,f(x)极大0,b2,正确,错误所有正确条件为.10(1)解因为f(x)ln(1x)ln(1x),所以f(x)11x11x,f(0)2.又因为f(0)0,所以曲线yf(x)在点(0
17、,f(0)处的切线方程为y2x.(2)证明令g(x)f(x)2xx33 ,则g(x)f(x)2(1x2)2x41x2.因为g(x)0(0 xg(0)0,x(0,1),即当x(0,1)时,f(x)2xx33 .(3)解由(2)知,当k2 时,f(x)kxx33 对x(0,1)恒成立当k2 时,令h(x)f(x)kxx33 ,则h(x)f(x)k(1x2)kx4(k2)1x2.所以当 0 x4k2k时,h(x)0,因此h(x)在区间0,4k2k上单调递减当 0 x4k2k时,h(x)h(0)0,即f(x)2 时,f(x)kxx33 并非对x(0,1)恒成立综上可知,k的最大值为 2.11(1)证明
18、f(x)m(emx1)2x.若m0,则当x(,0)时,emx10,f(x)0;当x(0,)时,emx10,f(x)0.若m0,则当x(,0)时,emx10,f(x)0;当x(0,)时,emx10,f(x)0.所以,f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增(2)解由(1)知,对任意的m,f(x)在1,0上单调递减,在0,1上单调递增,故f(x)在x0 处取得最小值所以对于任意x1,x21,1时,|f(x1)f(x2)|e1 的充要条件是f(1)f(0)e1,f(1)f(0)e1,即emme1,emme1.设函数g(t)ette1,则g(t)et1.当t0 时,g(t)0;当t0 时,g
19、(t)0.故g(t)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增又g(1)0,g(1)e12e0,故当t1,1时,g(t)0.当m1,1时,g(m)0,g(m)0,即式成立;当m1 时,由g(t)的单调性,g(m)0,即 emme1;当m1 时,g(m)0,即 emme1.综上,m的取值范围是1,112解(1)设曲线yf(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)0,f(x0)0.即x30ax0140,3x20a0,解得x012,a34.因此,当a34时,x轴为曲线yf(x)的切线(2)当x(1,)时,g(x)lnx0,从而h(x)minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,)上无零
20、点当x1 时,若a54,则f(1)a540,h(1)minf(1),g(1)g(1)0,故x1是h(x)的零点;若a54,则f(1)0,h(1)minf(1),g(1)f(1)0.所以只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数()若a3 或a0,则f(x)3x2a在(0,1)上无零点,故f(x)在(0,1)上单调而f(0)14,f(1)a54,所以当a3 时,f(x)在(0,1)上有一个零点;当a0 时,f(x)在(0,1)上没有零点()若3a0,即34a0,f(x)在(0,1)上无零点;若fa3 0,即a34,则f(x)在(0,1)上有唯一零点;若fa3 0,即3a34,由于f(0)14,f(
21、1)a54,所以当54a34时,f(x)在(0,1)上有两个零点;当334或a54时,h(x)有一个零点;当a34或a54时,h(x)有两个零点;当54a0,得x4 或x0.f(x)在(0,4)上递减,在(4,)上递增,当x0,)时,f(x)minf(4)要使f(x)50 恒成立,只需f(4)50 恒成立即可,代入解之得m179.3D令f(x)11x2x21x20,得x1.当x(,1)时,f(x)0;当x(1,0)时,f(x)0;当x(0,1)时,f(x)0;当x(1,)时,f(x)0.故当x0 时,f(x)2;当x0 时,f(x)2,故函数在其定义域内没有最大值和最小值,故 A,B 错;函数
22、在x(1,)时,f(x)0,故 C 错;当x01 时满足题意,D 正确,故选 D.4Bf(x)ex(x22ax)(2x2a)exexx22x(a1)2a令f(x)0,得xa21(a1)0 时,f(x)在(,0)和2a,上单调递增,在0,2a上单调递减且f(0)10,故f(x)有小于 0 的零点,不符题意,排除 A、C.当a0 且唯一,只需f2a0,即a24,a2,选 B.7(4,0)由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于 0 且极小值小于 0 即可,又f(x)3x26x3x(x2),令f(x)0,得x10,x22.当x0 时,f(x)0;当 0 x2 时,f(x)0;当x2 时,f(x
23、)0,所以当x0 时,f(x)取得极大值,即f(x)极大值f(0)a;当x2 时,f(x)取得极小值,即f(x)极小值f(2)4a,所以a0,4a0,解得4a0.8 (0, 1)(2, 3)对f(x)求导, 得f(x)x43xx24x3x(x1) (x3)x.由f(x)0 得函数f(x)的两个极值点为 1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t1)内,函数f(x)在区间t,t1上就不单调,所以t1t1 或t3t1,解得 0t1或 2t3.9.22当xt时,f(t)t2,g(t)lnt,y|MN|t2lnt(t0)y2t1t2t21t2t22t22t.当 0t22时,y0;当t22时,y0.
