核物理20114380135钟长游

1、毕业设计(论文)题 目 一维Fokker-Plank方程的数值解法 学院名称 核科学技术学院 指导教师 黄千红 职 称 讲师 班 级 核物理111 学 号 20114380135 学生姓名 钟长游 2015年 5 月 18 日 南华大学本科毕业设计（论文）任务书论文 (设计) 内容及要求：一、毕业设计（论文）主要内容1、阅读等离子体的相关书籍，了解等离子体的一些知识。2、阅读相关论文，了解Fokker-Planck的相关知识。3、了解偏微分方程三维数值解法。4、用数值解法模拟解Fokker-Planck方程。二、毕业设计（论文）基本要求1、根据设计任务书设计内容，作出设计进度安排，写出开题报告

2、；2、通过文献调研，掌握国内、外托卡马克平衡与宏观稳定性的研究现状；3、通过阅读和调研了解并理解托卡马克平衡与宏观稳定性的规律；4、按要求撰写毕业设计（论文），论文表述清楚，图、表描述准确；三、毕业设计（论文）进度安排12 月 3日-1 月 3 日 收集资料，完成开题报告 1 月 3日-3 月 15 日 完成基础理论知识的阅读和理解 3 月16 日-5 月 5日 完成大量的调研工作5月 6 日-6 月1 日 完成论文初稿、定稿、装订主要参考文献：1朱士尧.核聚变原理，合肥；中国科技大学出版社，19922石秉仁.磁约束聚变原理与实践，北京；原子能出版社，1999.123李定等.等离子体物理学，北

3、京；高等教育出版社，2006.54杜凯.宋国利.冷等离子体中的Fokker-Plank方程.黑龙江大学自然科学学报N.2012-4(4)5ALI SHAJII，DANIEL SMITH.基于Fokker-Plank方程的等离子体模拟6王勋成.有限单元法基本原理和数值方法(第2版)M.清华大学出版社 指导老师： 年 月 日南华大学本科生毕业设计（论文）开题报告设计（论文）题目一维Fokker-Plank方程的数值模拟设计（论文）题目来源研科在研课题设计（论文）题目类型软件仿真起止时间2014/12-2015/05一、 设计（论文）依据及研究意义：依据： 意义：这篇论文可以加强我对数理知识的提升和

4、应用，以及搜索获取知识的能力。增强我引进消化吸收创新的能力，同时也能让我熟练了常用的Office等办公软件，以及常用的编程软件MATLAB 和Fortran等和常用的图像处理软件Origin的使用。二、 设计（论文）主要研究的内容、预期目标：（技术方案、路线）基本路线 1、第一阶段：2014年12月2015年1月收集资料确定研究方向完成论文选题。 2.第二阶段：2015年1月3月，完成论文开题报告、撰写提纲 3、第三阶段：2015年3月5月，完成论文初稿、二稿。 4、第四阶段：2015年5月6月，毕业论文完稿，答辩。论文内容 第一部分：介绍Fokker-Plank方程的推导来源和适用环境 第二

5、部分：比较Fokker-Plank与薛定谔方程的相关异同 第三部分：简述解偏微分方程的几种方法原理和优劣 第四部分; 写出Fokker-Plank方程的数值解法Fortran程序 第五部分：对Fortran解出的数据用绘图工具进行分析 第六分布：后续引文感谢词等具体做法是： 1） 认真科学地收集、查阅、整理与Fokker-Plank方程相关的文献；2） 结合文献资料和调研，详细分析Fokker-Plank方程的原理，推导过程以及在等离子体中的应用。最后在边界条件下用Fortran编程模拟 解出数值解3) 论文篇幅8000字以上，论点清楚、论据准确、材料详实、论证完整、严密，并具有独立的观点和见

