高等数学部分

1、高等数学部分一、向量（矢量）及其运算数学中所研究的向量一般是自由向量，即与起点无关的向量。这与物理中的某些向量不同，物理中所研究的很多向量不是自由向量而是约束向量，像力矢量与力作用点有关。对于自由向量，若它们的大小相等，方向相同，我们就说向量是相等的，记作：。这就是说经过平移后能完全重合的向量是相等的。向量的大小叫做向量的模，向量、的模记作。模等于1的向量叫做单位向量，不论它的方向。模等于零的向量叫做零向量，记作：。零向量的起点和终点重合，它的方向可以看作是任意的。两个非零向量如果它们的方向相同或者相反，就称这两个向量平行，向量平行，记作。由于零向量的方向可以看作是任意的，因此可以认为零向量与

2、任意向量都平行。1.向量的加减运算向量的加减法遵循平行四边形定则和三角形定则。（1）向量的加法（如下图）向量加法遵循下列运算规则：交换律：结合律：注：求两个向量的和可用三角形法则也可用平行四边形法则，两种方法等效。（2）向量的减法（如下图）特别地，当时，有由以上向量知识可知，物理学中求质点受多个力的合力时，可将矢量三角形法则推广到矢量多边形法则。由以上知识还可知道当三个向量的和为0时，即则以向量为边可以构建一个封闭的矢量三角形，同理当n个向量的和为0时，以这n个向量为边可以构建一个封闭的矢量n边形。如下图所示：2.向量与数的乘积向量与实数的乘积记作，它也是一个向量。它的模：，当时与方向相同，当

3、时与方向相反。向量与数的乘积遵循结合律与分配率：下图中各向量的关系3.向量的坐标表示法向量在三条坐标轴上的投影叫做向量的坐标。其中，看来这里的表示三条线段而不是三个点。记作：这是向量的坐标表示式对于起点为，终点为的向量特别地，点对于原点O的向量：这就是说如果向量起点在坐标原点，那么这个向量的坐标与它的终点坐标一致。设有，则有：向量的模：4.向量的数量积（也叫内积、点乘积、标积）运算 结果为一个数量无方向可见两个向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积。物理学中的功就是采用数量积来定义的，即：可见物理课本中给出的公式中的已不是矢量了而是矢量的模。物理学中的磁通量

4、也是采用数量积定义的，即： 如下图由数量积的定义可以推得：（1）这是因为夹角所以（2）（3）方向是任意的，可认为方向与任意向量都垂直，因此有（4）交换律：（5）分配率：5.两向量的向量积（也叫叉乘积，矢积）运算 （叉乘积的结果仍是一个向量）的模的方向垂直于与所决定的平面（即）的指向按右手规则从转向来确定。物理学中的力矩就是采用叉乘积来定义的，即：或物理学中还有如下一些物理量是采用叉乘积来定义的：角动量：圆周运动中的线速度、角速度、位径的关系： 则 当时，即时，简写成：安培力： 洛伦兹力： 叉乘运算的性质（1）这是因为夹角，所以（2）（3）（4）分配率：例：有两个向量，现有一动点p，从开始沿着与

5、向量相同的方向做匀速直线运动，速度为。另一动点Q，从开始沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为。设P、Q在时刻t=0秒时分别在处，则当时，t等于多少？解：因为 所以 又有 结合运动的分解知识可得：经过t时间后 ，于是 由可知而 得二、导数与微分知识在高中物理中的应用导数反映函数相对于自变量变化的快慢程度，微分指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少。看来导数与微分有所不同，但二者有联系。下面先来看导数概念的建立1.平均速度和瞬时速度对于某一作变速运动的质点，设在时间内发生的位移为，则这一过程的平均速度为，用这个速度只能大体上反映物体运动的平均快慢程度，不足以反映物体在各个瞬时的运动快

6、慢，要准确确定物体在某一时刻的瞬时速度我们可以这样处理：比如说这段过程是从至这段过程，即。现在我们确定质点在时的瞬时速度，可让取得很短，即很接近。这样一来用来表示时的瞬时速度误差就小了，也就是说在这种情况下平均速度就近似等于时的瞬时速度了，在这个基础上如果我们让（也就是让）对求极限，那么这个极限值就表示时的瞬时速度了，即看来瞬时速度就是对平均速度求极限的结果。2.切线问题设有一曲线C其函数为，现在该曲线上任取两点M、N，并作曲线C的割线MN，该割线的斜率，为此割线的倾斜角。现让N点沿曲线C靠近M点则割线MN就会绕M点顺时针旋转，当N点和M点重合时，也就是时，即，割线MN便转到一个极限位置MT，

