新 基本不等式的证明PowerPoint 演示文稿

1、.1基本不等式的证明基本不等式的证明 无锡辅仁高中无锡辅仁高中 魏魏 民民.2问问 题题 情情 境境 1 1 对任意实数对任意实数x、y，有，有 恒成立，即恒成立，即 . 探究：探究： 1. 分别用分别用 代替上面不等式中的代替上面不等式中的x、y， 会得到什么式子会得到什么式子 ？ 2. 对上述实数对上述实数a、b，须有何限制条件？，须有何限制条件？ 20 xy,ab222xyxy3. 上述不等关系中，何时取到上述不等关系中，何时取到“=”？2abab0,0abab当且仅当时.3问问 题题 情情 境境 2 2 如图如图, AB为半圆的直径为半圆的直径, C为圆周上一动点为圆周上一动点, H为

2、垂足为垂足. 设设AH=a, HB=b,半弦半弦CH不大于半径不大于半径COOHBCACHAB把把 称为称为a, b的的算术平均数算术平均数， 把把 称为称为a, b的的几何平均数几何平均数.2abab探究：探究：1试指出图中哪些线段的长度分别等于试指出图中哪些线段的长度分别等于a, b的算术平均数的算术平均数 和几何平均数？和几何平均数？ 2能否比较出两者的大小关系？能否比较出两者的大小关系？ ,2abCOCHab2abab2ababab.4数：数：形：半弦不大于半径形：半弦不大于半径2abab 20ab.5如果如果 ，那么，那么 （当且仅当（当且仅当a=b时取时取“=”）. 2abab这个

3、不等式称为这个不等式称为基本不等式基本不等式. 0,0ab 刚才，我们从数和形两个角度找到也证刚才，我们从数和形两个角度找到也证明了基本不等式明了基本不等式. 那么那么, 这个基本不等式还有其他哪些证明这个基本不等式还有其他哪些证明方法呢方法呢?.6证明不等式本质上就是比较大小，证明不等式本质上就是比较大小，那么比较大小最常用的方法是什么呢？那么比较大小最常用的方法是什么呢？ 比较法，作差比较法，作差(或作商或作商).7说明：比较法证明不等式的步骤：说明：比较法证明不等式的步骤： 作差（或作商）作差（或作商）， 变形：变形：通分、通分、因式分解、配方等因式分解、配方等， 判断差式的符号判断差式

4、的符号， 结论结论. 2abab22122abab21()2ab2abab(当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”).0.82736求证求证: 刚才在做差后的配方变形是不少同学没有想到的，刚才在做差后的配方变形是不少同学没有想到的， 确实有些不等式的证明用比较法还是很困难的确实有些不等式的证明用比较法还是很困难的例如例如,请看请看.92abab22abab2242abaabb2202aabb要证要证 ， 只要证只要证 ，只要证只要证 ，只要证只要证 ，因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立,20ab只要证只要证 .当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”.1

5、02abab2 abab02aabb20ab要证要证 ,只要证只要证 ,只要证只要证 ,只要证只要证 .因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立,当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”.11条件条件难入手难入手结论结论显然成立显然成立结论结论变形变形再变再变简单点简单点再简单点再简单点再变再变273614182abab20ab.12条件条件难入手难入手结论结论不过，有的同学觉得还是习惯于传统的不过，有的同学觉得还是习惯于传统的从已知条件出发推导出要证的结论从已知条件出发推导出要证的结论.1320,ab20,abab 2,abab 2abab(当且仅当当且仅

6、当a=b时取时取“=”).证明：证明：综合法：综合法：从已知或从已知或事实事实出发，根据不等式的性质推导出要证的出发，根据不等式的性质推导出要证的不等式不等式.14 分析法的优点是利于思考，因为它方向分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，易于明确，易于发现思路发现思路. 综合法的优点是易于表述，条理清楚，综合法的优点是易于表述，条理清楚，形式简洁形式简洁. 证证明明不等式时常常用分析法寻找解题思不等式时常常用分析法寻找解题思路，再用综合法写出证明过程路，再用综合法写出证明过程 .15如果如果 ，那么，那么 （当且仅当（当且仅当a=b时取时取“=”）. 2abab这个不等式称为这个不等式称为基

7、本不等式基本不等式. 0,0ab基本不等式的变式：基本不等式的变式：2abab0,0ab.16例例 证明下列不等式证明下列不等式 （1） (a0)； 12aa思考思考1：第（第（1）题若将）题若将a0 改为改为a0) ； 12aa12aa (a1). 131aa思考思考2：第（第（2）题若将）题若将 a 1改为改为a 1，求求 的取值范围的取值范围. 11aa.19课课 堂堂 小小 结结在应用基本不等式时，要注意哪些问题在应用基本不等式时，要注意哪些问题? 不等式的证明有哪几种常用的方法呢？不等式的证明有哪几种常用的方法呢？基本不等式成立的条件是基本不等式成立的条件是a0，b0，及当且仅当及当且仅当a=b时等号成立时等号成立比较法比较法，分析法分析法，综合法综合法2ab