6、解；4)语言通顺，逻辑性强三、设计（论文）的研究重点及难点： Fokker-plank方程是一个多维的非线性 微分方程，要直接解出解析解是非常困难的，所以我们采用计算机模拟的方式解出数值解。这项工作中最难的就是软件编程，因为很多参数要考虑。而且还要在特定的情况下去。解出有大量的数值要分析。四、 设计（论文）研究方法及步骤（进度安排）：基本路线 1、第一阶段：2014年12月2015年1月，收集资料，确定研究方向，完成论文选题。 2、第二阶段：2015年1月3月，完成论文开题报告、撰写提纲 3、第三阶段：2015年3月5月，完成论文初稿、二稿。 4、第四阶段：2015年5月6月，毕业论文完稿，答

7、辩。具体做法是：1） 认真科学地收集、查阅、整理与Fokker-Plank方程相关的文献；2） 结合文献资料和调研，详细分析Fokker-Plank方程的原理，推导过程以及在等离子体中的应用。最后在边界条件下用Fortran编程模拟解出数值解3) 论文篇幅8000字以上，论点清楚、论据准确、材料详实、论证完整、严密，并具有独立的观点和见解；4)语言通顺，逻辑性强五、进行设计（论文）所需条件：一些资料(老师给的和自己查的)电脑（自带）软件教材（Fortran）老师和学长的指导五、 指导教师意见：签名： 年 月 日摘要：目前，很多领域的科学计算都遇到一个问题，方程很难解。随着计算机的发展，科学运算

8、能力也得到很大的提高，这样给方程的模拟解提供了可能。本文介绍了一下布朗运动，以及从布朗运动衍生得到Fokker-Planck方程的推理过程，以及用动力论角度推导了在等离子体中的Fokker-Planck方程。该方程在很多领域都很重要，所以文章中介绍了一下常见的应用。本文也简单的对比了一下薛定谔方程和Fokker-Planck的相关之处，更好的去理解该方程的物理意义。等离子体中的Fokker-Planck方程是一个微分方程，所以本文介绍了一下微分方程的数值解法。后面本文用有限元法去解等离子体中的Fokker-Plank方程，给出了用Fortran编程的程序，最后用Origin画图软件画出了相关的

9、图像。关键词：Fokker-Planck方程，微分方程数值解，Fortran,有限元法，等离子体。AbstractNow, many field of scientific computing have a problem of equation is very difficult to solution. Along with the development of the computer, scientific computing and got great development, it gives equation simulation a possible. This paper i

10、ntroduces the Brownian motion, using dynamic theory Angle on the activities in the plasma - Plank equation. Because of the equation are important in many fields, so the article introduces the application of some common, such as the movement of the nuclear fission in nuclear fission, the distribution

11、 of glass cracks in condensed matter physics, etc. The program of Fortran programming is given, and finally draw the relevant images with Origin drawing software. Keywords: Fokker- Planck equation, differential equation numerical solution, Fortran, finite element method ,the plasma.目录0引言1第一章 .布朗运动和郎

12、之万方程11.1布朗运动介绍11.2布朗运动到郎之万方程2第二章 .Fokker-Plank方程的推导和应用32.1位行空间中的扩散方程32.2速度空间中的扩散方程42.3 Fokker-Plank方程以及应用5第三章 .Fokker-Plank方程与Schrödinger方程的关系6第四章 .微分方程的数值解法74.1常微分方程数值解法84.1.1Euler法84.1.2Runge-Kutta方法94.2偏微分方程的数值解法104.2.1有限差分法104.2有限元法14第五章 .基于等离子体的Fokker-Planck方程145.1等离子体的动力论方程145.2目前等离子体中Fok

13、ker-Planck方程的解的情况16第六章 等离子体中的一维Fokker-Planck方程的数值模拟186.1 初始设置186.2 程序代码196.3图形仿真19致谢21引文2380引言1布朗运动和郎之万方程 1.1布朗运动介绍我们都知道Fokker-Planck是从布朗运动展开来的1。花粉微粒浸没在液体中时，看到微粒会出现非常不规则状的运动。这种运动被我们称为为布朗运动，其有几个的主要特性如下：1. 微粒运动的轨迹显得非常没规则而且可以看出微粒在做布朗运动时是做平移和转移运动的。2. 即使距离接近到可以和自身的直径相比较粒子间也不会有相互作用。3. 当液体粘性越低或温度越高或者微粒越小时，

