初三数学人教九年级下册(新)第二十六章反比例函数教材分析文字讲义

1、第二十六章反比例函数教材分析1 .本章的地位和作用函数知识在中学数学教学中有着极为重要的地位，是教学的重点，也是教学的难点之一，反比例函数是初中阶段所要学习的三种函数中的一种，是一类比较简单但很重要的函数，是后续学习的重要的基础。 现实世界中充满了反比例函数的例子，有着极广泛的应用。 应用反比例函数解决实际问题， 尤其是跨学科应用反比例函数的图象和性质的实际问题，这类题目日益成为中考的热点之一.反比例函数的教学，是在学生对函数已经形成初步认识的基础上，学习认识的又一种 函数，通过学习，使学生掌握函数概念，进一步对函数所蕴涵的“变化和对应”思想有了深 层的理解。在应用反比例函数解决问题中，增强应

2、用数学知识的意识， 体会数形结合、转化、类比、归纳等数学思想方法。2 .本章知识结构：3 .课程教学目标：1 .经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，使学生理解并掌握反比例函数的概 念，结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义，进一步体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。2 .能画出反比例函数的图象，能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用 这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题；并根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式；3 .在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中运动变 化观点，逐步提高学生的观察和归纳分析能力，

3、体验数形结合和转化的数学思想方法；4 .教学重点与难点：教学重点：反比例函数的概念、图象和性质及反比例函数的应用教学难点：反比例函数及其图象的性质的理解和掌握，反比例函数的应用。5 .课时安排：（总课时约9课时）5.1 1反比例函数约3课时；5.2 2实际问题与反比例函数约4课时；数学活动小结约2课时.6 .教学建议：本章教学内容主要分为三大部分：第一部分：反比例函数的概念；第二部分：反比例函数的图象及其性质；第三部分：反比例函数的应用.根据这三部分教学内容，提以下几点教学建议：第一部分：反比例函数的概念：1 .在引进反比例函数概念时，应先复习前面所学的函数概念，及相关的知识为基础，为反比 例

4、函数的学习作好铺垫。2 .利用学生已有的生活经验和背景知识，创设丰富的现实情境，引导学生关注问题中的两个 变量的相依关系和变化规律，结合具体实例引导学生用自己的语言说明两个变量之间的关系为什么可以看成是一个函数，并讨论出函数的表达式，形成反比 例函数的概念的具体形象。3 .在概念教学中要重点突出函数中蕴含的重要的数学思想一变化一对应例1.现有一批物资要自甲城运往乙城，已知甲城、乙城相距800km,运输汽车的速度为xkmh ,运输的时间为y小时，写出运输时间y(小时)与运输速度xkmh关系式，并结合这个关系式，分析两个变量的相依关系解：关系式：y 800. x分析：(1)当x越来越大时，y越来越

5、小；当x越来越小时，y越来越大；(2)当给定一个x的值时，相应的确定了一个 y的值。因此y是x的函数。函数的k形式为：y (k 0的常数). x教学中让学生多举几个生活中的类似实例，形成反比例函数概念。4 .在抽象出反比例函数的概念之后，要引导学生体会：k(1)当常数kw 0时，xy=k与y -两种表达式是等价的，但前者是隐函数形式, xk1作为反比例函数，应表不成显函数的形式：y k (或y kx 1)。xk .(2)允许将实例中的自变量 x与函数y互换(即x ,k 。)，可根据需要进行选择 y(3)定义中非零常数 k及变量x、y已经不再局限于只取正值，而允许取任意非零数值。要让学生弄清楚解

6、析式中各字母的意义，自变量x的取值范围。例2.当m取什么数时，函数 y (m 1)x时 2为反比例函数式？解：函数y (m 1)x|m| 2要为反比例函数式，则 m 21, m 1,- m 1 0, 1 m 1m=-1此题是认识反例函数定义的等价形式y kx 1(k 0),由这个等价形式可得到m 21且m 1 0,求出m=-1.解决此类问题最容易忽略的就是kw0条件，教学中要让学生注意。通过教学使学生掌握反比例函数的解析式的形式:(1)(kw0的常数)(2)xy(kw0的常数)(3)kx1(kw0的常数)第二部分:反比例函数的图象及其性质;教 自主地(2)当k>0时，两支曲线分别位于第一