7、我们就把这个直线MT称为曲线C在点M处的切线。由以上可以确定切线的斜率k，即。由此可见，切线MT的斜率就是割线MN的斜率在时的极限值。在此我们要注意，圆的切线定义为与曲线只有一个交点的直线，这是正确的。但对于其它曲线用与曲线只有一个交点的直线来定义切线就不合适了。根据以上问题的探讨下面我们给出导数的定义从上面讨论的两个问题看出，非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限：这里的和分别是函数的自变量增量和函数增量，即，。因，相当于，故上式可写成：或。定义：设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量，如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可

8、导，并称这个极限为函数在点处的导数。记作：即，也可以记作：。函数在点处可导有时也说成在点处具有导数或导数存在，这里所说的导数是指函数在某点处的导数，是一个具体的值。导数就是函数的变化率，用以描述函数随自变量的变化快慢。在上面是函数随自变量的平均变化率，而导数则是函数在点处的变化率是一个瞬时变化率。上面讲的是函数在某点处可导，如果函数在开区间内的每点处都可导，就称函数在开区间内可导，这时对于任一都对应着的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个新的函数叫做原函数的导函数，记作：或、导函数的定义式：，显然，函数在点处的导数就是导函数在点处的取值，即。导函数简称导数，而是在处的导数或导函数在

9、处的取值。（1）常用的一些导数公式 （2）函数的和、差、积、商的求导法则设，则 （3）复合函数的求导法则设、且、都可导，则复合函数的导数为：或，即先对整个函数求导，再对子函数求导。例如：以上所说的是一阶导数，下面再看二阶导数我们知道，变速运动中速度v是位移s对时间t的导数，即或，而加速度又是速度对时间的变化率（导数），即或。这种导数的导数或叫做对的二阶导数，记作：或，所以加速度是位移对时间的二阶导数。一般地，函数的导数仍然是的函数，我们把的导数叫做函数的二阶导数，记作：或，即或在此基础上还有高阶导数。相对于导数的概念微分是这样定义的函数在任意点的微分，称为函数的微分，记作：或，即：例如：函数的

10、微分为：函数的微分为：而函数在点处的微分可表示为：例如：函数在和处的微分函数在处的微分为：，在处的微分为：因此微分指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少。下面用导数知识分析高中物理中的几个内容：1.法拉第电磁感应定律高中物理课本中所给出的法拉第电磁感应定律的内容是：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。其数学表达式为：，用此式实际上求出的是某过程的平均感应电动势，而要求某时刻的瞬时电动势可以这样进行：对取极限，即，若要求时刻的瞬时电动势那就是。比如：穿过某一回路的磁通量随时间的变化规律是，则在此回路中产生的感应电动势瞬时值表达式就是，要求哪一时刻的值就把该时刻代

11、入即可。2.对于电磁振荡（LC）回路中，图示MN间的电压：（这是瞬时电压）令 ，则振荡电流 而电感线圈的自感电动势 又有所以 故有 因此在不计电感线圈内阻的情况下，电感线圈两端外电压与其内部自感电动势始终是平衡的。3.牛顿第二定律的动量表述物体所受合外力等于动量对时间的变化率（即动量对时间的导数），即4.电场强度是电势对空间的变化率即 由此可知在空间某区域范围内电势恒定不变（如等势体）则电场强度必为0，但是由某点的电势是不足以确定该点的场强的，可由某处电势对距离的变化率确定该处场强。5.对于直线运动有平均速度定义式： 平均速度也是矢量，既有大小又有方向，且的方向与的方向一致。瞬时速度定义式：

12、瞬时速度是矢量，瞬时速度是位移对时间的一阶导数，是平均速度的极限。瞬时速率：路程s对时间t的一阶导数， 也称作瞬时速度的大小为瞬时速率，是标量无方向。平均加速度： 矢量，且的方向与的方向始终一致。瞬时加速度： 瞬时加速度是瞬时速度对时间的一阶导数或位置矢量对时间的二阶导数。只有直线运动才有速度时间图像在该图像中过每点的切线斜率表示瞬时加速度，割线斜率表示平均加速度。只有直线运动才有位移时间图像在该图像中过每点的切线斜率表示瞬时速度，割线斜率表示平均速度。6.对于曲线运动对于曲线运动来讲无速度时间和位移时间图像，但存在速率时间和路程时间图像。因此在研究曲线运动时常常可以直接研究它的运动轨迹或者运

13、用运动分解的方法来研究。设有一曲线运动如图示时刻质点在A点，经过时间质点沿曲线运动到了B点，在这段过程中质点通过的路程为的长，质点发生的位移为有向线段，我们把位移与时间之比叫做在时间内质点的平均速度，用表示，即，平均速度也为一矢量，它的大小等于，方向与位移的方向相同，从A指向B。而这段过程中看来平均速度大小不一定等于平均速率。依照直线运动瞬时速度的定义：我们把时平均速度的极限（包括大小和方向的极限）叫做质点在某一时刻（或某一位置）的瞬时速度，用表示，即该式表明瞬时速度等于位移对时间的一阶导数，速度是矢量，它的方向是时位移或平均速度的极限方向。在上图中，当时B点趋近于A点，割线AB趋近于过A点的

