大一高等数考前辅导

1、1、 求极限问题求极限问题(1)、函数极限、函数极限(2)、数列极限、数列极限 l-hospital l-hospital 法则法则 heine heine原理原理 等价无穷小替换及等价无穷小替换及taylor公式公式 两个重要极限两个重要极限 其它：利用导数的定义、微分中值定理等其它：利用导数的定义、微分中值定理等 极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理 利用定积分的概念利用定积分的概念第一章第一章1、极限、极限函数极限函数极限数列极限数列极限两个准则、定积分的概念两个准则、定积分的概念转化为函数极限转化为函数极限l-hospital 法则法则知识点

2、：知识点：等价无穷小的运算、洛必达法则、泰勒公式、等价无穷小的运算、洛必达法则、泰勒公式、变限函数的导数、定积分的定义、两个准则变限函数的导数、定积分的定义、两个准则题型题型: 计算题、填空题计算题、填空题)121ln(1lim0 xxxbaxnnnnba)2(lim xxxxba10)2(lim 2ln1lim0 xxxbax 故原式故原式先取对数先取对数221lim0 xxxbax2lnlnlim0bbaaxxx abln ab 知识点：知识点：heineheine原理、等价无穷小替换、原理、等价无穷小替换、 l-hospital l-hospital 法则法则模拟模拟7易犯的错误：没有取

3、回指数易犯的错误：没有取回指数xxxsin0lim xxxlnsinlim0 故原式故原式先取对数先取对数xxxlnlim0 0 1 知识点：等价无穷小替换、知识点：等价无穷小替换、l-hospital l-hospital 法则法则模拟模拟4、5)0(0lnlim0 xxx)1sin(lim32xxxx )(! 3sin33tottt xxoxxx),1(! 3111sin33)1sin(lim32xxxx )1(! 311(lim3332xoxxxxx)1(! 31(lim33xoxx 01)1(lim33 xxox! 31 模拟模拟4知识点：知识点：taylor taylor 公式公式知

4、识点：等价无穷小替换、知识点：等价无穷小替换、l-hospital l-hospital 法则、法则、 变限函数的导数变限函数的导数)cos1()1arctan(lim300 xxdttxx 30020033)1arctan(lim22)1arctan(limxdttxxdttxxxx 223033)1arctan(lim2xxxx 21arctan2 模拟模拟3、1、2、4、5、7)12111(lim222nnnnn ,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 知识点：夹逼性知识点：夹逼性. 1)12111(l

5、im222 nnnnn知识点：定积分的概念知识点：定积分的概念)21(lim222222nnnnnnnn nninin1)(11lim21 10211dxx4|arctan10 x模拟模拟5nnnnnnnnn1)21(lim222222222 利用定积分的概念利用定积分的概念iinibaxfdxxf )(lim)(10 1, 1 , 0, 2 , 1,或或等等分分，即即通通常常情情况况下下，积积分分区区间间ninabianinabianabxiii 特别地特别地nnifdxxfnin1)(lim)(110 知识点：单调有界原理知识点：单调有界原理模拟模拟6nnnnnxxnxxx lim., 2

6、 , 1,111, 1010并求并求收敛，收敛，证明证明设设nnnxxx 111111 nnnxxx单调递减单调递减nx,11nnnxxx 两边取极限两边取极限.lim存存在在nnx axnn lim记记 有有界界且且nx根据单调有界原理根据单调有界原理,1 aaa 0 a解解得得2、连续性、连续性知识点：知识点：连续的定义、闭区间上连续函数的性质连续的定义、闭区间上连续函数的性质题型题型: 选择题、证明题选择题、证明题.0)()3(0)()2(0)() 1 (0, 00,1sin)(处处连连续续在在为为何何值值时时，、处处可可导导；在在为为何何值值时时，、处处连连续续；在在为为何何值值时时，

7、、设设 xxfxxfxxfxxxxxf )(lim)00( 0 xffx xxx1sinlim0 0 处处连连续续在在当当0)(, 0 xxf xfxffx)0()(lim)0(0 xxx1sinlim10 0)0(,0)(, 1 fxxf处处可可导导在在当当 00lim)(lim)00( ).1 (00 xxxff)0()00()00(fff xfxffx)0()(lim)0( ).2(0 0 )(lim0 xfx 处处连连续续在在当当0)(, 2 xxf xxxxx1cos1sinlim210 )1(1cos1sin)(0 21xxxxxxfx 时时，当当xxxx1cos1sin21 0)