14、布朗运动就越活泼。4. 微粒的及密度和成分对其运动不会产生影响。5. 微粒的运动永不停止布朗运动的运动轨迹如图1.1.1，图1.1.2和图1.1.3。 图1.1 图1.2 图1.3 布朗运动属于机械运动，所以它表现出来的是一种机械能。这种机械能是由内能转化而来同时它又在向内能转化而去，这个两个过程同时发生着，当两种转化的速度达到了动态平衡时就表现为布朗运动。布朗运动是随机运动的体现。1.2布朗运动到郎之万方程在某种密度为、粘度为、的液 体内，假设有一个质量为m 、半径为a颗粒，则m=4a3/3。由斯托克斯定可以得到律可得f=6u2 ,f称为拖曳力或说是摩擦力。把作用在颗粒上的力分解为拖拽力和布

15、朗力FBt两部分：因此我们可以得到 mdudt+6au=FB(t) (1.1)郎之万方程如下 其中布朗力FB(t)是一个随机的力，它描述了微粒在液体中收到的力的大小。它的产生和液体分子的碰撞有关，所以温度等因数都会影响随机力，进而影响布朗运动。 2.Fokker-Plank方程的推导和应用2.1位行空间中的扩散方程上面我们提到郎之万方程。郎之万力FB(t)其实就是一个随机的力，它与液体分子的碰撞有关。当在液体中的颗粒的直径比较大，达到一定的数字时，颗粒四周受到液体分子撞击的统计量很大。当一个随机量的统计值足够大时，往往会表现出一个确定响应3。就如同扔硬币，当统计量足够大，则向上的概率表现的结果

16、是1/2，同样这里的FB(t)会表现出确定的值。当然在一个静止的或者变化不大液体环境中，在内每个方位d的值是相等的，也就是说在空间方位角内布朗力的平均值FB(t).：FB(t)=0 (2.1)FBt,FB(t)=2Dt,-t (2.2) 其中t,-t是一个狄拉克函数，当t,=t时，t,-t=0。我们可以看出公式（1.2）描述的是对液体粒子统计的效果；公式（1.3）对应了我们“各粒子间互不影响”的结论。然而当在液体中的颗粒直径较小，比如布朗在他的实验里面的花粉颗粒，因为统计量不够，所以总体不会表现出一个确定值，同样一仍硬币为例子，仅仅是数量有限的次数统计后可以知道图案向上的概率不一定为1/2。所

17、以我们可以看到布朗运动在三维中如图1.4。 图2.1空间中布朗运动的分布图从上图中我们可以得出这个一个结论，做布朗运动的粒子在以一个概率P出现在空间r任何一个地方，而且这个P不一定相等。既然这样，我们完全可以用概率论的角度去思考这个问题。定义位置的跃迁概率密度，按归一化要求，对一定的t有 Ptrr,tdr=1 (2.3)我们由概率论的知识可以得到 rr=rrPtrr,tdr=KT3at (2.4)那么P(r,t+t)可按下式推得： Pr,t+t=Pr-r,tPr,tdr (2.5)我们将Pr-r,t按r展开为 Taylor级数得 Pr-r,t=Pr,t-rP+rr:P- (2.6)同时将Pr,

18、t+t按t展开为 Taylor级数得：Pr+r,t=Pr,t+rP+rr:P+ (2.7)再由 (7) +(8)得 P(r,t)t=KT62P(r,t) (2.8)这个就是位行空间中的扩散方程 。2.2速度空间中的扩散方程同样对于Pu,t按归一化要求，有 Ptru,tdr=1 (2.10) Pu,t+t它可按下式得： Pr,t=Pu,t+t=Pu-u,tPu,tdu (2.11) 然后再将然后再将 Pu-u,t和 Pu,t+t分别按u和t展开为 Taylor级数；P(u,t)t=6am22Pr,t+6amdivuPu,t (2.12)这个就是我们从布朗运动的理论出发用概率论的角度推导的Fokk