7、、三象限,y的在每一象限内，y的值随x 函数的性质蕴涵于概念中， 对反比例函数性质的探索是对其概念内在规定性的认识,通过观察、分析函数的图象,学中应引导学生在了解函数的三种表示方法的基础上, 对反比例函数的图象及其性质作出直观描述。1 .学生初次遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组 成，因此，在作图象过程中，教师要引领学生从列表取点、描点连线。师生互动议论，画出 反比例函数图象。2 .利用几何画板作出几个具体的反比例函数图象，让学生观察，并把数与 形结合起来，归纳出反比例函数图象的特征。3 .利用几何画板作出 k>0和k<0时的多个反比例函数图象，数形结

8、合，让学生归纳概括出反比例函数的性质。反比例函数的性质：(1)反比例函数的图象是由两支曲线组成；即：反比例函数的图象是双曲线。(3)反比例函数图象的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与 x轴和y轴相交。(4)反比例函数的图象是对称图形；反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形；Dy2) yk(k x k(k xK和y x0)是轴对称图形，其对称轴为y x和yx两条直线;0)是中心对称图形，对称中心为原点(0, 0)。k 一在同一坐标系中的图像关于 x轴、y轴成轴对称。x(5)反比例函数的几何意义:k在反比仞函数y (k 0)的图象上任取一点 M, x从几何意义上看，从点 M向两轴作垂

9、线，两垂线段与坐标轴所围成的矢I形的面积为定值k。(6) k越大，双曲线越远离原点。利用反比例函数的这些性质可解决一些相关的问题。例3.已知反比例函数y (k3)xk 5的图象分布在二、四象限,求反比例函数的解析式 解：由题意可知：反比例函数的解析式为y例4.已知反比例函数y (m22)xm 10的图象，在每一象限内随x的增大而减小,求反比例函数的解析式 解：由题意可知：2m2 101m=3,反比例函数的解析式为例5.P是反比例函数k y 上一点，若图中阴影部分的x矩形面积是5,求这个反比例函数的解析式解：由反比例函数的几何意义可知:k反比例函数 y 的图象位于二、xk =5,四象限,.k&l

10、t;0,1. k=-5.这个反比例函数为 y例6.已知点A (-3, a),B(-1,b),C(3,c)都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为(A. a bD ) c B.c b a C.b c a D.例7.反比例函数yk1 ,，一的图象经过点xA (-2 , 3),请问经过点A的正比例函数yk2X的图象与反比例函数y由.x-3)k11的图象还有其它交点吗？若有，求出交点坐标；若没有，说明理 x一的图象交于:一次函数ykx b的图象经过点A B,，有2k解之得:解：有，因为正、反比例函数的图象均关于原点对称，且点 A在它们的图象上，所以 A (-2, 3)关于原点的对称点 B (2

11、,-3)也在它们的图象上，所以，它们相交的另一个交点坐标为(2, -3).第三部分：反比例函数的应用1.确定反比例函数解析式.由反比例函数的解析式可知：确定反比例函数解析式只需把待定系数k求出来.因此，只需一个独立条件：(1)图象经过的一个点的坐标；(2)适合解析式的一对对应值；(3)其它 间接的条件等；例8.如图，已知一次函数 y kx b的图象与反比例函数A (-2 , 1), B ( 1, n)两点.(1)求这两个函数解析式；(2)求 AOB的面积.解：(1)二,反比例函数y m的图象经过点A B,X1 -m , m=-2,2反比例函数为y 2 ；x2n ：=-2, B (1, -2);

12、1，一次函数为y x 1.(2) AOBB勺面积为1。例9.已知y是x的反比例函数，且 x=2时，y=-3.(1)求y与x的函数关系式；(2)当y=2时，求x的值.k解：(1)设反比例函数为 y k(k 0)x把x=2 , y=-3代入解析式得：3 K2k=-6,.y与x的函数关系式为 y 6.xk的图象与y -的图象关 xx(2)当 y=2 时，x=3.例10.(07年北京)在平面直角坐标系 xOy中，反比例函数 y于x轴对称，又与直线 y ax 2交于点A (m,3),试确定a的值. k3解：依题意得，反比例函数y 的解析式为y 。3因为 点A (m, 3)在反比例函数 y 一的图象上，

13、x3所以 3 一 ,解得 m=-1。即点A的坐标为(-1, 3)。 m因为 点A (-1, 3)在直线y=ax+2上，所以3=-1a+2,所以a=-1。2.实际问题与反比例函数在实际问题中，学生经历数学知识的应用，教学中要关注对问题的分析过程；利用反比例函数解决实际问题，关键是数学建模。一般地建立函数模型有两种思路：(1) 通过问题提供的信息，知道变量之间有什么函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式，再由已知条件求出表达式中的字母系数即可。(2)从问题本身的条件中不知道变量间是什么函数关系，在这种情况下，和列方程解应用题的思路一样，找出等量关系，把变量联系起来就得到函数表达式。实际问题中