8、(0 ).3( xfx时，时，当当0)(lim0 xfx知识点：连续和导数的定义，求导法则知识点：连续和导数的定义，求导法则第二章第二章导数的计算导数的计算求导法则求导法则利用导数的定义求特殊点处的导数利用导数的定义求特殊点处的导数知识点：知识点：导数的定义、复合函数的链式求导法则、隐函导数的定义、复合函数的链式求导法则、隐函数的求导法则、对数求导法、参数方程求导法、数的求导法则、对数求导法、参数方程求导法、变限函数的求导法变限函数的求导法题型题型: 计算题、填空题、选择题计算题、填空题、选择题)(),sin()()(xfxxfxfxf 求求二阶可导，二阶可导，设设模拟模拟6、5知识点：链式求

9、导法知识点：链式求导法cossin)sin()(xxxxxfxf 2cossin)sin()(xxxxxfxf sincoscos)sin(xxxxxxf 0,2)( xxydxdydxdyyxexyy及及求求所确定所确定由方程由方程设设模拟模拟7、1知识点：隐函数的求导知识点：隐函数的求导法法方程两边直接导方程两边直接导yyxyexy 2)(xyxyyeyyxe 212 xyxyxeyey10 yx时，时，当当11120 xy02,01 tydxdyytettx求求设设模拟模拟4、1、5、6知识点：参数方程的求导法知识点：参数方程的求导法方程两边直接导方程两边直接导,21 tdtdx0 yy

10、eteyy1 yyetey1, 00 yxt时，时，当当dtdxdtdydxdtdtdydxdyt 010211 etetetyy xxtdtedxd022求求模拟模拟3、1、2、4、5、6、7知识点：变限函数的求导法知识点：变限函数的求导法 xtxxxtdteedte002222 xxtdtedxd022 xtxdteedxd02222220)2(xxxtxeedtexe 1)2(022 xtxdtexe, txu _d)(sindd0100 ttxxx则则ttxxd)(sin0100 ud 0 xu100sinx100sinuuxdsin0100 知识点：变限函数的求导法、换元公式知识点：

11、变限函数的求导法、换元公式yyxx 求求设设,2模拟模拟7、3、2知识点：对数求导法、链式求导法则知识点：对数求导法、链式求导法则uxyxu2, 则则设设dxdududydxdy dxduu 2ln2xxulnln 两边取对数两边取对数方程两边直接导方程两边直接导xxxuu1ln 1ln xxux 1ln2ln2 xxyxxx易犯的错误：如果求易犯的错误：如果求dy,漏写漏写dx)(),65ln()()(2xfxxxfn求求设设 模拟模拟2、3、4知识点：高阶导数知识点：高阶导数)3ln()2ln()( xxxfnnnaxnax)()!1()1()ln(1)( )3(1)2(1)!1()1()

12、(1)(nnnnxxnxf 第三章第三章导数的应用导数的应用导数的应用及函数作图导数的应用及函数作图微分中值定理微分中值定理知识点：知识点：微分中值定理、函数的单调性、曲线的凹凸性、微分中值定理、函数的单调性、曲线的凹凸性、函数的极值与最值、拐点、渐近线函数的极值与最值、拐点、渐近线题型题型: 作图题、填空题、选择题、证明题作图题、填空题、选择题、证明题. 0)(),1 , 0(, )0()(3)1 , 0(1 , 0)(132 ffdxxfxf使得使得证明存在证明存在且且内可导，内可导，上连续，在上连续，在在在设设 ).()()(),(),(,)( fbaffbababaxf 使使内至少存在

13、一点内至少存在一点证明在证明在内可导，内可导，上连续，在上连续，在在在设函数设函数2题题 结论等价于结论等价于0)()()( bfaff0)()()( xbxfafxf )()()()(xbafxfxf 构造辅助函数，验证构造辅助函数，验证rolle定理满足定理满足分析分析: 1题难点在于寻求区间，而题难点在于寻求区间，而2题难点在于构造合适题难点在于构造合适 的辅助函数，要求相应函数在相应区间上满足的辅助函数，要求相应函数在相应区间上满足 rolle定理的条件定理的条件知识点：知识点：rollerolle定理、积分中值定理定理、积分中值定理0)()( ),(. 0)()(),( ,)( ff

