大学导数的应用

1、第3章微分中值定理与导数的应用3.1.1罗尔定理定理3.1如果函数y = /(x)满足：(1) 在闭区间6z, 上连续；(2) 在开区间(a, z0内可导;(3) /=/.那么，在(仏的内至少存在一点使得no.这就是罗尔(rolle)定理.这个定理的几何解释如图所示，如果连续曲线y = /(x)在开区间(6z，/?)内的每一点处 都存在不垂直于x轴的切线，并且两个端点a、处的纵坐标相等，即连结两端点的直线 /ifl平行于x轴，则在此曲线上至少存在一点c(f，/(f),使得曲线y = /(x)在点c处 的切线与x轴平行.3.1.2拉格朗日中值定理定理3. 2如果函数y = /(x)满足：(1)

2、在闭区间tz，/?上连续；(2) 在开区间(/7, z?)内可导那么，在內，至少存在一点使得勝 22.(wb-a也可以写成f(b)-f (a) = f)(“)这就是拉格朗日(lagrange)中值定理.在此定理中，如果区间仏/?的两个端点处 的函数值相等，就变成了罗尔定理.也就是说，罗尔定理是拉格朗h定理的特殊情况.拉格朗日定理的几何解释如图3-2所示，若y = /(x)是闭区间仏/?上的连续曲线弧段8b,连接点a(a /(tz)和点b(b, f(b)的弦的斜率为八巧一，而弧段 b-a上某点c«，/«)的斜率为/(0.定理3.2的结论表明：在曲线弧段wb上至少存在一 点恥)

3、，使得曲线在点c处的切线与曲线的两个端点连线ab平行.图3-2拉格朗口定理有两个推论：推论1如果在区间(tz，的内，函数y = /(x)的导数/(x)恒等于零，那么在区间 (以，&)内，函数y = /(x)是一个常数.证明在区间oa/?)内任取两点xp (戋<x2),在xpx2上，用拉格朗日中值定 理，有/(义2 )-.,(久1) = /ox2-x,)(x, <<x2).由于函数y =/co的导数恒等于零，所以/(x2) = /(%,).这说明在区间(6z，的内，函数y =的在任何两点处的函数值都相等.故在区间(a，z?)内，函数;y = /(x)是一个常数.推论2如

4、果在区间(tz，/?)內，fx) = gx),则在区间(tz，/?)內，/(x)与g(x)只 相差一个常数，即fm = gm-c (c 为一常数).证令 h(x) = /(x) goo ,则hx) = fx)-gx) = qf 由推论1知，zz(x)为一常数，于是有/(x) = g(x) + c (c 为常数).*3. 1. 3柯西中值定理定理3. 3设函数/(%)与函数g(x)满足：(1) 在闭区间a，/?上连续；(2) 在开区间(6z，/?)内可导；(3) 在区间(6z，/?)内 gx) 0.那么，在0，/?)内，至少存在一点，使得g(b) g g'()这就是柯西(cauchy)中

5、值定理.在此定理中，若g(x) = x,则其就变成了拉格朗日 定理，说明拉格朗日定理是柯西定理的特殊惜况.3.2 洛必达法则重点：洛必达法则的应用。难点：洛必达法则的应用。中值定理的一个重要应用是计算函数的极限.在第一章求极限时，我们经常遇到形如当 x + & (或x4oo)时，函数2的分子、分母都趋近于零或都趋近于无穷大的情况.对 于这种函数是不能直接利用商的极限运算法则去求其极限的.极限可能存在，0oo也可能不存在.通常把这种极限叫做未定式，分别简记为“一”或“一”型.下谢介绍求 0°°这类极限的-种简便且重要的方法洛必达(l hospital)法则.对于“一”

6、型的极限，有下面的法则.0法则1如果函数/(x)与函数t?(x)满足：(1) lim f(x) = lim g(x) = 0 :(2) 函数/(x)与尺(x)在点x。的邻域lal均可导，且/(x)弇0;(3) lim存在(或为无穷大).那么um亂um取g(x) g (x)oo对于“一”型的极限，有下而法则:oo法则2如果函数/(x)与函数满足那么(2)lim f(x) = lim g(x) =；x>xox>xo函数/(x)与g(x)在点x。的邻域内均可导，且gx) 0 ； lim存在(或为无穷大).lim/w = lim£w.g(x)g(x)使用洛必达法则必须注意以下两点