14、的反比例函数，往往自变量的取值受到实际意义的限制，这时对应着的函数图象可能是双曲线的一支或是双曲线的一段，教学中要重视。这点是学生在学习中最易错的，最易忽略的。例11.某水池每小时的注水量Q ( m% )与注满水池所需的时间t (h)之间的函数关系如图所示.(1)求蓄水池的蓄水量，并写出 Q与t的函数关系式；(2)若注满水池需用 8h,则它每小时的注水量是多少？(3)若需要4h内注满水池，则每小时的注水量该如何控制?(4)若该水池注水管的注水能力最大为6m% ,则注满水池至少需要多少时间？解：(1)由题意知：蓄水量 =Qt=3x 12=36( m3).Q 与t的函数关系式为： Q 36 (t&

15、gt;0).t4.5(m3/h)8h,则它每小时的注(2)当 t=8h 时，Q=368即：若注满水池需用水量是4.5(3)当 t=4h 时，Q=36/4=9 (m3/h)即：若需要4h内注满水池，则每小时的注水量应控制在不低于9 m3.(4)当 Q=6m，时，6=36, . t=6h.即：若该水池注水管的注水能力最大为,则注满水池至少需要6h.例12.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 球体积V (立方米)的反比例函数，其图象如图 .(1)写出p与V的函数关系式；(2)当气球内的体积为 0.8立方米时，气球内的气压是多少？p (千帕)是气(3)当气球内的气压大于 14

16、4千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于 多少立方米？解：(1)由题意知, 积V (立方米)根据题意，设;图象过点A气球内气体的气压 的反比例函数， p=k.V(1.5,64 ),p (千帕)是气球体，把V=1.5,p=64代入解析式得:二. p与V的函数关系式为：pk=96.96.V(2)当V=0.8立方米时，p=120千帕.一， , 一 962(3)解法一：由p=144千帕，得V=-144 3气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，所以144 ,由图象可看出，p随V的增大而减小,V 232即：当气球的体积 V 立方米时，气球内的气压3气球就不会爆炸。144千帕,解法二：当气

17、球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸， p 144,p与V的函数关系式为:96 pV96V14496144当气球的体积2一乂方米时，气球内的气压3p 144千帕，气球就不会爆炸。例13. (07年辽宁)某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，计划用t (t >4)天完成.(天)之间的函数关系式;(1)写出每天生产夏凉小衫 w (件)与生产时间4天交货，那么服装厂(2)由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务? 解：（1）根据题意得：wt=1600,.w与t之间的函数关系式为:1600,八w (t 4).64005t(t 4)1600

18、 1600(2)根据题意有：t 4 t答：调整计划后，服装厂每天要多做6400件夏凉小衫才能完成任务。t（t 4）例14.某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产不断降低, 具体数据如下表：（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数和反比例函数中确定那种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；（2）按照这种变化规律，若 2005年已投入资金5万元.预计生产成本每件比 2004年降低多少万元？如果打算在2005年把每件成本降低到 3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结 果精确到0.01万元）解：（1）假设y与x是一次

19、函数关系，年度2001200220032004投入技改资金x （力兀）2.5344.5产品成本y （万元）7.264.54设kx b2.5k b 7.23k b 6把表中数据：（2.5,7.2 ）、（3, 6）代入解析式得:一 k 2.4一 一解之得：， y 2.4x 13.2.b 13.2再把（4,4.5 ）代入上式，左边w右边， y与x不是一次函数.假设y与x是反比例函数关系，m仅y ,x把表中数据：（3, 6）代入解析式得：6 m, m=18, 318x再把（4,4.5 ）代入上式，左边=右边，.y与x是反比例函数，y 竺；.可用y 竺表示其变化规律.xx(2)当x=5万元时，y=3.6

20、万元，. 4-3.6=0.4(万元)，生产成本每件比 2004年降低0.4万元.当y=3.2万元时，x=5.625万元， 5.625-5=0.625 =0.63 (万元)，还需投入0.63万元。3.反比例函数与其它知识的综合应用在综合应用问题中，关注题意的分析过程，培养学生阅读、审题能力 在整个解决问题中，重视数形结合的数学思想方法研究问题，重视函数图象的重要作用 利用数与形的相互转化寻找解题的思路。k例15.如图，已知反比例函数y (k 0)的图象经过点xA( J3, m),过点 A 作 ABI x 轴于点B,且 AOB的面积为,3 .(1)(2)求k和m的值；若一次函数y=ax+1的图象经

