2021版高中数学第二章函数2.1.3函数的单调性学案新人教B版必修1

1、2. 1.3 函数的单调性【学习目标I 1.理解函数单调区间、 单调性等概念 2会划分函数的单调区间，判断单调性 3会用定义证明函数的单调性.ET问题导学 知识点一函数的单调性思考 画出函数f(x) = X、f(x) = x2的图象，并指出f(x) = X、f(x) = x2的图象的升降情况如何？梳理1.设函数y =f(x)的定义域为A,区间M? A,如果取区间 M中的两个值xi,X2，改变量，那么当时，就称函数 y= f (x)在区间 M 上是增函数，如图(1);当时，就称函数y= f (x)在区间M上是减函数，如图(2).1)9(212 .如果函数y= f (x)在某个区间M上是增函数或是

2、减函数，就说y= f(x)在这个区间 M上具有(区间M称为单调区间).特别提醒：函数单调性定义的理解(1)任意性，即“任意取 Xi, X2，不能取两个特殊值.Xi , X2有大小，通常规定 X = X2 X1> 0.(3) Xi, X2同属于定义域的某个子区间.知识点二 函数的单调区间2 1思考 我们已经知道 f(X)= X的减区间为(一8, 0 , f (x)=-的减区间为(一8, 0)，这两 X个减区间能不能交换？梳理一般地，有以下常识：(1) 函数单调性是对于定义域内的某个区间而言的，即单调区间是定义域内的某个子区间.(2) 函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性

3、问题，所以单调区间的端点假设属于定义域，那么该点处区间可开可闭，假设区间端点不属于定义域，那么只能开.单调区间D?定义域I.(4)遵循最简原那么，单调区间应尽可能大.函题型探究类型一求单调区间并判断单调性例1如图是定义在区间5,5上的函数y = f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，分开，不能用“ U，可以用“和来表示；在单调区间 D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.跟踪训练1写出函数y=|x2 2x 3|的

4、单调区间，并指出单调性.类型二证明单调性命题角度1证明具体函数的单调性 例2证明f(x) = x在其定义域上是增函数.反思与感悟运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取X1, X2且X1<X2的条件下，转化为确定 f(Xi)与f(X2)的大小，要牢记五大步骤：取值T作差 T变形T定号T小结.1跟踪训练2 求证：函数f(x) = x+ -在1 ,+)上是增函数.X命题角度2证明抽象函数的单调性 例3 函数f (x)对任意的实数 x、y都有f(x + y) = f (x) + f (y) 1，且当x>0时,f (x)>1. 求证：函数f (x)在R上

5、是增函数.反思与感悟因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(Xl) f(X2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定 f(xi) f(X2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值.跟踪训练3 函数f (x)的定义域是 R,对于任意实数 m n,恒有f (耐n) = f ( n) f(n), 且当x>0时，0<f(x)<1.求证：f (x)在R上是减函数.类型三单调性的应用命题角度1利用单调性求参数范围3a 1 x+ 4a,4假设函数f (x)=ax, x>1x<1,是定义在R上的减函数，那么a的取值范围为A.1 18, 3)B.1(°，1)1

6、 11、c.【8，+)d.( g, 8】u】3，+a)反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要保证在接口处不能反超另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的.跟踪训练 4 函数f(x) = x2 2ax 3在区间1,2上单调，那么实数 a的取值范围为命题角度2用单调性解不等式例5y= f(x)在定义域(一1,1)上是减函数，且f(1 a)<f (2 a 1)，求a的取值范围.反思与感悟 假设函数f (X)的单调性，那么由X1 , X2的大小，可得f(X1), f(X2)的大小；由 f(X1), f(X2)的大小，可得 X1 , X2的大小.跟踪训练5 在例5中

7、假设函数y = f(X)的定义域为R,且为增函数，f(1 a)<f (2 a 1)，那么a 的取值范围又是什么？当堂训练1函数y = f(X)在区间2,2上的图象如下图，那么此函数的增区间是()X1,X2 (0 , +8),当 Xi<X2 时，都有 f ( xi)> f(X2)的是()2A. f (x) = xA.2,0B.0,1C.2,1D.1,12.6函数y = -的减区间是()XA.0 ,+8 )B.(8,0C.(, 0) , (0 ,+m )D.(8,0) U (03.在以下函数f (x)中，满足对任意,+m)1B f(x) = xC. f(x) = |x|D. f

8、(x) = 2x + 14 .函数y= f (x)满足：f ( 2)>f ( 1) , f( 1)<f(0)，那么以下结论正确的选项是()A. 函数y = f (x)在区间2, 1上单调递减，在区间1,0上单调递增B. 函数y =f(x)在区间2, 1上单调递增，在区间1,0上单调递减C. 函数y = f (x)在区间2,0上的最小值是f ( 1)D. 以上的三个结论都不正确5 .假设函数f (X)在R上是减函数，且f (| x|)> f (1)，那么x的取值范围是()A. x<1B. x> 1C. 1<x<1D. x< 1 或 x>1规律

