福建省2016届高三普通高中毕业班4月质量检查数学(理)试题

1、准考证号 姓名 （在此卷上答题无效）机密启用前2016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至3页，第卷4至6页，满分150分考生注意： 1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号第卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答案无效 3考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回第卷一选择题：本大题共12

2、小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（A）（B）（C）（D）（2）执行如图所示的程序框图，若要使输出的的值等于3，则输入的的值可以是 （A） （B） （C）8 （D）（3）已知，则的值等于（A） （B） （C） （D）（4）已知，则“”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（5）若满足约束条件则的取值范围为（A） （B） （C） （D）（6）已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前项积为，且，则使得的的最小值为（A）4 （B）5 （C）6 （D）7（7）如图，

3、网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为（A） （B）8 （C） （D）（8）在中，则（A）（B）（C）（D） （9）若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（A） （B） （C） （D）（10）在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为 （A） （B） （C） （D）（11）已知分别为双曲线的左、右焦点，若点是以为直径的圆与右支的一个交点， 交于另一点，且，则的渐近线方程为 （A） （B） （C） （D）（12）已知是定义在上的减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是（A）对于任意， <0 （

4、B）对于任意， >0 （C）当且仅当，<0 （D）当且仅当，>0第卷注意事项： 第卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答案无效本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）若随机变量，且，则 （14）若展开式中的常数项为，则 （15）若数列的各项均为正数，前项和为，且，则 （16）已知点，且平行四边形的四个顶点都在函数的图象上，则四边形的面积为 三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在中

5、，点在边上，且（）若的面积为，求； （）若，求 （18）（本小题满分12分）如图，三棱柱中，底面为等腰直角三角形，（）证明：；（）若，求与平面所成角的正弦值 （19）（本小题满分12分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪， 40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：（）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（）若将频率视为概率，回答以下问题：（）记乙公司送

6、餐员日工资为(单位：元), 求的分布列和数学期望； （）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.（20）（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线与抛物线交于两点，以为圆心的圆过点，且（）求抛物线和圆的方程；（）设是圆上的点，过点且垂直于的直线交于两点，证明：（21）（本小题满分12分）已知函数，曲线与在原点处的切线相同（）求的单调区间；（）若时，求的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修：几何证明选讲如图

7、，的两条中线和相交于点，且四点共圆（）求证：；（）若，求 （23）（本小题满分10分)选修：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为. （）求的普通方程和的倾斜角；（）设点，和交于两点，求（24）（本小题满分10分）选修：不等式选讲已知函数.（）求不等式的解集；（）设，证明：2016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题答案及评分参考 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误

8、时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分60分 （1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C （7）B （8）C （9）D （10）D （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分20分 （13） （14） （15） （16） 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应

9、写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等满分12分解法一：（）因为, 即，2分又因为,，所以 3分在中,由余弦定理得，,5分即，解得6分（）在中，可设，则，又，由正弦定理，有，7分所以8分在中, ，由正弦定理得，即，10分化简得，于是11分因为，所以，所以或, 解得，故12分解法二：（）同解法一（）因为，所以取中点，连结，所以7分设，因为，所以在中，8分以下同解法一（18）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能

10、力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等满分12分解法一：（）连结，在中，由余弦定理得， ，1分，2分又为等腰直角三角形，且，又，平面4分又平面，5分（），6分如图，以为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，7分则， 8分设平面的法向量，由得令，得平面的一个法向量为 9分，10分，.11分与平面所成角的正弦值为12分解法二：（）同解法一（）过点作平面，垂足为，连结，则为与平面所成的角6分由（） 知，又，平面，7分8分取中点，连结，又在中，9分， ，即，10分平面，平面，三棱柱中，11分在中，所以与平面所成的角的正弦值为12分（19）本小题主要考查古典概型、

11、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想满分12分解：（） 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件，则4分（）（）设乙公司送餐员送餐单数为，则当时，； 当时，； 当时，；当时，；当时， 所以的所有可能取值为152,156,160,166,1726分故的分布列为：1521561601661728分 9分（）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为10分所以甲公司送餐员日平均工资为元11分由（）得乙公司送餐员日平均工资为元因为，故推荐小明去乙公司应聘12分（20）本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线

12、与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等满分12分解法一：()将代入，得，所以，1分又因为，所以是等腰直角三角形，所以，即，解得，所以抛物线，3分此时圆的半径为，所以圆的方程为4分 ()设，依题意，即5分（）当直线斜率不存在时，当时，由，得不妨设，则即 当时，同理可得，.6分（）当直线斜率存在时，因为直线与抛物线交于两点，所以直线斜率不为零，且 因为，所以，所以，.7分直线由得， ，8分即，所以，9分所以10分，所以 12分解法二：()同解法一()设，依题意，即， （*） 5分设，则，6分由于，所以 7分注意到， 8分由

13、（1）知，若，则，此时不满足（*），故，从而（1），（2）可化为9分以下同解法一.（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等满分12分解法一：（）因为，2分依题意，解得，3分所以，当时，；当时，故的单调递减区间为， 单调递增区间为5分（）由（）知，当时，取得最小值0 所以，即，从而设则，6分（）当时，因为，所以（当且仅当时等号成立），此时在上单调递增，从而，即7分（）当时，由于，所以8分由（）知，所以，故，即9分（）当时， 令，则，显然在上单调递增，又，所以

14、在上存在唯一零点，10分 当时，所以在上单调递减，从而，即所以在上单调递减，从而当时，即，不合题意11分综上， 实数的取值范围为12分解法二：（）同解法一 （）由（）知，当时，取得最小值0 所以，即，从而设则，6分（）当时，在恒成立，所以在单调递增 所以，即9分（）当时，由（）知，当时，（当且仅当时等号成立），所以当时，所以10分于是当时，所以在上单调递减.故当时，即，不合题意11分综上， 实数的取值范围为12分解法三：（）同解法一 （）（）当时，由（）知，当时，取得最小值0所以，即，从而，即所以，6分（）当时，设则，令，则显然在上单调递增7分当时，所以在上单调递增，；故，所以在上单调递增，即

15、9分当时，由于，所以在上存在唯一零点，10分当时， 单调递减，从而，即在上单调递减，从而当时，即，不合题意11分综上， 实数的取值范围为12分请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号（22）选修：几何证明选讲 本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等满分10分解法一：（）连结，因为四点共圆，则2分又因为为的两条中线，所以点分别是的中点，故3分所以，4分从而5分（）因为为与的交点，故为的重心，延长交于，则为的中点，且6分在与中，因为，所以，7分所以

16、，即9分因为，所以，即，又，所以10分解法二：（）同解法一5分 () 由() 知，因为四点共圆，所以，6分所以，所以，7分由割线定理，9分又因为是的中线，所以是的重心，所以,又，所以，所以，所以，因为，所以10分（23）选修；坐标系与参数方程本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等 满分10分解法一：（）由消去参数，得，即的普通方程为2分由，得，（）3分将代入（），化简得，4分所以直线的倾斜角为 5分 （）由（）知，点在直线上， 可设直线的参数方程为（为参数），即（为参数），7分代入并化简，得8分设两点对应的参数分别为，则，所以9分所以10分解法二：（）同解法一. 5分（）直线的普通方程为.由消去得，7分于是.设，则，所以，8分故.10分（24）选修：不等式