14、切线AT，所以质点的速度方向是沿着轨迹上质点所在点的切线方向并指向质点前进的一方。与直线运动一样，瞬时速度大小也叫瞬时速率。当时，所以有此式表示瞬时速率等于质点运动的路程对时间的一阶导数。再看曲线运动的加速度设一质点作曲线运动，时刻在A点，到了时刻到了B点，在A点时的速度为，到了B点时的速度为，这段过程中质点的速度增量。仿照直线运动中平均加速度的定义：我们把速度增量与时间之比叫做时间内的平均加速度，即，如果让平均加速度的极限叫做质点在某一时刻（或某一位置）的瞬时加速度。加速度是速度对时间的一阶导数，是位移矢量对时间的二阶导数。加速度为矢量，它的方向是时速度增量或平均加速度的极限方向。看来对于直

15、线运动与曲线运动中平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度的定义是一样的，反映的物理意义也一样。只不过直线运动中的加速度只描述速度大小变化的快慢，而在曲线运动中加速度除了描述速度大小变化快慢外还描述速度方向变化的快慢。对于曲线运动我们可以画出其速率时间图像，该图像面积表示路程。7.电流、电量的关系高中物理课本中电流的定义式是：意思是通过导体横截面的电荷量与通过这些电荷量所用时间的比值称为电流，用表示。用这个关系只能求出通过导体的平均电流而要求瞬时电流需这样处理： ，因此在图像上过每个点的切线斜率表示瞬时电流，割线斜率表示平均电流。而图像的面积则表示通过导体的电荷量。三、积分知识在高中物理中的

16、应用1.不定积分求解不定积分是求导的逆过程。原函数的概念定义：如果在区间I上，可导函数的导函数为，即对任一都有：或，那么函数就被称为或在区间I上的原函数。例如：因为，所以是的原函数。不定积分的概念定义：在区间I上，函数的带有任意常数项的原函数称为或在区间I上的不定积分。记作： 其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。由此定义可知，如果是在区间I上的一个原函数，那么就是的不定积分。即：，因而不定积分可表示的任意一个原函数，也就是说求一个函数的不定积分就是求这个函数的原函数。例： 例：设曲线通过点，且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程。解：设所求曲线的

17、方程为 由题设可知 所以： 将点带入，有所以：所求曲线方程为例：质点以初速度竖直上抛，不计阻力，求它的运动规律。解：取向上为正方向，加速度恒定，建立一维坐标系S由于 因此 又因为 所以 于是 而 因此 而时于是 这里的表示质点的初位置。根据不定积分的定义，应该有如下关系：由于是的原函数，所以又由于是的原函数，所以或记作由此可见微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算以记号表示）是互逆的，当记号与d连在一起时，或者抵消或者抵消后剩下一个常数。2.定积分定义：设函数在上有界，在中任意插入若干个分点：，把区间分成n个小区间各个小区间的长度依次为：，在每个小区间上任取一点，作函数值与小

18、区间长度的乘积，并作出和，记，如果不论对怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即，其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。由定积分的定义给出了求曲边梯形的面积、变速直线运动、变力做功的求法。如：曲线，轴及两条直线、所围成的曲边梯形的面积A等于函数在区间上的定积分，即 （图中阴影区域的面积）物体以变速作直线运动，从时刻到时刻，这物体经过的路程S等于函数在区间上的定积分，即注意：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关微积分基本公式：牛顿莱

19、布尼茨公式定理：如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则一般可用上面公式求解定积分问题求定积分的一般思路是：先求出不定积分（原函数）再根据牛顿莱布尼茨公式代入上下限得出结果，在此关键是求原函数。例： 例：计算正弦曲线在上与轴所围成的平面图形的面积。解：例：汽车以每小时36km速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度刹车。问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解：首先由可得：而 即 因此 当时车停下，因此从开始刹车到车停下车行距离：下面用定积分的知识来处理物理中的几类问题1.变力沿直线做功在物理中物体在恒力F作用下移动距离S，则力F对物体所做的功。当作用在物体上的力为变力时，会遇到变力做

20、功。下面举例说一下变力沿直线做功的求法。例：把一个带电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方，那么电场对它的作用力大小为，当这个单位正电荷在电场中从处沿r轴移动到处时，计算电场力F对它所做的功。解：在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力为变力，取r为积分变量，它的变化区间为。设为上的任一小区间，当单位正电荷从r移动到时，电场力对它所做的功近似于，即功元素为，于是所求的功为。在计算静电场中某点的电势时，要考虑将单位正电荷从该点处移动到无穷远处时电场力所做的功W，在此电场力对单位正

