第四章机械振动

1、第二篇振动与波振动和波动是物质的基本运动形式。在力学中有机械振动和机械波在电学中有电磁振荡和电磁波声是一种机械波光则是电磁波量子力学又叫波动力学。 第四章 机械振动教学时数：6学时本章教学目标了解简谐振动的动力学特征，掌握描述简谐振动的重要参量，理解简谐振动的运动学方程，知道弹簧振子的动能和势能随时间变化的规律；了解简谐振动的合成，掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程，了解同方向不同频率简谐振动的合成，了解阻尼振动、受迫振动、共振的含义。教学方法：讲授法、讨论法等教学重点：掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程机械振动：物体在某固定位置附近的往

2、复运动叫做机械振动，它是物体一种普遍的运动形式。例如活塞的往复运动、树叶在空气中的抖动、琴弦的振动、心脏的跳动等都是振动。广义地说，任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以叫做振动。例如交流电路中的电流、电压，振荡电路中的电场强度和磁场强度等均随时间作周期性的变化，因此都可以称为振动。§41 简谐振动的动力学特征简谐振动是振动中最基本最简单的振动形式，任何一个复杂的振动都可以看成是若干个或是无限多个谐振动的合成。 定义：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移z(或角位移口)随时间f按余弦(或正弦)规律变化，即 x = Acos(t + 0) 则这种振动称之为简谐振

3、动。研究表明，作简谐振动的物体(或系统)，尽管描述它们偏离平衡位置位移的物理量可以千差万别，但描述它们动力学特征的运动微分方程则完全相同。一、弹簧振子模型将轻弹簧(质量可忽略不计)一端固定，另一端与质量为m的物体相连，若该系统在振动过程中，弹簧的形变较小(即形变弹簧作用于物体的力总是满足胡克定律)，那么，这样的弹簧物体系统称为弹簧振子。如图所示，将弹簧振子水平放置，使振子在水平光滑支撑面上振动。以弹簧处于自然状态(弹簧既未伸长也未压缩的状态)的稳定平衡位置为坐标原点，当振子偏离平衡位置的位移为x时，其受到的弹力作用为 F= - kx 式中k为弹簧的劲度系数，负号表示弹力的方向与振子的位移方向相

4、反。即振子在运动过程中受到的力总是指向平衡位置，且力的大小与振子偏离平衡位置的位移成正比，这种力就称之为线性回复力。如果不计阻力(如振子与支撑面的摩擦力，在空气中运动时受到的介质阻力及其它能量损耗)，则振子的运动微分方程为此式就是描述简谐振动的运动微分方程能满足上式的系统，又可称为谐振子系统。二、单摆 如图所示，细线长为l，一端固定在A点，另一端系一质量为m的小球，不计细线的质量和伸长。细线在铅直位置时，小球在O点。此时作用在小球上的合外力为零，故位置。即为平衡位置。将小球稍微移离平衡位置O，小球在重力作用下就会在位置。附近来回往复的运动。这一振动系统称为单摆。把单摆在某一时刻离开平衡位置的角

5、位移作为位置变量，并规定小球在平衡位置右方时，为正；在左方时，为负。重力对A点的力矩为mglsin拉力T对该点的力矩为零，所以单摆是在重力矩作用下而振动。根据转动定律。得I = M = - mglsin式中负号表示重力矩的符号总是和sin的符号（即和角位移的符号）相反，I = ml2表示小球对A轴的转动惯量， 表示小球的角加速度。当角位移很小时(5º)，的正弦函数可用的弧度代替，所以式中摆长和重力加速度都是常量，而且均为正值。简谐振动的微分方程，可以归结为如下形式，即例：一质量为m的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在平衡位置附近的振动是简谐振动。证 如图所示，以平衡位置A为

