2021年高考数学基础突破集合与函数2函数的概念及其表示

1、2021年高考数学根底突破一一集合与函数2.函数的概念及其表示【知识梳理】1 函数与映射的概念函数映射两集合A B设A, B是两个非空的数集设A, B是两个非空的集合对应关系f :B如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集 合A中的任意一个数X,在集合B中都有唯 一确定的数f (x)和它对应如果按某一个确定的对应关系 f,使对 于集合A中的任意一个兀素 x,在集合 B中都有唯一确定的元素 y与之对应名称称f : At B为从集合A到集合B的一个函 数称对应f : At B为从集合A到集合B 的一个映射记法y= f (x)( x A)对应f : At B是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定

2、义域、值域在函数y = f(x), x A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| x A叫做函数的值域.显然, 值域是集合B的子集.(2) 函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(3) 相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，那么这两个函数相等， 这是判断两函数相等的依据.(4) 函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.3. 分段函数假设函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表 示，这种函数称为分段函数.4. 常见函数定义域的求法(1) 分式函数中分母不等于零.(2)

3、偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3) 一次函数、二次函数的定义域为R.(4) y = a (a>0 且 a* 1), y= sin x, y = cos x,定义域均为 R.(5) y = tan x 的定义域为x | x k ,k Z .25. 根本初等函数的值域4ac b2y| y4a；当 a< 0(1) y = kx + b(k* 0)的值域是 R.(2) y = ax2 + bx+ c( a*0)的值域是：当 a> 0时，值域为4ac b2时，值域为y| ywk(3) y = -(k* 0)的值域是y| y * 0.x(4) y = ax(a>0 且 a*

4、1)的值域是y|y>0. y = log ax(a> 0且a* 1)的值域是 R. y = sin x, y= cos x 的值域是1, 1. y = ta n x的值域是R.【根底考点突破】考点1.函数的根本概念【例1】M= x|0 w x< 2, N= y|0 < yw 3，给出以下四个图形，其中能表示从集合M到集变式训练1.试判断以下各组中的函数.2个D. 3个 f (x)与g(x)是否表示同一个函数，并说明理由. f(x)=(x- 1)0, g(x) = 1;(3) f(x)=x2, g(x)=(x+1)2;f(x) = x, g(x) = x2； f(x) =

5、 |x| , g(x) = x2.考点2.分段函数【例2】假设函数f (x)x 2,x x2, 2 x 2x,x 2(1)求 f( - 5) , f( - 3) , ff( 3)的值；(2)假设 f (a) = 3,求a的值.变式训练2.(1)【2021年高考北京理数】设函数 f (x)x3 3x, x a2x,x a围是假设a0,那么f(x)的最大值为；假设f(x)无最大值，那么实数 a的取值范(2)作出函数 y = 2|x 1| 3|x|的图象.考点3.求函数解析式【例3】(1)反比例函数f(x)满足f(3) =- 6,求f(x)的解析式; (2)次函数 y = f (x), f(1) =

6、 1, f( 1) = - 3，求 f(3).1 i + x 1 变式训练3.f(1 + -)=-厂+ -，试求f(x).x x x考点4.函数的定义域【例4】求函数y二1的定义域.x2的定义域是变式训练4. ( 1)【2021高考江苏卷】函数 y(2)函数 f(x) = lg(1 2x)的定义域为A.(m, 0.(s, 0) C.)10, 21D.s, 2考点5.【例5】函数的值域求函数y2x(x 0,3)的值域.变式训练5.求函数f (x) = x - _ 1 - 2x的值域A. 1,0,3 B . 0,1,2,3 Cy| iw yw3D. y|0 w yw 35. 函数fx由下表给出，那

7、么f3等于A. 1x1234f(x)3241B. 2 C . 3D. 4x6. f(2 1) = 2X+ 3,且 f (m) = 6,贝 y m 等于()A.B.C.D.【根底练习】1以下四组式子中，fx与gx表示同一函数的是A.f (x)= 4x4,g(x)= (4,''x)4B.f(x) = x, g(x) =x3C.f (x) = x, g(x) = ( ；'x)2D.x2 4.f(x) = x + 2 , g(x) = x 22.f(x) = x + x + 1,那么 ff(1)的值是)A.11B . 12C . 13D.103.函数x + 10y=的定义域是(

