电子自旋和自旋波函数

1、 电子自旋和自旋波函数摘要：运用利力学量算符和波函数的矩阵表示，在Sz表象中讨论了电子自旋算符及其波函数的构造，找出并证明了一些性质。同时对比轨道角动量和自旋角动量就自旋的本质提出新的问题关键词：自旋；Sz表象；角动量 自旋是量子力学的特有概念，量子力学是随着物理学的发展为了解释微观领域的实验现象，在许多物理学家的共同努力下建立并逐渐完善起来的。其确立促进了实验工作的发展，特别在原子光谱的实验中，先后发现了光谱的精细结构和反常Zeeman效应。如在碱金属钠原子光谱中，起初看到有一条波长为589.3nm的黄线，由于光谱仪的分辨率的提高，后来发现它是两条谱线构成的。它的波长分别喂589.6nm和5

2、89.0nm，此即所谓碱金属光谱的双线结构。另外，在弱磁场中，一条光谱线会分裂成偶数条谱线，称为反常Zeeman效应。原有的量子理论已经无法解释这些新的物理现象。1925年，为了解释，Uhlenbeck和Goudsimt提出了电子具有自旋的假设，稍后由Pauli加以完善。除上述实验现象外，SternGerlach实验也是电子自旋±±的客观存在的重要实验依据，电子具有自旋就像电子具有的质量和电荷一样，电子的自旋也是表征电子固有属性的物理量，自宣德存在，这标志电子又有了一个新的自由度1依据实验事实得出：每个电子都具有自旋S，它在任意方向上得投影只能取两个值Sz=±/2

3、21.1 电子自旋算符和自旋波函数 在量子力学中，微观粒子的力学量用算符表示，由于自旋具有角动量的特征和量纲，运用角动量算符的普遍定义我们通过运用角动量算符的普遍定义A×A=一ihA写出电子自旋角动量算符的定义S×S=ihS其分量式为：Sx，Sy =ihSz：Sy ，Sz =ihSx Sz ，Sx =ihSy (1)根据角动量空间量子化的性质，设电子自旋量子数为s，则电子的自旋角动量沿空间特定方向的分量个2s+1=2(s=1/2)，因而S2算符的本征值为S2=s（s+1）h 2=3h2/4算符的本征值为Sz=msh（ms=±1/2）(力学量算符的本征值就是实验中的

4、观值推荐精选)任何电子都有相同的自旋角动量，引入无量纲的矢量算符（泡利算符）在z表象中：x= y= z=泡利算符是用自旋算符S=h/2来定义的，显然泡利算符与自旋算符只相差一个常数h/2，它是一个无量纲的算符,在z表象中，自旋角动量的分量算符的矩阵表示为：Sx=h/2 Sy= h/2 Sz= h/2 (2)S z在自身表象中为对角矩阵，对角矩阵元即为其本征值h/2，Sx ，Sy ，S z的本征值均为h/2。10：证明S2x，S2y ，S2z 算符都是常数算符。 因为S2x=h/2×h/2= h2/4= h2/4I= h2/4I 是单位矩阵，同理可证：Sy2 =S2z= h2/4从而可

5、以得到S2= S2x+Sy2+S2z=h2 同时由对易关系还可以得出S2，S=0（=x，y，z） 2： 证明 S2x，S2y ，S2z满足对易关系： Sx ,Sy=0，Sy ,Sz=0，Sz ,Sx=0因为 Sx ,Sy= Sx Sy+ Sy Sx=3/4h2 +=3/4h2+=0推荐精选同理可证：Sy ,Sz=0，Sz ,Sx=01 .2 电子自旋波函数 在Sz表象中，设Sz=h/2得本征函数为1/2（Sz），Sz=-h/2的本征态函数为-1/2（Sz）则电子自旋角动量的一般态可表示为： =c11/2（Sz）+c2-1/2（Sz）。3 （3） 当是，我们得到1/2（Sz）的矩阵表示为 1/2

6、（Sz）= （4） 当=时，我们得到-1/2（Sz）的矩阵表示-1/2（Sz）= = （5）1/2（Sz），-1/2（Sz）组成正交、归一完备系，他们时二分量波函数。以此为基失的表象就是Sz表象。现在我们来在Sz表象中秋求解Sx ，Sy的本征值对应的本征函数。为了计算的简洁方便，我们先求解在z表象中x，y的本征值对应的本征函数，而S的与对应的各分量的本征函数相同只是相应的本征值相差倍便可求出Sx ，Sy的本征值对应的本征函数。解在z表象中，x = .设x的本征值为，本征方程为 = 即，a=b.所以h b=a=2b，2=1，=±1推荐精选Sz的归一化本征态为 x=，=1 x= ，=-1

7、同样可以求出y=±1，对应本征函数： y= ， y=Sx ，Sy的为： 本征函数1/2（Sx）=，-1/2（Sx）= （6）1/2（Sy）= ，-1/2（Sy）= （7）（6）（7）两式可写成（3）式的形式：1/2（Sx） =1/2（Sz）+-1/2（Sz） -1/2（Sx）1/2（Sz）-1/2（Sz）1/2（Sy）=1/2（Sz）+i-1/2（Sz）,-1/2（Sy）=1/2（Sz）-i-1/2（Sz）.（2）式中的诸算符矩阵元可以直接算出：（Si）= (i=x,y,z; =±)由于S2x，S2y ，S2z和S2相互对易，因而它们有共同的本征函数：1/2（Sz）和-1/