7、:0 oo(1) 洛必达法则只适用于一，一未定式，其他未定式须先化成这两种类型之一，然后0 oo再用该法则；(2) 洛必达法则的条件是充分的，但不是必要的，因此，该法则失效但极限仍有可能存在.有些极限虽然是未定式，但使用洛必达法则无法计算出其极限值，这时应考虑用其它方法.例如求lim，两次使用洛必达法则后，又还原成原来的形式，因而洛必达a>+<»法则对它失效，事实上3.3 函数的单调性与极值3.3.1函数的单调性函数的单调性是函数的一个重要性态，它反映了函数在某个区间随自变量的增大而增 大(或减少)的一个特征.但是，利用单调性的定义来讨论函数的单调性往往是比较困难的. 本

8、节利用导数符号来研究函数的单调性.由图3-3可以看出，当函数y = /(x)在r 上是单调增加时，其曲线上任一点的切 线的倾斜角都是锐角，因此它们的斜率都是正的，由导数的儿何意义知道，此时，曲线上 任一点的导数都是正值，即/(x)0.由图3-4可以看出，当函数y =在tz,纠上是单调减少时，其曲线上每一点的切线的倾斜角都是钝角，因此它们的斜率都是负的，此时，曲线上任一点的导数都是负伉， 即/v)<0.定理3.4设函数y = 在(/，/?)内可导，则(1) 如果在(6?，b) lal f(x) > 0,那么函数)，=/0)在，办)闪单调增加；(2) 如果在(6?，b) |a) fx)

9、 < 0,那么函数)，=/0)在(?，/?)內单调减少注在区间内个別点处导数等于零，不影响函数的单调性.如幂函数>，=¥，其导数 :v = 3x2在原点处为0,但它在其定义域(-oo, +oo)內是单调增加的.3.3.2函数的极値 1 .极值的概念如图3-5所示，函数在点；的函数值比它左右近旁的函数值都大，而在点'的函数值 比它左右近旁的函数值都小，对于这种特殊的点和它对应的函数值，我们给出如下定义：定义3.1设函数/(x)在区间(仏/?)内有定义，是(仏/?)内的一个点.(1) 如果对于点近旁的任一点x(%关x0)，都有/(x)< /(x0),那么称/(x

10、0)为函 数/(x)的一个极大值，点称为/(x)的一个极大值点.(2) 如果对于点近旁的任一点x(%关x0)，都有/(x) > /(x0),那么称/(x0)为函 数/(x)的一个极小值，点称为/(x)的一个极小值点.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值点.图3-5如图3-5屮的士和3是函数/(x)的极大值点，/(xj和/(x3)是函数/(x)极大值; 易和&是函数/(x)的极小值点，/(x2)和/(x4)是函数/(x)的极小值.注意(1)极值只是一个局部概念，它仅是与极值点邻近的函数值比较而言较大或较 小的，而不是在整个区间上的最大值或最小值.

11、函数的极值点一定山现在区间的内部，在 区间的端点处不能取得极值；(2) 函数的极大值与极小值可能有很多个，极大值不一定比极小值大，极小值不一定 比极大值小；(3) 函数的极值可能取在导数不存在的点.2. 函数极值的判定从图3-5可以看出，曲线在点；、易、七、人取得极值处的切线都是水平的，即在 极值点处函数/(x)的导数等于零.对此，我们给出函数存在极值的必要条件：定理3. 5如果函数/(x)在点处可导且取得极值，那么=使得函数/(x)的导数等于零的点(即方程/(x) = 0的实根)，叫做函数/(x)的驻点.定理3.5说明，可导函数的极值点必定是它的驻点，但是，阑数的驻点不一定是它的 极值点.例

12、如点x = 0是函数的驻点，但不是极值点.所以定理3.5还不能解决所有 求函数极值的问题.但是，定理3.5提供了寻求可导函数极值点的范围，即从驻点中去寻 找.还要指出连续但不可导点也可能是其极值点，如/00=|%|，在x = 0处连续，但不可 导，而x = 0是该函数的极小点.判断驻点是否是极值点，我们有如下定理：定理3. 6设函数/(x)在点戈的近旁可导，且=(1) 如果当x<x0时，/z(x)0;当xx0时，/z(x)<0,那么x0是极大值点，/(x0) 是函数/(x)的极大值；(2) 如果当x < %0时，fx) <0；当xx0时，fx) > 0,那么x0是

