几何量的计算--长度课件

1、几何量的计算几何量的计算一、几何量的计算 1. 对象：长度、角度、面积等等 2.勾股定理及其推广：（1）勾股定理：22290cbaC时，当bcaACB(2)推广:HCbbaHCACACaHCACACaHCAHHCAHaCHaAHBHAHc22)2()()(22222222222证明：HCbbacC2:90222时当aCbHBACHCbbaHCbHCaCHACHCBCBHAHc2)()()()(2222222222证明：HCbbacC2:90222时当aCbHBAC 锐(钝)角对边的平方,等于其他两边的平方和减去(加上)其中的一边和另一边在此边上之射影的乘积的两倍.若将HC用角C和a表示的话,则

2、得到统一的表达式: 余弦定理!CosCabbac22223.高的计算公式:已知三角形的三边,求高线的长.bCahaH HABC)()()(21)()()(4141224144122,2,222222222222222222222222222222222222abcbcacbacbaahabcbcacbacbaabaccbaacbaabcbaabacbabaaacbabhacbaHCHCabacHCbhaaa而解： )()(2)(21cpbpappahcbapa则：令：)()(2)()(2cpbpappchcpbpappbhcb同理：)()(21cpbpapphaSaABC推论：4.中线与角平分

3、线公式:斯特瓦尔特定理PCBPACBCBPABBCPCAPBCPCBPBCAPBPACPCABAPPBCAABC222222即：由下列等式确定：距离间的边上任意一点与对边顶点bCamaABCPHBCPCBPBCAPBPACPCABBPPCPCBPBPPCAPBPACPCABBPPCPHPHPCPCAPACACPPHBPBPAPABABPBCAH222222222222)()(.2.2即：，得：，为消去中：在中：在证明：作(i) 当AP为BC边上的中线时:222222222222)(221)22(41222121acbmacbaabcPCBPACBCBPABBCPCAPmaa222222)(22

4、1)(221cbambcamcb同理可得：CbamapABC(ii) 当AP为角A的内角平分线时:)(1)()(1)2()(1)(;2222222222222acbacbbccbtacbacbbccbabccbbccbcbbcacbcbcbbcPCBPACBCBPABBCPCAPtcbabPCcbacBPcbbBCPCcbcBCBPbcACABPCBPaa)p(p2)21pabccbtcbaa则：（令：bCatataABCP)p(p2)p(p2cabbatbaccatcb同理可得：(iii) 当AP为角A的外角平分线时:)bp(a)p(2)ap(c)p(2) cp(b)p(2abbatacactbccbtcba类似前面可得：例: 证明“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题也成立。说明：（1）1840年由莱姆（Lehmus）提出（2）又名：斯坦纳定理（3）证明方法不少60种tbtcDEABC是等腰三角形。即：即：即：即：，得：还原为两边平方，将，得：由内角平分线长度公式妨设证明：（直接证法）不ABCcbabccbabccbaabcabcabcbccbcabaabcbcaacabbacbcbcacabbcabaccbacabbcabaccbapcppacbabppaccattcb02