8、2（Sz）。下面给出证明： 1o S2x，S2y ，S2z和S2的本征值都是唯一的（所以又称常数算符）3. 2o Sx，Sy在1/2（Sz）和-1/2（Sz）态的平均值，均为0。推荐精选 3o Sx2，Sy2在1/2（Sz）和-1/2（Sz）态的平均值等于它们的本征值. 证明 1o S2x1/2（Sz）= -1/2（Sz） 同理可证S2y ，S2z和S2的本征值都是唯一的.这种情况是二重简并.2o Sy 在1/2（Sz）的平均值()1=+1/2（Sy）1/2（Sz） = =0 同理可证Sx，在1/2（Sz）态的平均值=0 3o Sx2在-1/2（Sz）态的平均值 ()=+-1/2（Sz）Sx2

9、-1/2 = =;Sx在-1/2（）态的的平均值()2=+-1/2（Sz）Sx2+-1/2（Sz）=. 同理可证Sy2在1/2（Sz）和-1/2（Sz）态的平均值等于它们的本征值.2 电子轨道角动量与自旋角动量性质上的异同2.1相同点 在量子力学中决定算符本质属性的是它的对易关系,电子轨道角动量和自旋角动量的共性是它们的算符都满足角动量的普遍定义.电子的轨道角动量算符满足: L×L=ih2L ;电子自旋角动量算符满足: S×S=ih2 S.L2的本征值=(+1) h2 (=0,1,2,),L在空间任意方向的投影Lz=mh2 (m=0,±1, ±2,

10、77;,共2+1个值).S2的本征值S2=s(s+1) h2=(s=1/2) ,S在空间任意方向的投影Sz=msh(ms=±1/2,共2s+1个值).因而电子轨道角动量和自旋角动量的大小和方向都是量子化的.电子轨道角动量和自旋角动量与其相应的磁矩都是共线反向的关系: =L，s=S推荐精选2.2 不同点1o 电子的轨道用坐标（r，）表示，电子的自旋运动用自旋分量Sz表示。 2o 电子轨道角动量算符除了满足角动量的普遍定义外，还可在坐标表象中表示；L=r×p，r=i+j+k，p=ih.而电子自旋角动量算符只能用角动量的普遍定义来描述.自旋角动量算符间存在反对易关系： Sx ,S

11、y=0，Sy ,Sz=0，Sz ,Sx=0.3o L2的本征值个数一般大于活等于1，S2的本征值事唯一的. L在空间任意方向的投影Lz=mh2（m为整数）；S 在空间任意方向的投影Sz=msh（ms=±1/2）.自旋是一种量子效应，而轨道角动量则不是.在经典极限情况下（h0），自旋角动量（h/2）趋于零，但轨道角动量（(+1)1/2h）不趋于零，4 4。轨道磁矩与轨道角动量的关系式为： =B (=0，1，2， ) z=-mB (m=0,±1, ±2,±)，而电子磁矩与自旋角动量的关系式为： s=-B s，z=B；两者磁矩与角动量的关系式不相同4 电子自旋

12、旋磁比=是电子轨道旋磁比=的2倍，即电子自旋具有倍磁性.5o 郎德g因子是反映物质内部运动的物理量，它可以表示为：g=，5狄拉克理论计算的电子自旋的g因子g： 是2，电子轨道的g因子g是1精密的实验测量表明电子自旋的g因子g，不是严格的等于2，所以电子不可能是一个简单的点电荷分布体系63 结 语电子是已知物质中最轻的稳定粒子它是普通物质的组成部分，并能自由存在于空间1897年JJ汤姆逊研究阴极射线时发现电子，是第一个被确认的基本粒子由于电子自旋没有经典的类比，究竟电子自旋对应什么东西在转，现在还没搞清楚著名物理学家杨振宁说：推荐精选“我们已经对自旋有了毒终的描述了吗?我不这样认为， 目前的最新

13、研贫成果表明，在线度为10 m的范围内，电子的电荷分布没有呈现任何结构我们现在对电子自旋及其机制和性质的认识，仅仅是在实验和感性的层面上从历史上看，电子自旋先从实验上发现，然后狄拉克1928年在相对论量子力学中证明，电子的自旋先从实验上发现，然后狄拉克1928年在相对论量子力学中证明，电子的自旋自然地包含在狄拉克方程中电子轨道角动量这时不守衡，只有轨道角动量与自旋角动量之和，总角动量才是守衡量文献7认为，自旋角动量不是粒子的内禀性质，而是轨道角动量的相对论效应如何想象并描述电子的自旋?怎样给电子自旋找到一个直观和定性的解释?这是六十多年来一直困惑着物理学家们的基本问题从本质上说，电子自旋来源于一个物理体系在空间取向上的概率分布自旋究竟是什么，这个问题仍然悬而未决参考文献：1周世勋量子力学教程M北京：高教出版社，19791952宁宇辰，等量子力学自学辅导之十一 电子自旋(续)J大学物理，1994，13(12