可分离变量的微分方程课件

1、高 等 数 学 China University of Mining and Technology-1-转化 可分离变量微分方程 第二节解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22高 等 数 学 China University of Mining and Technology-2-分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设设 y (x) 是方程是方程的解的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分两边积分, 得得 yygd)(xxfd)(CxFy

2、G)()(则有恒等式则有恒等式 )(yG)(xF当当G(y) 与与F(x) 可微且可微且 G(y) g(y)0 时时, 说明由说明由确定的隐函数确定的隐函数 y (x) 是是的解的解. 则有则有称称为方程为方程的的隐式通解隐式通解, 或或通积分通积分.同样同样,当当F(x)= f (x)0 时时,上述过程可逆上述过程可逆,由由确定的隐函数确定的隐函数 x (y) 也是也是的解的解. 高 等 数 学 China University of Mining and Technology-3-例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解的通解.解解: 分离变量得分离变量得xxyyd3d2两边积

3、分两边积分xxyyd3d2得得13lnCxyCxylnln3即即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 为任意常数为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形, 因此可能增、因此可能增、减解减解.( 此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )高 等 数 学 China University of Mining and Technology-4-例例2. 解初值问题解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得分离变量得xxxyyd1d2两边积分得两边积分得Cxyln11lnln2即即Cxy12由初始

4、条件得由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数为任意常数 )故所求特解为故所求特解为 1)0(y高 等 数 学 China University of Mining and Technology-5-例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu则则yu1故有故有uu2sin1即即xuuddsec2Cxutan解得解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数为任意常数 )所求通解所求通解:高 等 数 学 China University of Mining and Technology-6-练习练习:.dd的通解求方程yxexy

5、解法解法 1 分离变量分离变量xeyexyddCeexy即即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有故有ueu1积分积分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 为任意常数为任意常数 )所求通解所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (高 等 数 学 China University of Mining and Technology-7-例例4. 子的含量子的含量 M 成正比成正比,0M求在求在衰变过程中铀含量衰变过程中铀含量 M(t) 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律. 解解: 根据题意根据题意, 有有)0(ddMtM00MMt(初始条件初始

6、条件)对方程分离变量对方程分离变量, MMd,lnlnCtM得即即teCM利用初始条件利用初始条件, 得得0MC 故所求铀的变化规律为故所求铀的变化规律为.0teMMM0Mto然后积分然后积分:td)(已知已知 t = 0 时铀的含量为时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原高 等 数 学 China University of Mining and Technology-8-例例5.成正比成正比,求求解解: 根据牛顿第二定律列方程根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为初始条件为对方程分离变量对方程分离变量,mtvkmgvdd然后

7、积分然后积分 :得得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此处利用初始条件利用初始条件, 得得)(ln1gmkC代入上式后化简代入上式后化简, 得特解得特解并设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为速度为0,)1 (tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系降落伞下落速度与时间的函数关系. kmgv t 足够大时足够大时高 等 数 学 China University of Mining and Technology-9-cm100例例6. 有高有高 1m 的半球形容器

8、的半球形容器, 水从它的底部小孔流出水从它的底部小孔流出,.cm12S开始时容器内盛满了水开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中从小孔流出过程中, 容器里水面的高度容器里水面的高度 h 随时间随时间 t 的变的变r解解: 由水力学知由水力学知, 水从孔口流出的流量为水从孔口流出的流量为tVQddhgS262. 0即即thgVd262. 0d求水求水小孔横截面积小孔横截面积化规律化规律.流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度设在设在d,ttt内水面高度由内水面高度由 h 降到降到 ),0d(dhhhhhdhho高 等 数 学 China University of Mini

9、ng and Technology-10-cm100rhhdhho对应下降体积对应下降体积hrVdd222)100(100hr2200hhhhhVd)200(d2因此得微分方程定解问题因此得微分方程定解问题:hhhthgd)200(d262. 021000th将方程分离变量将方程分离变量:hhhgtd)200(262. 0d2321高 等 数 学 China University of Mining and Technology-11-gt262. 0两端积分两端积分, 得得g262. 0hhhd)200(2321233400(h)5225hC利用初始条件利用初始条件, 得得510151426

10、2. 0gC因此容器内水面高度因此容器内水面高度 h 与时间与时间 t 有下列关系有下列关系:)310107(265. 4252335hhgt1000thcm100rhhdhho高 等 数 学 China University of Mining and Technology-12-内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程的概念微分方程微分方程;定解条件定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解有解后者是通解后者是通解 , 但不包含前一个解但不包含前一个解 .例如例如, 方程方程分离变量

11、后积分分离变量后积分; 根据定解条件定常数根据定解条件定常数 .解解; 阶阶;通解通解; 特解特解 y = x 及及 y = C 高 等 数 学 China University of Mining and Technology-13- 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程根据几何关系列方程 ( 如如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程根据物理规律列方程 ( 如如: 例例4 , 例例 5 )3) 根据微量分析平衡关系列方程根据微量分析平衡关系列方程 ( 如如: 例例6 )(2) 利用

12、反映事物个性的特殊状态确定定解条件利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解求通解, 并根据定解条件确定特解并根据定解条件确定特解. 3. 解微分方程应用题的方法和步骤解微分方程应用题的方法和步骤高 等 数 学 China University of Mining and Technology-14-思考与练习思考与练习 求下列方程的通解求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1) 分离变量分离变量(2) 方程变形为方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln高 等 数 学 China University of Mining and Technology-15-,0) 1 ,0(,1FCF课堂练习课堂练习