6、原点，向下为x轴正向，设某一瞬时振子的坐标为x，则物体在振动过程中的运动方程为式中l是弹簧挂上重物后的静伸长，因为mg = kl，所以上式为于是该系统作简谐振动。§42简谐振动的运动学一、简谐振动的运动学方程如前所述，微分方程的解可写作 x = Acos(t + 0)式中A和0是由初始条件确定的两个积分常数，称为简谐振动的运动学方程。可见简谐振动的运动规律也可用正弦函数表示本教材对机械振动统一用余弦函数表示二、描述简谐振动的三个重要参量1.振幅A物体偏离平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值叫做振幅。将简谐振动的运动学方程和它对时间的一阶导数，将初始条件t = 0, x = x0,v

7、 = v0代入，得取二式平方和，即求出振幅2.周期、频率、圆频率物体作简谐振动时，周而复始完成一次全振动所需的时间叫做简谐振动的周期，用T表示。由周期函数的性质，有 频率：单位时间内系统所完成的完全振动的次数，用v表示 在国际单位制中，v的单位是“赫兹”(符号是Hz)。 圆频率(又称角频率)表示系统在2秒内完成的完全振动的次数 由上节讨论可知，简谐振动的圆频率是由系统的力学性质决定的，故又称之为固有(本征)圆频率。由此确定的振动周期称之为固有（本征）周期。例如：3.位相和初位相 我们把能确定系统任意时刻振动状态的物理量叫做简谐振动的位相(或称相位，周相)。两振动位相之差 = 2 - 1，称为位

8、相差。若位相差等于零或2的整数倍，则称两振动同步，如果两振动的振幅和频率也相同，则表明此时它们的振动状态相同。因此，对于一个以某个振幅和频率振动的系统，若它们的运动状态相同，则它们所对应的位相差必定为2或2n的整数倍。t = 0时的位相叫初位相0可见，初位相也是由初始条件确定。例：轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂一质量为m的物体设弹簧的劲度系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R若物体m在其初始位置时弹簧无伸长，然后由静止释放(1)试证明物体m的运动是谐振动；(2)求此振动系统的振动周期；(3)写出振动方程。 解 (1)若物体m离开初始位置的距离为b时，受力平衡，则此时以此平衡位置

9、为O坐标原点，竖直向下为x轴正向，当物体m在坐标x处时，由牛顿运动定律和定轴转动定律有联立以上5式解得所以，此振动系统的运动是谐振动。（2）由上面的表达式知，此振动系统的圆频率故振动周期为（3）依题意知t = 0时，x0=-b，v0=0，可求出振动系统的振动方程为例 已知如图（p126 图4-7）所示的谐振动曲线，试写出振动方程。解 设谐振动方程为 x = Acos(t + 0)。从图中易知A = 4cm，下面只要求出0和即可。从图中分析知，t=0时，x0=-2cm，且 （由曲线的斜率决定），代入振动方程，有-2 = 4cos0。故 ，又由v0=-Asin0<0，得sin0>0，因

10、此只能取 。再从图中分析，t=1s时，x=2cm，v>0，代入振动方程有同时因要满足故应取所以振动方程为用旋转矢量法也可以简单地求出谐振动的0和。如图4-8所示，在x-t曲线的左侧作Ox轴与位移坐标轴平行，由振动曲线可知，a，b两点对应于t=0s，1s时刻的振动状态，可确定这两个时刻旋转矢量的位置分别为和 。下面作详细说明：由a向Ox轴作垂线，其交点就是t=0时刻旋转矢量端点的投影点。已知该处x0=-2，且此刻v0<0，故旋转矢量应在Ox轴左侧，它与Ox轴正向的夹角 ，就是t=0时刻的振动位相，即初相；又由x-t曲线中b点向Ox轴作垂线，其交点就是t=1s时刻旋转矢量端点的投影点，

11、该处x=2cm且v>0，故此时刻旋转矢量应在Ox轴的右侧，它与Ox轴的夹角 就是该时刻的振动位相，即，解得=§43简谐振动的能量 以弹簧振子为例来说明谐振动的能量。 设振子质量为m，弹簧的劲度系数为k，在某一时刻的位移为x，速度为u，即x=Acos(t+0)v=-Asin(t+0)于是振子所具有的振动动能和振动势能分别为这说明弹簧振子的动能和势能是按余弦或正弦函数的平方随时间变化的。动能、势能和总能量随时间变化的曲线如图。显然，动能最大时，势能最小，而动能最小时，势能最大。简谐振动的过程正是动能和势能相互转换的过程。谐振动的总能量为即简谐振动系统在振动过程中机械能守恒。从力学观

