可降阶的高阶微分方程(31)课件

1、),(yxfy 可降阶高阶微分方程 第三节)()(xfyn ),(yyfy 第九九章 2 2一、一、)()(xfyn 令令,)1( nyz)(ddnyxz 则则因此因此1d)(Cxxfz 即即1)1(d)(Cxxfyn 同理可得同理可得 2)2(d Cxyn 1d)(Cxxf xd xxfd)( 依次通过依次通过 n 次积分次积分, 可得含可得含 n 个任意常数的通解个任意常数的通解 ., )(xf 21CxC 型的微分方程型的微分方程 3 3例例1.cos2xeyx 求解求解解解 12cosCxdxeyx 12sin21Cxex xey241 xey281 1121CC 此此处处xsin 2

2、1xC 32CxC xcos 21CxC 4 4例例2.2,111002的的特特解解满满足足初初始始条条件件求求微微分分方方程程 xxyyxy解解对对方方程程两两端端积积分分，得得12d11Cxxy .21 C. 2arctan xy两两端端再再积积分分，得得 2d2arctanCxxy ,2)1ln(21arctan22Cxxxx , 1arctanCx ,20得得由由条条件件 xy所以所以5 5. 12 C将将初初始始条条件件代代入入，得得. 12)1ln(21arctan2 xxxxy故故所所求求特特解解为为 2d2arctanCxxy ,2)1ln(21arctan22Cxxxx 6

3、6),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设设, )(xpy ,py 则则原方程化为一阶方程原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为设其通解为),(1Cxp 则得则得),(1Cxy 再一次积分再一次积分, 得原方程的通解得原方程的通解21d),(CxCxy 二、二、7 7.5tan的的通通解解求求 yxy解解, 5tandd pxxp即即.cot5cotddxpxxp 例例3, py 令令.),(型型属属于于yxfy .ddxpy 则则. 5sindd1 xCxy 1dcotdcotcot5Cxeepxxxx , 5sin1 xC.5cos21CxxCy 8 8例例4;1)0(,0)0(

4、,0)1(2 yyyxyx求求解解解解,py 则则xppx )1(2分分离离变变量量得得xxxppd1d2 代代入入方方程程有有,py 设设两两边边积积分分得得12ln)1ln(21lnCxp 型型，属属于于)(yx,fy 可分离变量方程可分离变量方程9 9即即211xCp , 1)0( y代代入入初初始始条条件件所所以以211xpy 两两边边积积分分得得2arcsinCxy .02 C得得故故所所求求特特解解为为.arcsinxy .11 C得得,0)0( y代代入入初初始始条条件件1010三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令令),(ypy xpydd 则则xyypdddd

5、yppdd 故方程化为故方程化为),(ddpyfypp 设其通解为设其通解为),(1Cyp 即得即得),(1Cyy 分离变量后积分分离变量后积分, 得原方程的通解得原方程的通解21),(dCxCyy 1111例例5 求解求解.02 yyy代入方程得代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd 即即两端积分得两端积分得,lnlnln1Cyp ,1yCp 即即yCy1 一阶齐次线性方程一阶齐次线性方程故所求通解为故所求通解为.12xCeCy 解解),(ypy 设设xpydd 则则xyypdddd yppdd 1212解解例例6,21）数数的的面面积积成成正正比比（比比例例系系 kOMPoxy向向横

6、横轴轴作作垂垂线线，由由点点的的切切线线与与横横轴轴交交于于处处，其其上上任任一一点点一一平平面面曲曲线线经经过过原原点点MTMO垂足为垂足为 P,已知三角形已知三角形 MTP 的面积与曲边三角形的面积与曲边三角形求此曲线求此曲线L 的方程为的方程为 y = y(x) y(0) = 0, 且且 任意点任意点 M (x, y)处处的切线的切线 方程为方程为)(:xyyL T )0 ,(xP),(yxM 的方程的方程.).)(xXxyyY 1313，令0 Y.yyxX ., ）（为0yyxT 即即倍倍面面积积的的的的面面积积是是曲曲边边三三角角形形依依题题意意，三三角角形形.kOMPMTP.d)(

7、210 xttykyyyxx）（)(xXxyyY oxy)(:xyyL T )0 ,(xP),(yxM xttykyy02d)(21414,)(22222kyyyyyy yyyk 2)22(不合题意），（消去0 xyppdd,dd)22( ppyyk,ddpxy 令令,dddd22yppxy 则则得得代代入入方方程程),1(,dd)22(2ypyppk 得得.lnlnln)22(Cpyk 1515于于是是,dd22xCyyk 2112CxCyk .)12(1CkC 其其中中故故所所求求曲曲线线的的方方程程为为得得由由条条件件, 0, 0)0(2 CyxCyk112 .21）（ k得得.lnln