19、er-Planck方程，人们的这里的基础上进一步的把Fokker-Planck一般化，从而它的应用就更加广泛了。所以解Fokker-Planck方程也成了一个新的研究领域。2.3 Fokker-Plank方程以及应用上面说的从布朗运动引申出的Fokker-Planck方程可以进一步的一般化，是描述非平衡状态的一个非常重要的方程。它描述了随机系统的状态概率跃迁密度，很多问题都可以归结为这个方程的研究。他的一维情况下的一般形式如下： -px,tt=cxpx,tx-122(c(x)p(x,t)x2 （2.13）如果是非线性漂移的一维Fokker-Planck方程其一般形式如下： px,tt=-cxp

20、x,tx+2p(x,t)x2 （2.14）以上式子中的p(x,t)是概率分布函数。它在固体物理领域，量子力学领域，理论物理领域，经融领域，气候等等各方面都用广泛的应用。Fokker-Planck在不同的领域表示方法不一样，但是它们有三个共同的特点：1.有密度函数。2.对密度函数的时间一阶偏导。3对密度函数的某个做一阶偏导数以及对密度函数的某个量做二阶偏导数 。我们可以用下面的宽泛的方程表示Fokker-Planck方程的特点：p(x,t)t=LFPp(x,t) （2.15）其中LFP=xD1x,t+x2D2(x,t)国内外有很多领域最终都是要解一个Fokker-Plank方程。比如研究质量为m

21、的一个微粒的布朗运动，粒子在液体中运动是一个无规律的概率分布。他的运动情况也就是粒子概率密度分布w(x,t)的一维Fokker-Planck方程为5： wt=(vw)v+KTm2wv2 （2.16）在研究原子核的裂变核的情况，每个核裂变后的运动情况是一个随机概率的过程。所以可以用一维Fokker-Planck方程描述裂变核的情况6 ：wt+uwx-1mVxwu=(wuu+D2wu2) （2.17） 在凝聚态物理中，玻璃的裂纹是一个随机概率的过程，裂纹可以以一定的概率出现在整个玻璃的任何地方。所以裂纹分布函数P(c,t)可以Fokker-Planck方程来表示7: p(c,t)t=xAc+Q2c

22、ccpc,t+Q22C22cpc,t （2.18）还有就是接下来我们要研究的等离子体中的Fokker-Planck方程，等离子体是被部分或者完全电离的气体，各个被电离的分离子和电子表现出集体效应，它被称为物资的第四状态。等离子体的这些性质使得我们可以用电磁流体力学模型来处理，从而可以把等离子体的运动看做是一个概率分布的问题。所以在等离子体中的粒子概率密度函数f(r,v,t)的Fokker-Planck方程为。f t+v*ft+emeE+v×B*ft=(ft)c (2.19) 式（2.19）中具体的一些信息在下文中我会具体说明。3.Fokker-Plank方程与Schrödi

23、nger方程的关系薛定谔方程描述微观粒子的运动规律，是量子力学的最基本的方程，其表达式如下： i(r,t)t=(-22m2+V)(r,t) （3.1）其中(r,t)就是微粒的波函数，每个微观系统一般来说都有一个上面的薛定谔方程表达式与之对应，只是不同的粒子质量或者在不同的势场中因为势能V 不一样具体的薛定谔方程会不一样。通过解方程可得到粒子的波函数 (r,t)，从而可以知道该微粒系统一些物理量如动量以及对应的能量的信息，但是这个只是一个概率，就是我们不能完全确定一个微粒系统的全部信息，这个也是微观和宏观的不同点。但是可以说如果我们解出了我们的波函数，这样我就可以知道这个微粒的一切性质且随时间变