8、j x| x)A.(0，+m)B.(m, 0)C.(3 1) U ( 1,0)D.(3, 1) u ( 1,0) U (0 ,+3)4.函数y= x2 2x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为7. 等腰三角形的周长为20,底边长y是一腰长x的函数，那么A. y = 10 x(0<xw 10)B . y= 10 x(0< x<10) C . y= 20 2x(5 w xw 10) D . y=20 2x(5<x<10)&函数f(x)1 ,x x 1.x 1,x1，那么f等于1B.A. 0| x|9.函数f x = x +_的图象是xJLiL JL JL工0

9、r丿AEc02x, Ow xw 1,10.函数f(x) = 2, 1<x<2,的值域是()3, x>2a. 0 ,+8)B .RC.0,3D. 0,2 U 311.a、b为实数，集合M b,1,N= a, 0, f: xtx表示把集合 M中的兀素x映射到集合N中仍为x,那么a+ b的值为()A. 1B.0 C.1D.±l12.映射f: AtB,其中集合 A= 3, -2, - 1,123,4，集合B中的元素都是集合A中某个元素在映射f下对应的元素，且对任意的a A,在B中和它对应的元素是| a| ,那么集合B中的元素的个数是()16.17.13.设a<b,函数

10、y= (x a)2(x b)的图象可能是(14.A. 4 B . 5 C . 6 D . 7F图中能表示函数关系的是15.的值域是2函数 y= x 4x+ 6, x 1,5)2x + 2, xw2, 设函数f (x)=2x, x>2,那么 f ( 4)=,又 f ( xo) = 8,那么 Xo =3x + 1, x>0,18.设 f (x) =2x , x<0,22 x , x w 1,g(x)=门 彳那么 fg( n)=2, x>1,gf (2)19.全集U= R,函数y = x 2+ x + 1的定义域为 A,函数2x + 4x 3的定义域为B(1) 求集合 a,

11、B (2)求(?UA) U (?uE).20二次函数f(x)满足 f(0) = 0,且对任意 x R 总有 f(x+ 1) = f(x) + x + 1,求 f(x).2021年高考数学根底突破一一集合与函数2.函数的概念及其表示(教师版)【知识梳理】1 函数与映射的概念函数映射两集合A B设a B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f : At B如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集 合A中的任意一个数X，在集合B中都有唯 一确定的数f (x)和它对应如果按某一个确定的对应关系 f，使对 于集合A中的任意一个兀素 x，在集合 B中都有唯一确定的兀素 y与之对应名称称f : A

12、t B为从集合A到集合B的一个函 数称对应f : At B为从集合A到集合B 的一个映射记法y= f (x)( x A对应f : At B是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y = f(x), x A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| x A叫做函数的值域.显然, 值域是集合B的子集.(2) 函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(3) 相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，那么这两个函数相等, 这是判断两函数相等的依据.(4) 函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.

13、3.分段函数假设函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表 示，这种函数称为分段函数.4. 常见函数定义域的求法(1) 分式函数中分母不等于零.(2) 偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3) 一次函数、二次函数的定义域为R.(4) y = a (a>0 且 az 1), y= sin x, y = cos x,定义域均为 R.(5) y = tan x 的定义域为 x|x k ,k Z .25. 根本初等函数的值域(1) y = kx + b(kz 0)的值域是 R.2 一4ac b(2) y = ax + bx+ c( a*0)的值域是：当a> 0时，

14、值域为 y| y?4a；当a< 0时，值域为y| yw4ac b24ak y = _( k* 0)的值域是y| y丰0.x y = ax(a> 0 且 a * 1)的值域是y|y > 0.(5) y = log ax(a> 0 且 a* 1)的值域是 R. y = sin x，y= cos x 的值域是1， 1.(7) y = tan x的值域是 R.【根底考点突破】考点1.函数的根本概念【例1】M= x|0 w xw 2, N= y|0 < y< 3，给出以下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()不是同一个函数；(2) 定义域相同都是 是同

15、一个函数；(3) 定义域相同都是(4)定义域相同都是R,解析式化简后都是 y = | x| ,也就是对应关系相同,故是同一个函数.A. 0个B. 1个C.2个D. 3个【答案C【解析】用x = a,ow aw2动直线去截图象，哪个始终只有一个交点，哪个就表示具有函数关系.由图可知，图(2)(3)都具有这一性质，而(1)(4)那么不具有这一性质，所以有 2个具有函数关系.变式训练1.试判断以下各组中的函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，并说明理由.(1) f (x) = (x 1)0, g(x) = 1;(2)f (x) = x, g(x) = x2; f (x)=x2,g(x) = (x