12、点看，这是因为做简谐振动的系统都是保守系统此外，还说明谐振动的能量正比于振幅的平方、正比于系统固有角频率的平方。 动能和势能在一个周期内的平均值为动能和势能在一个周期内的平均值相等，且均等于总能量的一半 上述结论虽是从弹簧振子这一特例推出，但具有普遍意义，适用于任何一个谐振动系统。 对于实际的振动系统，我们可以通过讨论它的势能曲线来研究其能否作谐振动近似处理。设系统沿x轴振动，其势能函数为E。(x)，如果势能曲线存在一个极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置，在该位置(取x=O)附近将势能函数用级数展开为由于在x=0的平衡位置处有 ，若系统是作微振动，当可略去x3以上高阶无穷小，得到根据保守力与

13、势能函数的关系将上式两边对x求导可得这说明，一个微振动系统一般都可以当作谐振动处理。例：光滑水平面上的弹簧振子由质量为M的木块和劲度系数为k的轻弹簧构成现有一个质量为m，速度为u0的子弹射人静止的木块后陷入其中，此时弹簧处于自由状态。(1)试写出该谐振子的振动方程；(2)求出x=A/2处系统的动能和势能。解 (I)子弹射入木块过程中，水平方向动量守恒设子弹陷入木块后两者的共同速度为V0，则有 mu0=(m+M)V0取弹簧处于自由状态时，木块的平衡位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向，并取木块和子弹一起开始向右运动的时刻为记时起点，因此初始条件为x0=0,v0=V0>0,而子弹射入木块后谐

14、振系统的圆频率为设谐振系统的振动方程为x=Acos(t+0)，将初始条件代入得联立求出所以谐振子的振动方程为（2） 时谐振系统的势能和动能分别为§44简谐振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成设质点同时参与两个同方向同频率的谐振动x1=A1cos(t+10)x2= A2cos(t+20)因两分振动在同一方向上进行，x= x1+ x2= A1cos(t+10)+ A2cos(t+20)利用三角恒等式，上式可化为x=Acos(t+0)式中合振幅A和初相值0分别为由此可见，同方向同频率的简谐振动的合成振动仍为一简谐振动。利用旋转矢量讨论上述问题则更为简洁直观。如图,取坐标轴Ox，画出两分

15、振动的旋转矢量A1和A2，它们与X轴的夹角分别为10和20，并以相同角速度逆时针方向旋转。因两分矢量A1，A2的夹角恒定不变，所以合矢量A的模保持不变，而且同样以角速度旋转。图中矢量A即t=0时的合成振动矢量，任一时刻合振动的位移等于该时刻A在x轴上的投影，即x = Acos(t + 0)合振动的振幅与两分振动位相差之间的关系（1） 位相差20-10=±2k时，k=0，1，2，···即两分振动位相相同时，合成振幅最大。（2） 位相差20-10=±(2k+1)时，k=0，1，2，···即两分振动位相相反时，合成振幅最

16、小。一般情况下，合振幅在A1+A2在|A1-A2|之间。二、同方向不同频率简谐振动的合成设质点同时参与两个同方向，但频率分别为1和2的简谐振动。设两分振动的振幅相同，且初相均等于，即x1=Acos(1t+) x2= Acos(2t+)合振动的位移为x=x1+ x2= Acos(1t+)+ Acos(2t+)利用三角恒等式可求得这时式中第一项因子 的周期要比另一因子 的周期长得多。表示的运动看作是振幅按照 缓慢变化，而圆频率等于 的“准谐振动”，这是一种振幅有周期性变化的“简谐振动”。或者说，合振动描述的是一个高频振动受到一个低频振动调制的运动，这种振动时大时小的现象叫做“拍”。由于振幅只能取正