13、极小值点，/(x0) 是函数/(x)的极小值.(3) 如果在点的左右两侧，/(x)同号，那么不是极值点，函数/(x)在点处 '没w樹直.图>6分别显示了以上三种情形：图3-6根据定理3.5和定理3.6,可得到求函数/g0极值点和极值的步骤如下：(1) 求出函数的定义域；(2) 求出函数的导数/(x);(3) 令/(x) = 0,求出函数/(x)在定义域内的全部驻点；(4) 用所有驻点和导数不存在的点把定义域分成若干个部分区间，列表考察每个部分 区间内/(x)的符号，确定极值点；(5) 求出各极值点处的函数值，即得函数/(x)的全部极值.1.闭区间上连续函数的最値设函数y = 在闭

14、区间p，上连续，由闭区间上连续函数的性质知道，函数 y二/o)在闭区间p，上一定有最大值与最小值.最大值与最小值可能取在区间内部,也w能取在区间的端点处，如果取在区间内部，那么，它们一定取在函数的驻点处或者导 数不存在的点处.函数的极值是局部概念，在一个区间内可能有很多个极值，但函数的最值是整体概念， 在一个区间上只有一，个最大值和一个最小值.由以上分析知，求函数在闭区间b，m上的最大值与最小值的步骤为：(1) 求出/(%)在区间(，/?)内的所有驻点，导数不存在的点，并计算各点的函数值;(2) 求出端点处的函数值/(fz)和/(/?);(3) 比较以上所有函数值，其中最大的就是函数在m上的最

15、大值，最小的就是函 数在h，w上的最小值.3.4函数图形的描绘341曲线的凹凸与拐点研宂函数的单调性与极值，对于了解函数的性态，描绘函数的图形起到了重要作川.但 是仅依赖于这些知识，还不能比较准确地描绘山函数的图形.例如函数y = x2与;v = 在 0, +oo)上的图形(图3-10),其曲线都是单调上升的，但他们的弯曲方向却不同，这就是 所谓的凹与凸的区别.曲线y = x2上任一点的切线均位于曲线下方，形状是凹的，而曲线 :v = 上任一点的切线均位于曲线上方，形状是凸的.图 3-10-般地，从图3-11可以看出，在向下凸的曲线弧段上，任一点处的切线都在曲线的下方；在向上凸的曲线弧段上，任

16、一点处的切线都在曲线的上方.对于此，我 们给出下面的定义：定义3.2如果在某区间内，曲线弧段上任一点处的切线都在曲线的下方，那么称此 曲线弧段为凹曲线；曲线弧段上任一点处的切线都在曲线的上方，那么称此曲线弧段为凸曲线.从图3-11中还可以看出，当曲线弧段是凹的时候，其切线的斜率是逐渐增加的，即函 数的导数是单调增加的；当曲线弧段是凸的时候，其切线的斜率是逐渐减少的，即函数的 导数是单调减少的.根据函数单调性的判定方法，有如下定理：图 3-11定理3.7没函数/(x)在区间0，/?)内具有二阶导数.(1)如果当xe (“，z?)时，恒有广(x)0,则曲线/(x)在区间(fz，z?)内是凹的;(2

17、)如果当xe(a，的时,恒有,'x)<0,则曲线/(x)在区间(“，/?)内是凸的.定义3. 3连续曲线上凸的曲线与凹的曲线的分界点叫做曲线的拐点.3. 4.2曲线的渐近线先看我们熟悉的函数，如：(1) 函数y = ev,当x 4-co时，函数值无限趋近于零，那么曲线>，=&无限接近于 直线>,=0；tt(2) 函数y = tan;v，当时，函数值的绝对值无限增大，那么曲无限接近于直线2tl(3)函数)，=arctanx，当时，函数值无限接近于$，那么曲线y = arctanxrrtt无限接近于直线少 = 5;当x4-oo时，函数值无限接近于一y，那么曲线y = arctanx无 7c限接近于直线y = 一般地，当曲线y = /(4上的一动点尸沿着曲线移向无穷远时，如果点到某定直线/ 的距离趋向于；，那么直线/就称为曲线y =/go的一条渐近线.渐近线分为水平、垂直和 斜渐近线，我们给出下面的定义：定义3.4设曲线y = /(%)，(1)如果hm/(x) = /?(或 lim 乂(义)=/?，lim f(x) = b ),则称直线 y = z?为曲线x>oox>-h»久一>-oo的一条水平渐近线：如果lim/(%