24、y|MN|t2lnt在t22时有最小值10(1)解f(x)aex2x,g(x)2cosx2b.f(0)a,f(0)a,g(1)1b,g(1)b,曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线为yaxa,曲线yg(x)在点(1,g(1)处的切线为yb(x1)1b,即ybx1.依题意,有ab1,直线l方程为yx1.(2)证明由(1)知f(x)exx2,g(x)sinx2x.设F(x)f(x)(x1)exx2x1,则F(x)ex2x1,当x(,0)时,F(x)F(0)0;F(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增,故F(x)F(0)0,当且仅当x0时F(0)0 成立设G(x)x1g(x)1sinx
25、2,则G(x)0,当且仅当x4k1(kZ Z)时等号成立由上可知,f(x)x1g(x),且两个等号不同时成立,因此f(x)g(x)11解(1)函数的定义域为(0,)当a3 时,f(x)x23xlnx,f(x)2x23x1x(2x1) (x1)x,当12x0,f(x)单调递增;当 0 x1 时,f(x)0,f(x)单调递减所以f(x)极大值f(1)2,f(x)极小值f12 54ln 2.(2)f(x)(1a)xa1x(1a)x2ax1x(1a)x1a1 (x1)x当1a11,即a2 时,f(x)(1x)2x0,f(x)在定义域上是减函数;当 01a12 时,令f(x)0,得 0 x1;令f(x)
26、0,得1a1x1,即 1a0,得 1x1a1;由f(x)0,得 0 x1a1,综上,当a2 时,f(x)在(0,)上是减函数;当a2 时,f(x)在0,1a1 和(1,)单调递减,在1a1,1上单调递增;当 1a0;当x(1,2)时,f(x)0,所以f(x)有两个极值点 1 和 2,且当x2 时函数取得极小值,当x1 时函数取得极大值只有 A 不正确4CA,B中构造函数f(x)exlnx,f(x)ex1x,在(0,1)上有零点,故 A,B 错;C,D 中令g(x)exx,g(x)exxexx2ex(x1)x20,g(x)在(0,1)单调递减,又x2x1,12e 1e 2xxxx,故选 C.5C
27、当x0 时,ax3x24x30 变为 30 恒成立,即aR R.当x(0,1时,ax3x24x3,ax24x3x3,ax24x3x3max.设(x)x24x3x3,(x)(2x4)x3(x24x3)3x2x6x28x9x4(x9) (x1)x40,(x)在(0,1上递增,(x)max(1)6.a6.当x2,0)时,ax24x3x3,ax24x3x3min.仍设(x)x24x3x3,(x)(x9) (x1)x4.当x2,1)时,(x)0,当x(1,0)时,(x)0.当x1 时,(x)有极小值,即为最小值而(x)min(1)14312,a2.综上知6a2.6C由f(x)x22mx,得f(x)xmx
28、2,又x0是f(x)的极值点,f(x0)0,解之得x03m,因此x0f(x0)x30 x302mx30m2,所以m2m2,解之得 0m12.7Af(x)14x2cosx,则f(x)12xsinx,f(x)为奇函数,排除选项 B,D.又f(x)12cosx,令12cosx0,则x2k3,kZ Z.当 0 x3时,f(x)12cosx0.函数yf(x)在0,3 内是减函数,图象 A 适合8C令F(x)g(x)ex1,则F(x)g(x)exexg(x)(ex)2g(x)g(x)1ex.g(x)g(x)0,F(x)0即g(x)ex1的解集为(,0)95xy30y5e5x,k5e05,切线方程为y35x
29、,即 5xy30.102,)f(x)alnxx.f(x)ax1.又f(x)在2,3上单调递增,ax10 在x2,3上恒成立,a(x)max2,a2,)11.0,12f(x)3x26b,若f(x)在(0,1)内有极小值,只需f(0)f(1)0,即6b(36b)0,解得 0b12.12.34,3设P(x0,y0),则f(x)2x1.12x013,即 0 x02.y0f(x0)x20 x01x012234,x00,2,34y03,故点P的纵坐标的取值范围是34,3.13(1,0)(0,)对函数f(x)求导,得f(x)ax22x1x(x0)依题意,得f(x)0 在(0,)上有解,44a0 且方程ax2
30、2x10 至少有一个正根,a1,又a0,1a0.14.89该三视图对应的几何体为底面半径为 1,高为 2 的圆锥如图,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,上、下底面中心分别为O1,O2,上方截得的小圆锥的高为h,底面半径为r,则a2b24r2.由三角形相似,得SO1SO2O1AO2B,即h2r1,则h2r.长方体的体积为Vabcab(22r)a2b22(22r)2r2(22r)4r24r3(当且仅当ab时取等号,且0r1)设y4r24r3(0r0, 得 0r23.由y0,得23r0 时,f(x)在0,1a上单调递增,在1a,上单调递减(2)由(1)知,当a0 时,f(x)在(0,)无最大值;当a0 时,f(x)在x1a取得最大值,最大值为f1aln1aa11alnaa1.因此f1a2a2 等价于 lnaa10.令g(a)lnaa1,则g(a)在(0,)上单调递增,g(1)0.于是,当 0a1 时,g(a)0;当a1 时,g(a)0.因此,a的取值范围是(0,1)17(1)解函数的定义域为(0,)由f(x)x22klnx(k0)得f(x)xkxx2kx.由f(x)0 解得xk(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0,)上的变化情况如下表:所以,f(x)的单调递减区间是(0,k),单调递增
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