17、值，因此拍 的圆频率应为调制频率的2倍，即拍=|2-1|于是拍频为拍频等于两个分振动频率之差。拍现象在声振动，电磁振荡和波动中经常遇到。例:已知两个谐振动的xt曲线如图所示，它们的频率相同，求它们的合振动方程。解 由图中曲线可以看出，两个谐振动的振幅相同A1=A2=A=5cm，周期均为T=0.1s，因而圆频率为由x-t曲线（1）可知，谐振动（1）在t=0时，x10=0，v10>0，因此可求出（1）振动的初位相 又由x-t曲线（2）可知，谐振动（2）在t=0时，x20=-5= -A，因此可求出（2）振动的初位相20=±。由上面求得的A，和10，20，可写出振动（1）和（2）的振动

18、方程分别为因此合振动的振幅和初相分别为但由x-t曲线可知t=0时，x=x1+ x2= -5cm，因此，0应取 ，故合成谐振动方程为 。方法2：矢量旋转法从x-t曲线分析出两个分振动（1）和（2）的振动方程后，用旋转矢量法求合振动方程更简单一些。如图4-17所示，我们在取定了Ox轴的原点后，分别画出两个旋转矢量 和 代表两个谐振动（1）和（2），其中 ，由 与 两个矢量合成的矢量 就是代表合振动的旋转矢量，由矢量合成的方法，从图中很容易求出合振动振幅和初相分别为合振动方程为§45 阻尼振动 受迫振动 共振 一、阻尼振动 这种振幅随时间不断衰减的振动叫做阻尼振动。下面讨论的是谐振子系统受

19、到弱介质阻力而衰减的情况。弱介质阻力是指当振子运动速度较低时，介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比，即这时阻力为称为阻力系数，与物体的形状、大小、物体的表面性质及介质性质有关。仍以弹簧振子为例，这时振子的动力学方程为式中0是系统的固有角频率，称阻尼系数。当<<0时，称为弱阻尼，其方程的解为x = A0e-tcos(t+0)A0和0依然是由初始条件确定的两个积分常数。阻尼越大（在<<0范围内）振幅衰减越快，阻尼振动的准周期为可见，阻尼振动的周期比系统的固有周期长。若>0，称为过阻尼，此时方程的解为这时系统也不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置。应用：各类机器的

20、防震器，大多采用一系列的阻尼装置；有些精密仪器，如物理天平，灵敏电流 计中装有阻尼装置并调至临界阻尼状态，使测量快捷、准确。 二、受迫振动 阻尼振动又称减幅振动。要使有阻尼的振动系统维持等幅振动，必须给振动系统不断地补充能量，即施加持续的周期性外力作用。振动系统在周期性外力作用下发生的振动叫做受迫振动这个周期性外力叫做策动力。 为简单起见，假设策动力取如下形式 F = F0cospt式中F0为策动力的幅值，p为策动力的频率。以弹簧振子为例，讨论弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动，其动力学方程为该方程的解为x = A0e-tcos(t +0)+A cos(pt +)解的第一项实际上是在弱阻

21、尼下的通解，随着时间的推移，很快就会衰减为零，故第一项称为衰减项。第二项才是稳定项，即稳定解为x=Acos(pt+)稳定受迫振动的频率等于策动力的频率。用待定系数法可确定稳定受迫振动的振幅为说明，稳定受迫振动的振幅与系统的初始条件无关，而是与系统固有频率、阻尼系数及策动力频率和幅值均为有关的函数。 三、共振共振是受迫振动中一个重要而具有实际意义的现象，下面分别从位移共振和速度共振两方面加以讨论。 1.位移共振对于一个给定振动系统，当阻尼和策动力幅值不变时，受迫振动的位移振幅是策动力角频率p的函数，它存在一个极值。受迫振动的位移达极大值的现象称为位移共振。将并令 ，可求出位移共振的角频率满足显然，共振位移的大小与阻尼有关。2.速度共振系统作受迫振动时，其速度也是与策动力角频率相关的函