21、过点A, 并且与x轴相交于点C,求 ABC的面积.解：(1)由题意知： AOB的面积为33 ,由反比例函数的几何意义得：k 2，3,k< 0, k2 J3 .2 2.3反比例函数为y幺=x反比例函数图象经过点A(，；3,m),.m 丝，m=2.3(2) :一次函数 y=ax+1的图象经过点A( . 3,2) 21,a y.3x3C(V3,0), BC=2V3, AB=2,Sabc1-BC AB 22.3 2 2 3例16. （2008年，浙江义乌）已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为（3、/3,3 ）,点B的坐标为（一6, 0）.（1）若三角形OAB关于y轴的轴对

22、称图形是三角形OAB ,请直接写出A、B的对称点A、B的坐标；（2）若将三角形 OAB沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数 y 6昌的图象上，x求a的值；90)（3）若三角形OAB绕点。按逆时针方向旋转度（0当 =30°时点B恰好落在反比例函数k的图象上，求k的值.x问点A、B能否同时落在中的反比例函数的图象上，若能，求出的值；若不能，请说明理由解：(1) A(3j3,3), B(6,0),(2) .点 A( 3j3,3),6.3. x2 3.a5.330°.相应B点的坐标是(3J3, 3),.k 9,3.中的反比例函数为y9.3当600时，相应A,B点的坐标

23、分别是（3G 3）,（ 3, 3J3）,600时，相应A,B两点落在反比例函数上。七.参考练习：（一）选择题：)1c. y - d. yx13x)（1）下列函数中，是反比例函数的是（1A. x（ y 1） 1 B. y x 1（2）已知反比例函数的图象经过点（ a,b）,则它的图象一定也经过点（A. (-a,-b )B.(a,-b)C.(-a,b)D.(0,0)k(3)如果反比例函数 y 的图象经过点(-3,-4),那么函数的图象应在(A.第一、三象限xB.第一、二象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限(4)若y与-3x成反比例，x与4成正比例，则y是2的()ZA.正比例函数B.反比例函数C

24、. 一次函数D.不能确定(5)若反比例函数2 批y (2m 1)xm 2的图象在第二、四象限，则 m的值是(A. -1 或 11B.小于的任意实数C.-1D.不能确定(6)函数y=x+m与y2m(m 0)在同一坐标系内的图象大致位置是( xx(8)若 A(-3, y1)，B(2,y2),c (1, y3)三点都在函数1，一，一一的图象上，则y1，y2,y3的 x大小关系是()A. y1y2y3 B.y y2y3 C.y1y3y2D.yy2y3(9)已知点A (-3, a),B(-1,b),C(3,c)都在反比例函数4,一的图象上，则xa、b、c的大小关系为A. a b)c B. c b aC.

25、 bD.(10)(08 年，山东济南)如图：等腰直角三角形 角顶点A在直y=x上，其中A点的横坐标为y轴，若双曲线y k("0)xABCB于第一象限 1,且两条直角边a bAB=AC=,与ABC有交点，则A. 1 k 2C. K k<4(二)填空题：k的取值范围是()B. 1 < k< 3D. 1 < k 4(1)写出下列各反比例函数中的 k值:AB AC分别平行于x轴、y y 勺时，k=xy；1时，k=3x2；y 时, xk=(2)收音机刻度盘的波长长l和频率f满足关系式fl和频率f分别是用米(m)和千赫兹(kHz)300000、u ，这说明波长l越大，频率

26、f就越l为单位标刻的，波(3)正比例函数y=2x与反比例函数y 8的图象有一个交点(2, 4),则它必有另一个交 x与八、.k(4)已知一次函数y=2x-5的图象与反比例函数y (k 0)的图象交于第四象限内一点xP (a,-3a )，则这个反比例函数的解析式为 .已知点A(x1,yj,Bdm),都在反比例函数y2m3的图象上，且当x0x2x时，有y1 y2,则m的取值范围是k . (6)若反比例函数y(k 0)的函数值y在x=1处时，当自变量x增大2,函数值y相x-2 -应减小一，则k=3m 1(7)已知反比例函数 y 的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 x(8)题(8) (2008年，甘肃兰州)如图 12,已知双曲线ky (x 0)经过矩形OABC的边AB, BC的中 x点F, E ,且四边形OEBF的面积为2,则k (三)解答题：5 k1 .已知正比例函数 y kx的图象与反比例函数 y 5- (k为常数，k 0)的图象有一 x个交点的横坐标是 2.(1)求两个函数图象的交点坐标；5 k若点A(Xi, y1)，B(x2, y2)是反比例函数y 图象上的两点，且 为 x2,试比 x如图9较y1