24、化的概率。在我们的Fokker-Planck方程中，fr,v,t包涵了等立体子在空间的分布情况，我们只要解得了等离子体的粒子密度分布函数，我们也就可以知道粒子分布和能量、速度等随时间的分布信息，这一点和薛定谔方程非常相似。下面我具体说一下两者的相似情况。和薛定谔方程类似，我我们可以把Fokker-Planck方程写成如下形式。 -Pt=HP （3.2）可以解的其一般的解为： Px,t=e-HtPx,0-P0x+P0(x) （3.3）如果对其做一个虚变化可以的： Py,t=e-ztPy,0-P0y+P0(y) （3.4）我们假设算符z的本征函数为n(y),则其本征函数如下： Zny=Znn(y)

25、 （3.5）我们把Py,0用算符Z的本征函数n(y)展开，有如下。 Py,0=nAnn(y) （3.6）所以方程的解为： Py,t=nAne-ntn(y) （3.7）也就是说我们解的算符Z的本征函数的话就可以解的我们的Fokker-Planck方程，但是这个难度也是非常大的。至此也说明了薛定谔方程和Fokker-Planck的相似点。4.微分方程的数值解法 在我们的科研工程等领域很多地方都要解微分方程。高等数学课程给了一些特殊的微分方程的解法，但是在我们的实际中有大量的微分方程是无法给出解析值的。所以我们只能用数值模拟法给出数值8。微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种，下面分别介绍一下两

26、种微分方程的数值解法。4.1常微分方程数值解法 一些比较简单的常微分方程根据不同的形式有不同的解法，可分离变量微分方程、其次微分方程、常系数齐次线性微分方程等，这个不同的形式有不同的解法。就如我上面说的在科学计算中解常微分方程一般比较复杂，而且不能用上述的一些解法解，或者说根本就解不出解析解，我们只能通过数值模拟解出数值解。4.1.1Euler法 Euler方法解微分方程比较简单，其实就是利用导数的定义把数值递推到我们设置的误差以内。请看图3.1.1，再举一个举例子来说明数值解的意义。比如我们解微分方： y,=y-2x/y (4.2) y(0)=1 图3.1.1根据导数定义yi,=yi+1-y

27、ixi+1-xi=yi+1-yih (4.3)变形得到yi+1=yi+hyi, (4.4)上式中令我们的xi+1-xi=h，把h叫做步长。我们假设步长为0.1，则 yi+1=1.1yi-0.2xiyi (4.5)所以我们只要知道一个初值就可以递推到我们想要的数值解，当然这个数值解是有误差的。从图3.1.1我们可以很明显的看出步长越小越精确，但是计算量变大，在大型的科学计算中，计算量大小和计算精度一样都是我们要考虑的一个问题。为了更好说明其中的意义我例子中的常微分方程是可以得到解析解的，通过对比我们的解析解和数值解，我们画出了如下图4.1.3:图4.1.3Euler方法收敛比较慢而且精确度不是很

28、高，所以Euler一般方法用于精确度要求不高的计算中4.1.2Runge-Kutta方法 Euler方法虽然比较简单，但是他误差大，收敛慢。这里我介绍一种Runge-Kutta。把一个函数展开到K阶泰勒级数，如下：Uti+1=Uti+hU'ti+12h2U''ti+hkk!Ukti+ (4.6)泰勒展开是函数上的一个点的各阶导数数值近似表示与他临近的点的函数值，而我们的Runge-Kutta方法是正好相反，他是用相邻的一些点的函数值来表示一个点的导数值，从而达到解微分方程的。 这种方法可以看作是在上取一些点的斜率，然后再进行加权平均运算产生的新斜率。再按这个斜率从出发，

29、用欧拉方法以直线代曲线向前递推，直到我们规定的精度。这是基本思想9。微分方程的数值解法除这两个之外还有Talor方法和Gill方法就不介绍了。4.2偏微分方程的数值解法我们的计算机是不能对我们的函数做积分、求导数、求偏导数等计算，就更不用说是解偏微分方程，它能做的只是有限次的加减乘除。所以我们如果要用计算机来解的话用差商代替偏导得到一个差分方程组，通过求解这个方程组的解作为我们要解的偏微分方程的数值解。4.2.1有限差分法偏微分方程的种类很多数值解法也很多，这里介绍有限差分法。它的基本思想是：先把偏微分方程所在连续区域划分为一个个小网格，用网格点来代替偏微分方程中自变量的变化区域。这样就把偏微