14、babfafbabaxf使使证证明明至至少少存存在在一一点点内内可可导导，且且上上连连续续在在设设0)()( xfxf)()(xfexfx 0)(2)( xfxf)()(22xfexfx 0)()( xfxf )()(xfexfx 0)()( xxfxf)()(2xfexfx 0)()( xfxfx)()(xxfxf 0)()()( xgxfxf xadttgexfxf)()()(0)()()( xgxfxf)()()(xfexfxg 该构造辅助函数的方法称为指数因子法该构造辅助函数的方法称为指数因子法1)()( . . ),1 , 0(, )2( ;)( . . ),1 ,21( )1( .

15、 1)21( , 0)1(, 0)0( )1 , 0(),1 , 0()( fftsftsfffcxf证明：证明：内可导，且内可导，且在在设设提示提示(2):0)(1)( ff等价于等价于0)()( ff辅助函数辅助函数)()(xxfexfx 知识点：知识点：rollerolle定理、介值性定理、介值性baababbaabeabebaeabababbaaba ,1 )3()(4lnln , (2)1lnln2 ,0 )1(222222设设设设设设证明不等式证明不等式利用函数的单调性来证明不等式的问题，关键在于利用函数的单调性来证明不等式的问题，关键在于通过要证明的不等式构造相应的辅助函数通过要

16、证明的不等式构造相应的辅助函数模拟模拟2、3、4知识点：方程实根的个数知识点：方程实根的个数个实根个实根有有则方程则方程上连续，且上连续，且在在设函数设函数 bxxadttfdttfxfbaxf)()(. 0)(,)( bxxadttfdttfxf)()()(0)(2)()()( xfxfxfxf0)()( badttfaf0)()( badttfbf由闭区间上连续函数的介值性知：方程至少有一个由闭区间上连续函数的介值性知：方程至少有一个实根，再根据单调性知实根是唯一的实根，再根据单调性知实根是唯一的模拟模拟2、3、4知识点：函数的极值、曲线的凹凸、拐点和渐近线知识点：函数的极值、曲线的凹凸、

17、拐点和渐近线填表并作图填表并作图设函数设函数,)2(1xexy 第四章第四章不定积分的计算不定积分的计算分部积分公式分部积分公式换元公式换元公式知识点：知识点：换元公式、分部积分公式换元公式、分部积分公式题型题型: 计算题计算题模拟模拟17知识点：分部积分公式知识点：分部积分公式 dxx2)(arcsin求求 dxx2)(arcsin xdxxxxxarcsin12arcsin22 221arcsin2arcsinxxdxx dxxxxx21arcsin2arcsin22cxxxxx 21arcsin2arcsin22易犯的错误：漏写任意常数易犯的错误：漏写任意常数c模拟模拟17知识点：换元公

18、式知识点：换元公式 dxxxx)1(arctan22求求第五、六章第五、六章定积分定积分反常积分的敛散性判别反常积分的敛散性判别定积分的计算定积分的计算知识点：知识点：牛顿牛顿-莱布尼茨公式、换元公式、分部积分公莱布尼茨公式、换元公式、分部积分公式、奇偶函数在对称区间上的积分性质、反常式、奇偶函数在对称区间上的积分性质、反常积分敛散性的比较判别法、求面积和体积积分敛散性的比较判别法、求面积和体积题型题型: 计算题、填空题、选择题、证明题计算题、填空题、选择题、证明题牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式换元公式、分部积分公式换元公式、分部积分公式定积分的应用定积分的应用 面积、体积面积、体积模拟模拟2、3、4、5、6、7 10323)1(1dxxx求求txtan 令令 40233secsec1tan tdttt 403cos)1(tan tdtt 4023)coscossin( dtttt 402222coscossin tdtt 402222coscoscos1 tdtt2204cos04cos1 tt)12(2 模拟模拟3、2知识点：换元公式知识点：换元公式 2040)(,)2(sin)( dxxfdxxfxxxf求求设设模拟模拟17知识点：反常积分的