16、+ 1)2;(4)f (x)= | x| , g(x)=x2.【解】(1)f(x)的定义域是x|x R,且x丰1 , g(x)的定义域是R,它们的定义域不同，故R,但是g( x) = | x| ,即它们的解析式不同， 也就是对应关系不同，故不R,但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数；考点2.分段函数x + 2 xw 2 【例2假设函数f (x) = x 2<x<22x x >2.(1)求 f( 5) , f( 3), ff( 3)的值；(2)假设 f(a) = 3，求 a 的值.【解析(1) f( 5) = 5+ 2 = 3, f( 3) = ( 3)2

17、 = 3, f f( ,3) = f(3) = 2X 3=6.假设a+ 2=3，贝U a= 1> 2不成立，舍去； 假设 a2= 3，贝U a=±3, 2<± . 3<2成立;3x3 3x, x a2x,x a 假设2a= 3,那么a= 2<2不成立，舍去.变式训练2.(1)【2021年高考北京理数设函数 f (x)假设a 0，那么f (x)的最大值为 ；假设f(x)无最大值，那么实数 a的取值范围是【答案】2 , (, 1).【解答】解：假设a=0,那么f(x)x3 3x, x2x,x 00，那么 f (x)3x2 3,x 02,x 0'当

18、x V- 1时，f (x)0 ,此时函数为增函数；当 x>- 1时，f (x)0 ,此时函数为 减函数,故当x 1时，f (x)的最大值为2. f(X)23x 3,x2,x aa，令 f (x)0，那么x=± 1，假设f (x)无最大值,2aa3 3aa 1或 2a a3 3a，解得：a (, 1).2a 2(2)作出函数y = 2|x 1| 3|x|的图象.【解析】当 x<0 时，y= 2(x 1) + 3x = x + 2; 当 0wx<1 时，y= 2(x 1) 3x= 5x + 2; 当 x> 1 时，y = 2(x 1) 3x = x 2,2,x01

19、 ,依上述解析式作出图象如以下图考点3.求函数解析式【例3】(1)反比例函数f(x)满足f (3) = 6,求f (x)的解析式；(2) 一次函数 y = f (x) , f (1) = 1, f( 1) = 3，求 f(3).kk,18【解析】(1)设反比例函数f (x) = x( k丰0),那么f (3) = 3= 6,解得k = 18,故f (x) = .x3x(2)设一次函数 f (x) = ax+ b(a0), v f (1) = 1, f( 1) = 3,a+ b= 1a= 2，解得， f(x) = 2x 1. f (3) = 2X 3 1 = 5.a+ b= 3b= 1变式训练3

20、.f(111 + x2 1 r ,+ x)厂 + x，试求 f(x).一 1 1【解析】解法一：(换兀法)令t = 1 + -，那么t ( g, 1) U (1 ,+s)，于是x =-xt 11 + X 122代入一+ x 中，可得 f(t) = t t + 1,即 f(x) = x x+ 1, x ( g,1) U (1 , +g).z.z.2 211 + x 1 x + 2x+ 1 2x 11 21f解法二：(配凑法)f(1 +-) = 丁 +-=22 + -= (1 +-)2 (1 +-) + 1,因为x x x x x x xx1 21 + -丰 1,所以函数解析式为f (x) = x

21、 x+ 1, x (g, 1) U (1 ,+g).x考点4.函数的定义域 【例4】求函数y丄的定义域.y - 2【解析】要使函数解析式有意义，由x 1 0解得x> 1且x工2,所以函数定义域为x|x>x 201 且 XM2.变式训练4. ( 1)【2021高考江苏卷】函数 y(2)函数f (x) = lg (1 2x)的定义域为(A. ( g, 0 B . (g, 0) C.【解析】(1)要使函数有意义，必须3 2x3 2x x2的定义域是)110, 2D.g,220 ,即 x2 2x 30 ,3 x 1故应填： 3,11 2>0,(2)要使函数有意义，应满足解得x<