8、ln)22(Cpyk ,22kCyp xydd1616解解例例7.)(3的的通通解解求求微微分分方方程程yyy 型方程，若看成),(yxfy .dd3ppxp 方方程程化化为为,ddpxy 设设则则,dddd22xpxy 方程即不显含方程即不显含 x,也不显含也不显含 y得 xpppd)(d121717,ln1ln2Cxpp ,12xCepp 即即,12xCeyy .解解此此一一阶阶方方程程较较困困难难，则则设设pxy dd，yppxydddd22 ，ppypp 3dd型型方方程程，若若看看成成),(yyfy 1818;,0Cyp 时时.1dd,02 pypp时时得得分分离离变变量量并并积积分

9、分 yppd1d2,1arctanCyp ).tan(dd1Cypxy ,dd)cot(1xyCy ,ln)sin(ln21CxCy 即即.)sin(21xeCCy 1919内容小结内容小结可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(. 1)(xfyn 逐次积分逐次积分),(. 2yxfy 令令, )(xpy xpydd 则则),(. 3yyfy 令令, )(ypy yppydd 则则2020思考与练习思考与练习1. 方程方程)(yfy 如何代换求解如何代换求解 ?答答: 令令)(xpy 或或)(ypy 一般说一般说, 用前者方便些用前者方便些. 均可均可. 有时用后者方便有时用

10、后者方便 .例如例如,2)(yey 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答答: (1) 一般情况一般情况 , 边解边定常数计算简便边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时遇到开平方时, 要根据题意确定正负号要根据题意确定正负号.2121 且满足等式上可导，在函数,)(,)(100 fxf 综合题综合题0d)(11)()(0 xttfxxfxf);(xf 求导数解解0d)()()1()()1(0 xttfxfxxfx)()2()()1(xfxxfx ),(xfp 设设,)(pxf 则则2222pxpx)2()1( xxxppd12d C

11、xxpln)1ln(ln 解解之之得得xCepxfx 1)(,)(10 f由,0)0()0( ff因因此此xexfx 1)(.1 C从从而而.1)0( f知知2323解解例例4-1.012的的通通解解求求微微分分方方程程 yyy.x此此方方程程不不显显含含变变量量,dddd22yppxy 则则, 0dd12 pypyp分分离离变变量量并并积积分分,d1d2 yyppp,ddpxy 令令代代入入方方程程得得2424得得,ln21ln1ln2112Cyp ,)1(122Cyp 即即.dd21yyCpxy 分离变量分离变量,dd21xyCyy 两两边边积积分分，得得.221CxyC 故故所所给给方方

12、程程的的通通解解为为.)(1222CyCx 2525例例1-2 质量为质量为 m 的质点受力的质点受力F 的作用沿的作用沿 ox 轴轴作直线运动作直线运动,在开始时刻在开始时刻,)0(0FF 随着时间的增大随着时间的增大 , 直到直到 t = T 时时 F(T) = 0 . 如果如果t = 0 时时设力设力 F 仅是时间仅是时间 t 的函数的函数: F = F (t) . 此力此力 F 均匀地减小均匀地减小,运动规律运动规律. 且初始速度为且初始速度为0, 求质点的求质点的开始时质点在原点开始时质点在原点, 解解 据题意有据题意有,00 tx)(dd22tFtxm )1(0TtmF tFoT0

13、FF)1(0TtF对方程两边积分对方程两边积分, 得得 2626120)2(ddCTttmFtx利用初始条件利用初始条件, 01C得于是于是)2(dd20TttmFtx两边再积分得两边再积分得2320)62(CTttmFx再利用再利用00tx, 02 C得得故所求质点运动规律为故所求质点运动规律为)3(2320TttmFx0dd0ttx2727例例2-2 求解求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解 ),(xpy 设设,py 则则代入方程得代入方程得pxpx2)1(2 分离变量分离变量)1(d2d2xxxpp 积分得积分得,ln)1(lnln12Cxp )1(21xCp 即即,3

14、0 xy利用利用, 31 C得得于是有于是有)1(32xy 2828两端再积分得两端再积分得233Cxxy 利用利用,10 xy, 12 C得得133 xxy因此所求特解为因此所求特解为)1(32xy 2929解解例例2-3.21, 10)(2002的的特特解解满满足足初初始始条条件件求求微微分分方方程程 xxyyyxy,py 令令.022 xpp分分离离变变量量并并积积分分xxppd2d2 ),0( p得得.112Cxp 代代入入方方程程，得得. y方方程程不不显显含含未未知知函函数数,py 则则3030,210 xy由由条条件件,212 xy.222ln221Cxx 故故所所求求特特解解为