30、分方程转化成了代数方程组，叫做差分方程组。如果差分格式有解，则这个解就可以作为偏微分方程的数值解，但是这个解只是一个近似的解。我们还要知道差分和差商是有限形式表达出来的，而微分和微商是用极限的形式表达出来。 如图3.2.1把连续的区域分为若干个格点，图中的x和t表示步长，我们用自己设定的一个步长把自变量离散化，可以得如果在二维中 xi=x0+ix i=0.1.2.3 (4.11) ti=jt j=0.1.2.3所以ux,y=ux0+ix,nt=u(x0+ih,k),可以简写成ui,j式中令x=h,t=k，下文中步长都用h和k表示。所以我们可以用差商代替我们的微商如下 。微分一阶向前差商 yx=

31、fx+x-f(x)x微分一阶向后差商 yx=fx-x-f(x)x (4.12)微分一阶中心差商 yx=fx+x-f(x-x)2x偏微分一阶向前差商 (ux)i,j=ui+1,j-ui,jx 或者(uy)i,j=ui,j+1-ui,jy 偏微分一阶向后差商 (ux)i,j=ui-1,j-ui,jx 或者(uy)i,j=ui,j-1-ui,jy 偏微分一阶中心差商 (ux)i,j=ui+1,j-ui+1,j2x 或者(ux)i,j=ui,j+1-ui,j2x偏微分混合二阶差商 (uxy)i,j=ui+1,j+1-ui+1,j-1+ui-1,j-1-ui-1,j+14xy偏微分二阶差商 (2ux2)

32、i,j=ui+1,j-2ui,j+ui-1,j(x)2在解偏微分方程时，用差分去代替偏导数，建立差分方程组，解出差分方程组就得到了各个节点ui,j的数值，也就近视得到了我们的数值解。但是不同的边界值会有不同的处理方式，例如举个和我们一维Fokker-Planck方程类似的例子来说明我们的有限差分法的思想。如下。 ut=a2u2x2 , 0< l,t>0. (4.13) ux=0=0,ux=l=0. t>0 ux=0=sinxl, 0< x<l第一步.用差商代替微商如下： ui,j-ui-1,jt=a2 ui,j+1,-2ui,j+ui,j-1(x)2 (4.14)

33、第二步.构建差分方程组1+2r.ui,j-r.ui,j+1-rui,j-1=ui-1,j，其中r=a2t(x)2. (4.15)第三步，用矩阵表示差分方程组 1+2r-r000-r1+2r-r0000-r1+2r-r0000-r1+2r.ui,1ui,2ui,j-2ui,j-1=ui-1,1+rui,0ui-1,2ui-1,j-2ui-1,j-1+rui,j第四步，编程解方程通过MALTAB运算可以得到如下数据和图像 图4.2 有限差分法解处的热传导方程三维图图4.3数值解与解析解的比较4.2有限元法将连续的区域离散化成为小单元组合，这些小单元组合是相互联系的。自变量函数通常用一个近似的函数去

34、代替，而近似函数一般由函数和其导数的数值做插值得到插值函数来表达。这是有限元法的基本思路10。运用步骤 步骤1：剖分: 这个步骤是把求解区域按照我们实际的需要分割成许多个小单元。小单元的形状可以是任意的。但是在处理二维问题通常采用的是三角形单元或者矩形单元。对于三维空间通常采用用四面体等。我们称这样的小单元的顶点为为节点。 步骤2：单元分析: 对小单元进行分片插值运算。未知函数用该网格点上的函数值展开步骤3：求我们求解区域的近似变分方程 。对这个有限的小单元进行分片插值，从而得到偏微分方程的近似函数。5.基于等离子体的Fokker-Planck方程5.1等离子体的动力论方程 目前等离子体是实现