9、与方法 11.假设f (x)的定义域为D,A?D,B?D,f(x)在A和B上都单调递减，未必有f (x)在AU B上单调递减.2 .对增函数的判断，当 x = X2 X1> 0时，都有 y= f(X2) f(x" > 0，也可以用一个不等式来替代：f X1 f X2(X1 X2) f(xj f(X2)>0 或>0.对减函数的判断，当 x = X2 X1 > 0 时，都X1 X2有 y = f(X2) f(x" v 0,相应地也可用一个不等式来替代：(X1 X2)f(x" f(X2)<0 或f X1 f X2<0.X1 X2

10、3 .熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.4.假设f (x), g(x)都是增函数，h(x)是减函数，贝U：在定义域的交集(非空)上，f(x) + g(x)1单调递增，f(x) h(x)单调递增，一f(x)单调递减，f x单调递减(f(x)丰0).5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比拟.合案精析问题导学知识点一思考 两函数的图象如下:右侧是上升的.y轴左侧是下降的，在 y轴梳理>0 y = f(X2)- f(xj v02.单调性1 .任意 x = X2-xi> 0 y = f(X2) - f (xi)知识点二思考 f

11、(x) = x2的减区间可以写成(一a, 0)，而f(x) = x的减区间(一a, 0)不能写成(一a,x10，因为0不属于f(x)= -的定义域.x题型探究例 1 解 y = f(x)的单调区间有5, - 2 , - 2,1 ,1,3 ,3,5，其中 y = f (x)在区间 -5,- 2 , 1,3上是减函数，在区间2,1 , 3,5上是增函数.x - 2x - 3, x<- 1 或x>3,跟踪训练1解先画出f (x) =2的图象，如图.-x - 2x- 3, - K x<3所以y=|x2 2x- 3|的单调区间有(一a, 1 , - 1,1 , 1,3 , 3 ,+a

12、)，其中单调减 区间是(一a , - 1 , 1,3；单调增区间是1,1 , 3 , +a).例2 证明f (x) = x的定义域为0 , +a ).设X1 , X2是定义域0 , +a )上的任意两个实数，且X1<X2 ,贝U x = X2-X1> 0 , y = f(xi) f(X2)= xi X2= 伍1_护2商+仆+弊Xi X2,Xi+ ：X2/ 0< Xi<X2,二 Xi X2= A x<0,xi+ X2>0,:. y= f (xi) f (X2)<0 , f (x) = x在它的定义域0,+s)上是增函数.跟踪训练2 证明 设Xi, X2是

13、1 ,)上的任意实数，且X1<X2，贝U X = X2 Xi> 0 , y = f(xi) f (X2)ii=Xi+X；(X2+X2)i i=(XiX2) + (XiQ)X2 Xi=(Xi X2) + Ki= (Xi X2)(i -賦2)XiX2 i=(Xi X2)().XiX2TiW Xi<X2,二 Xi X2<0,i< XiX2,XiX2 i>0,XiX2.,XiX2 i故(Xi X2)(- )<0 ,XiX2即 y= f (Xi) f (X2)<0 ,i f (x) = x+ -在区间i ,+)上是增函数.X例3证明 方法一设Xi, X2是

14、实数集R上的任意两个实数，且Xi>X2.令x+ y = Xi, y= X2,那么 x = Xi X2>0. y = f(xi) f(X2) = f (x+ y) f(y) = f (x) + f (y) i f(y) = f (x) i./ x>0,. f (x)>i , f (x) i>0, f (Xi) f(X2)>0 ,即 f (Xi)>f (X2).函数f(x)在R上是增函数.方法二 设 Xi>X2，贝U Xi X2>0,从而 f(Xi X2)>1 ,即 f (Xi X2) 1>0.f (Xi) = f X2 + ( X

15、i X2) = f(X2) + f ( Xi X2) 1>f ( X2),故f (X)在R上是增函数.跟踪训练3 证明t对于任意实数 m n,恒有f (mF n) = f(m f(n),令m= 1, n= 0，可得 f(1) = f(1) f(0),当 x>0 时，0vf (x) v 1,. f(1)工0,. f(0) = 1.令 m= xv 0, n= x>0,那么 f ( mF n) = f (0) = f ( x) f (x) = 1，二 f (x)f ( x) = 1,又 t x > 0 时，0 v f ( x) v 1,1f (x) = f一> 1.对任意实数x, f(x)恒大于0.设任意 X1<X2，贝U X2 X1>0, 0<f (X2 x"<1 , f (X2) f (X1) = f( X2 X1)+ X1 f (X1) = f (X2 X1)f (X1) f ( X1) = f (X1) f ( X2 X1) 1<0 , - f