15、为.122ln221 xxy 2d2xxy于于是是.21 C得得.1, 120 Cyx得得再再由由条条件件3131oyx) 1 , 0(A速度大小为速度大小为 2v, 方向指向方向指向A , )0 , 1(),(yxBtv解解 设设 t 时刻时刻 B 位于位于 ( x, y ), 如图所示如图所示, 则有则有 yxysxd112去分母后两边对去分母后两边对 x 求导求导, 得得xtvxyxdddd22 ytv 1x 设物体设物体 A 从点从点( 0, 1 )出发出发, 以大小为常数以大小为常数 v 例例2-4的速度沿的速度沿 y 轴正向运动轴正向运动, 物体物体 B 从从 (1, 0 ) 出发

16、出发, 试建立物体试建立物体 B 的运动的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件轨迹应满足的微分方程及初始条件.32322)dd(121ddxyvxt 0121dd222 yxyx代入代入 式得所求微分方程式得所求微分方程:其初始条件为其初始条件为, 01xy11xyoyxA)0 , 1(),(yxBtvtsvdd2xytxd1dd12txydd12又由于又由于3333M : 地球质量地球质量m : 物体质量物体质量例例4-3由静止开始落向地面由静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和求它落到地面时的速度和所需时间所需时间(不计空气阻力不计空气阻力). 解解 如图所示选取坐标系如图所示选取坐标系

17、. 则有定解问题则有定解问题: 22ddtym2yMmk ,0lyt 00 ty,ddtyv 设设tvtydddd22 则则tyyvdddd yvvdd 代入方程得代入方程得,dd2yyMkvv 积分得积分得122CyMkv 一个离地面很高的物体一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用受地球引力的作用yoRl3434,1122lyMkv,ddtyv yyllMkv 2即即tdyylyMkld2两端积分得两端积分得Mklt2,0lyt 利用利用, 02 C得得因此有因此有)arccos(22lylyylMkltlylyylarccos22C, 0000lyyvttt 利利用用lMkC21 得得注

18、意注意“”号号3535由于由于 y = R 时时,gy 由原方程可得由原方程可得MRgk2因此落到地面因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为时的速度和所需时间分别为)arccos(212lRlRRlglRtRylRlRgvRy)(222ddtym,2yMmkyyllMkv2)arccos(22lylyylMkltyoRl3636注注 若此例改为如图所示的坐标系若此例改为如图所示的坐标系, Ryol22ddtym2)(ylMmk,00ty00ty，令令tyvdd 解方程可得解方程可得)11(22lylMkv问问: : 此时开方根号前应取什么符号此时开方根号前应取什么符号? 说明道

19、理说明道理 .则定解问题为则定解问题为3737例例4-4 解初值问题解初值问题解解 令令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 则则代入方程得代入方程得yeppydd2 积分得积分得1222121Cepy 利用初始条件利用初始条件, 01 C得得3838yep222121 根据根据, 0100 xyypyep 积分得积分得,2Cxey, 00 xy再再由由12 C得得故所求特解为故所求特解为xey 1得得 xydd3939例例4-5:求求解解.1)0(,2)0(,cossin yyyyy 解解,py 故故令令,ddyppy 则则代代入入方方程程得得yyyppcossin

20、dd ,),(型型，属属于于方方程程中中不不出出现现yyfyx 分分离离变变量量yyyppdcossind 两两边边积积分分得得12221sin2121CyP 4040, 1)0()0( yp代代入入初初始始条条件件所所以以yp22sin 即即ypsin 知知，又又由由初初始始条条件件1)0(,2)0( yy上上式式只只能能取取负负号号，故故ypysin 01 C得得，要要使使上上式式满满足足初初始始条条件件122sinCyp 即即4141两两边边积积分分得得22tanlnCxy ,2)0(y 代代入入初初始始条条件件故故所所求求特特解解为为2tanlnyx xxcotcscln 分分离离变变

21、量量得得xyydsind 02 C得得4242例例4-6 (悬链线问题悬链线问题)两端固定两端固定, 绳索仅受重力作用而下垂绳索仅受重力作用而下垂, 求该绳索求该绳索在在解解 取坐标系如图取坐标系如图.考察最低点考察最低点 A 到到sg ( : 密度密度, s :弧长弧长)弧段重力大小弧段重力大小按静力平衡条件按静力平衡条件, 有有设有一质量均匀的柔软绳索设有一质量均匀的柔软绳索, 平衡状态下所呈曲线平衡状态下所呈曲线 的方程的方程. 任意点任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况弧段的受力情况: A 点受水平张力点受水平张力 HM 点受切向张力点受切向张力ToyxAHTsg M4343sa1tan )(gHa y xyxd102 a1 故有故有211yay 两式相除得两式相除得,cosHT sgT sinoyxAHTsg M两边对两边对x求导得求导得,aOA 设设则得定解问题则得定解问题: 211yay , 0ayx 0 0 xya4444),(xpy 令令,ddxpy 则则原方程化为原方程化为21dpp xad1 两端积分得两端积分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Caxp 0