35、核聚变最好的材料。等离子体是我们把布朗运动放到我们的等离子体模型中去，现在我们把布朗运动放到等离子体中去考虑，等离子体是一个多粒子体系，为了更好研究，我们会把它放在一个空间（三个坐标和三个分速度的六维空间，即每个粒子在这个相空间中用一个点去表示.所以我们定义一个粒子分布函数f(r,v,t)，表示在某个时刻，在r处，速度为v,的粒子的个数，那么far,va,t表示某种成分的分布函数，表示在某个时刻，在r处，速度为v的，a成分粒子的个数。那么在单位空间元dxdydzdvxdvydvz中，a成分的粒子个数是:dNa=fa(r,va,t)drdva （5.1）其中r和va位置矢量和速度矢量。 现在研究

36、等离子体碰撞过程，在研究Fokker-Planck方程之前，首先要做如下假设：（1）碰撞是弹性的而且是对心碰撞；（2）在碰撞过程中，粒子间状态的改变的概率和过去无关，只和两个状态有关。（3）粒子的碰撞效应可以看作是多重小角度碰撞，也就是很多二体碰撞效应的线性叠加。实际上，等离子体中这种经过多次小角度散射累积的碰撞效应在托克马克占主导地，那么在短暂的时间内因为碰撞而引起的分布函数far,va,t的变化率可以表示为： (ft)c=fx,v,t+t-f(x,v,t)t （5.2）分布函数的变化是由这段时间内发生的速度改变v引起的积分效应产生的5,因此， f(x,v,t+t)=fx,v-v,t(v-v

37、,v)d(v) (5.3) 式中(v,v)是速度为v的粒子在t时间内发生速度改变v的概率8。式中的被积函数可以展开成泰勒级数:f(x,v-v,t)v-v,v=f(x,v,t)v,v-i(f)vi+12i,j2vivj(f)vivj (5.4)利用归一原理有; (v,v)d(v)=1 (5.5)把（5.5）带入（5.4）有如下fx,v,t+t-fx,v,t=-ivi(fx,v,tv,vvidvi+12i,j2vivjf(x,v,t)v,vvivjd(v) (5.6)我们定义Fokker-Planck系数：<vi>=vid(v)/t (5.7) <vivj>=vivjd(v

38、)/t (5.8)其中<vi>被称为为动力学摩擦系数，<vivj>被称为为扩散系数9。如果将（4.5）式代入（4.1）式便得到Fokker-Planck碰撞项：（ft)c=-ivi<vi>f+12i,j2vivj(<vivj>f) (5.9)把碰撞项带入动力论方程为：fat+vfr+Fmfv=（ft)c (5.10)所以(5.10)是在等离子体中的Fokker-Planck方程 在我们的托克马克中等离子体受到了洛伦兹力即： F=qE+qv×B (5.11)5.2目前等离子体中Fokker-Planck方程的解的情况目前，Fokker-P

39、lanck方程已经成为研究非平衡状态下等离子体分布函数f(r,v,t)的主导方程11。只要解出了等离子体中粒子的分布函数，我们就可以更好的研究等离子体在任意时刻位置粒子的信息，为控制等离子体提供很好的参数依据。 等离子体的分布函数在相空间的时间演化要考虑粒子迁移和粒子碰撞两种因素。而且粒子的迁移碰撞是相互关联的。Fokker-Planck方程是从玻尔兹曼方程演化的结果, 主要是考虑了粒子迁移和粒子间的碰撞。等离子体粒子内多体小角度散射而引起的长程Coulomb 作用是等离子体间作用的主要形式。如果把等离子体的块Debye屏蔽作用考虑进去的话，Coulomb作用屏蔽后可以长程的Coulomb作用

40、看成短程作用.在等离子体中的 Fokker-Planck方程是一个非线性微分方程, 然而在6N维的相空间里方程几乎得不到比较严格的解析解，即使有也是通过简化条件得到的一些不是很严格的解析解。由于这些解精确度不高这些解析解有时候对我们的实际科学应用帮组并不是很大，更多情况下我们会用模拟的思想去求的精确度更高的数值解。Fokker-Planck方程中碰撞项与分子间相互作用的形式有密切的相关性，我们一般处理的方式是将方程线性化。当然，这种简化方法仅仅局限于粒子势能远远小于分子热运动动能的情况。当系统状态处于近平衡态时,将非平衡状态的密度函数用局域热平衡的分布函数函数fMBr,v=Ce(k-p)/KT