21、电荷所做的功就是广义积分（规定无穷远处电势为0），即。场源正电荷产生的电势为正，场源负电荷产生的电势为负。例：在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积为S）从点a处推移到点b处，计算在移动的过程中，气体压力所做的功。解：取坐标系轴，活塞的位置可以用坐标来表示，由物理知识可知，一定量的气体在等温条件下，压强P与体积V的乘积为常数K，即，因为，所以，于是作用在活塞上的力，又在气体膨胀的过程中，体积V是变化的，因而也是变化的，所以作用在活塞上的力F就成了变力。取为积分变量，它的变化区间为，设为上任一小区间，当活塞从移动到时，变力F所做的功为，即

22、做功元素为，于是所求的功为：。例：一圆柱形储水桶高为5m，底圆半径为3m，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需要作多少功？解：作轴为坐标系（向下方向为正方向），取深度为积分变量，它的变化区间为。相应于上任取一小区间的一薄层水的厚度为，把这一薄层吸出桶外需做功，即做功微元，于是所求的功为：此题也可以按初等方法来求解：水压力求解问题在物理学中，水深处水产生的压强为，设有一面积为的平板水平放置在深度的地方，那么平板受水产生的压力为。如果把平板竖直放置在水中，由于水深不同的点处压强P不相等，平板一侧所受水的压力就不能用上述公式来直接求解了。看下一例。例：一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水。设桶

23、的底半径为R，水的密度为，计算桶的一个端面上所受的压力（如图）解：在这个圆片上取过圆心且竖直向下的直线为轴，取为积分变量，它的变化区间。设为上任一小区间，半圆片上相应于的窄条上各点处的压强近似于，这窄条的面积为，因此窄条所受水的压力，即压力元素为，于是所求压力：引力问题由物理学知道，质量分别是相距为的两个质点间引力大小为：。如要计算一根细棒对一个质点的引力，那么由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点引力的方向也不同，因此不能用上述公式来直接计算，看下一例。例：设有一长度为，线密度为的均匀细直棒。在其中垂线上距棒处有一质量为的质点，试计算该棒对质点的引力。解：取坐标系如图，使棒位于

24、轴上，质点位于轴上，棒的中点为坐标原点O。取为积分变量，其变化区间，设为区间上任一小区间。把细直棒上相应于的一小段近似看成质点，其质量为，与质点相距，于是可以按照两质点引力公式求出这段细直棒对质点的引力，该力沿水平方向的分力，即力元素为：于是得引力在水平方向的总分力为：再由对称性可知：引力在轴方向上的分力为。讨论：当细直棒很短时，即，由上面结论可知：，此时可以把很短的一段细直棒视为质点。 当细直棒很长时，即，由上面结论可知：，很显然不能把细直棒看成质点了。例：把质量为m的物体从地球表面升高到h处，求克服万有引力做的功。其中G为引力常数，M为地球质量，R为地球半径。解：功元素为：，所求的功为：第

25、二宇宙速度的推导物体脱离地球的引力束缚，进入行星轨道的最小发射速度叫做第二宇宙速度。推导方法如下：用M表示地球质量，R表示地球半径，m表示物体质量，G表示引力常量，把一个物体从地球表面发射出去，要使物体摆脱地球引力的束缚，对其应该做的功为：如果物体所具有的动能足以达到上述值，便可以摆脱地球引力束缚，即，由此可得：再看一个问题现有一个星球质量为M，半径为R，另一个质量为m的物体距星球表面h处，求该物体所具有的引力势能。（规定无穷远处引力势能为0）由功能关系可知，设想将物体从所处位置移到无穷远处，在此过程中物体克服引力所做的功即为该处引力势能的大小，由于规定无穷远处引力势能为0，所以引力势能应该取

26、负值。在天体系统中，如地球和卫星系统，如果只有万有引力做功则系统机械能守恒，即动能和引力势能总和保持不变。下面再推导正弦交流电中电压、电流的有效值与最大值的关系由电流热效应可知：在此化简、整理后得：，再根据欧姆定律可得。交流电的电功率反映交流电的平均效果，因此有的资料上把该功率也称作平均功率。这个功率是用有效值来计算的，即在纯电阻电路中对于正弦交流电而言。通常交流电器上标明的功率就是平均功率。交流电有效值的定义：让交流电和恒定电流分别通过同一个定值电阻，如果在交流电的一个周期内二者产生的热量相同（即热效应相同），我们就把恒定电流的数值称作交流的有效值。在定义交流电有效值时，选交流电的一个周期进行定义和计算是很科学、很准确的。在此不可任意选定时间，否则结果就不准确了。选一个周期进行计算，对于具有对称性的交流电和不具对称性的交流电都适用。物理中在计算某段时间通过导体截面的电荷量时，如果要计算一个周期通过的电荷量，对于对称性的交流电而言电