22、0,应选A.lg (1 2-)> 0,考点5.函数的值域【例5】 求函数y = x + 2x( x 0 , 3)的值域.【解析】(1)(配方法)y = x2+ 2x= (x+ 1)2 1，因为y= (x+ 1)2 1在0 , 3上为增函数, 所以 0W y< 15,即函数 y = x + 2x(x 0 , 3)的值域为0 , 15.于是 y=号t = f(t +变式训练5.求函数f (x) = x 1 2x的值域解：法一：(换元法)令1 2x = t，贝U t?0且x= 打，1)2 + 1,由于t >0,所以y< 1，故函数的值域是 一g, 1 .法二：(单调性法)f(

23、x)的定义域为12即函数的值域是1a ,2 .【根底练习】1.以下四组式子中,f (x)与g(x)表示同一函数的是()A. f(x) = 4 x4, g(x) = (4 ：'x)4.f(x) = x, g(x)=扳C. f(x) = x, g(x) = ( 'x)2.f(x)=宇,g(x) = x 21 1 a, 2，容易判断f(x)为增函数，所以f(x) W f 2答案：B对应关系、值域都相同.解析：A、C D定义域不同，B定义域、2. f(x) = x2+ x + 1,那么 f f (1)的值是(A. 11B. 12C. 13D.10解析:f f (1) = f (3) =

24、 9+ 3 + 1 = 13.答案:3.函数y=-x + 1 0 的定义域是xA. (0，+m).(-m, 0)C. ( a.1) U ( 1,0).(a, 1) U ( 1,0) U (0，+a)解析：由题知x + 1工 0,|x|>x , x<0 且 x 1,即定义域为(a, 1) U ( 1,0).答案：C4.函数y= x2 2x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为A. 1,0,3B.0,1,2,3C. y| K y < 3D.y|0 w yw 32x+ 3,且 f (m) = 6,贝U m等于()解析：x = 0, y= 0; x = 1, y = 1; x = 2

25、, y= 0; x= 3, y = 3,.值域为 1,0,3.答案：A5.函数f(x)由下表给出，那么f(3)等于()-r x6. f(2 1)=1A 4 B.解析：令2x + 3= 6,x= 3，所以m= 2 1 = 2x ! 1 = 1,或先求f(x)的解析式,再由f ( m) = 6，求m.答案：A7.等腰三角形的周长为20,底边长y是一腰长x的函数，贝y ()A. y = 10-x(O<xw 10).y = 10-x(0<x<10)C. y = 20 2x(5 < x< 10).y = 20 2x(5<x<10)解析： 2x+ y= 20,.

26、y= 20 2x，解不等式组答案：D函数f (x)1 ,x x 1.x 1,x1，那么f等于(1A. 0B.解析:答案:f(2) = 2 1 = 1.C函数f(x) = x + 凶的图象是(x202x 0x y 20 2x，得 5<x<10.0JLiL JL工0rr丿I"AEC0画出f(x)的图象可知选x+1, x>0,解析：f(x)=x1, x<0,C.答案：C10 .函数 f(x) = 2,3,2x, 0w xw 1,1<x<2,的值域是()x >2A. 0 ,+s)C . 0,3 D.0,2 U 3答案：D11.a、b为实数，集合M=

27、£, 1, N= a,0, f: xtx表示把集合 M中的元素x映射A. 1 B . 0 C . 1D.±l答案：C12.映射f :中某个元素在映射xtx,. M= N.At B,其中集合a= 1,- ba"A= 3, 2,f下对应的元素，且对任意的合B中的元素的个数是()A. 4 B . 5 C . 6 D . 7解析:J | ±3| = 3, | ±2| = 2, | ± 1| = 1,答案：A解得 a= 1, b = 0.二 a + b = 1.1,123,4，集合B中的元素都是集合 Aa A,在B中和它对应的元素是| a|，那

28、么集|4| = 4 , B= 1,2,3,413.设a<b,函数y= (x a)2(x b)的图象可能是(解析：由于f (a) = 0, f(b) = 0，那么函数的图象过点(a, 0) , ( b,0). 当x<b时，贝U x b<0, (x a)2>0,此时f(x)<0，即在区间(一汽 数的图象位于x轴下方，排除 A B、D.a) U(a, b)上，函答案：C14.以下图中能表示函数关系的是(2)、(4)均符合函解析：(3)中元素2对应着两个元素1和3,不符合函数定义.(1)、 数定义.答案：115设 f(x) = x，那么 ff(x) =.解析:答案: 216.函数 y= x 4x+ 6, x 1,5)的值域是解析：画出函数的图象，如右图所示,观察图象可得图象上所