41、近似12当然我们说的上面等离子体是指没有约束下的等离子，当我们把等离子体放到特定的装置时，研究Fokker-Planck就会不一样了。在我们的核聚变装置-托克马克中，等离子体被磁场约束在装置中，这种方法叫做约束性受控核聚变。它的一个关键的一个问题是，利用磁场把一定密度等离子体约束在托克马克中装置中达到平衡足够长的时间足够长的时间，从而达到劳逊条件，这样的条件下才有可能实现能量的增益。其中等离子体平衡是指磁压强和等离子体的热压强平衡13。在我们的等离子体装置托克马克中，它开始是冷等离子体，不能发生反应，要加热至能发生核聚变反应，这个过程中就涉及到一个等离子体加热的问题。一般在等离子体的加热有三种

42、方法：欧姆加热、射频波加热、中性束注入加热14。欧姆加热顾名思义就是利用欧姆定律把电能转化为热量对托克马克中的等离子体经行加热。但是这样加热的温度不够高，不能达到等离子体的点火温度，所以要进行二次加热。射频波加热就是利用射频波对等离子体加热，他的原理是波波动性与装置中的等离子体产生共振，让等离子体自身发热从而达到聚变点火。目前有很多这方面的文章比如15,16,17。射频波的有波长有长有短，不同频率波有不同的优劣，所以要根据具体的情况去选择。中性束注入加热是指把中性的分子或者原子注入到等离子体中去达到加热目的。他的原理是中性的分子或者原子与装置中的等离子体发生电荷交换，从而是注入的中性束粒子带电

43、荷，所以它和等离子体有了Coulomb碰撞，在这个过程得到了慢化，有动能转化为热能实现了加热。注入的中性束粒子能量不同加热的效果也不一样。有文章研究了高能注入粒子的加热。比如18,19。在不同的模型下等离子体的分布函数也是不一样的，也有人专门去研究在不同的温度下电子的分布函数。比如20。 我们用计算机模拟解Fokker-Planck方程也是利用了有限元的思想21。下面我们来解在没有装置约束下的等离子体中的Fokker-Planck方程，求出其粒子分布函数。首先, 把边界条件简化；再将空间离散化为ri 和ti 。在离散化后的ri 和ti小体元内碰撞输运过程中等离子体的分布函数f(x,v,t)没有

44、显著的变化，在体元riti局域内，仍具有宏观统计性。其次, 在给定初值后, 在计算机模拟以下两个过程:（1）在体元riti局域内, 每个粒子以一个v速度运动, 到达新的体元粒子经过对称线对称面或边界, 重新给所有粒子编号.在ri和ti体元内碰撞仅发生在两体间,我们假设碰撞的时间间隔为tc，随着碰撞时间的积累当tc积累到ti时,可以认为在riti这个体元内所有粒子间的碰撞都完成了。（2）计算所有的ti时间内，所有粒子的碰撞和转移，这样就完成了我们的计算。这个结果就可以作为我们的Fokker-Planck方程的数值解。6 .等离子体中的一维Fokker-Planck方程的数值模拟6.1 初始设置 我们这里研究的等离子体是在一种理想情况下的，没有装置约束的一种情况，所以我们可以认为它的初始情况就是达到热平衡的一种分布，就是麦克分布：fv=4(m2kT)32e-mv22kTv2 (6.1) 我们可以做一个概率密度的变换 fvdv=F(X)dx (6.2)所以可以的到 FX=(4)-12x2e-x2 (6.3)把时间考虑进去的话： ft=e-(t-0.5)2dv(2)32 (6.4)在时间步长我选择0.1s,计算的 6.2 程序代码 本文的程序代码是用FORTRAN程序编译器编译的.6.3图形仿真 图6.1 初始分布函