高考数学一轮复习 核心素养提升系列一函数与导数高考压轴大题的突破问题练习 新人教A版

1、核心素养提升系列(一)1(导学号14577259)(理科)(2018·湘西州一模)已知函数f(x)xaln x，g(x)，其中ar，e2.718(1)设函数h(x)f(x)g(x)，求函数h(x)的单调区间；(2)若存在x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，求a的取值范围解：(1)函数h(x)xaln x的定义域为(0，)，h(x)1.当1a0，即a1时，h(x)0，故h(x)在(0，)上是增函数；当1a0，即a1时，x(0,1a)时，h(x)0；x(1a，)时，h(x)0，故h(x)在(0,1a)上是减函数，在(1a，)上是增函数(2)由(1)令h(x0)f(x0)g(x0)，

2、x01，e，当a1时，存在x01，e，使得h(x0)0成立可化为h(1)11a0，解得，a2；当1a0时，存在x01，e，使得h(x0)0成立可化为h(1)11a0，解得，a2；当0ae1时，存在x01，e，使得h(x0)0成立可化为h(1a)1aaln(1a)10，无解；当e1a时，存在x01，e，使得h(x0)0成立可化为h(e)ea0，解得，a.综上所述，a的取值范围为(，2).1(导学号14577260)(文科)(2017·湖南娄底市名校联考)已知函数f(x)2lnxx2ax(ar)(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两

3、个零点，求实数m的取值范围；(3)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点a(x1,0)，b(x2,0)，且0x1x2，求证：f0(其中f(x)是f(x)的导函数)解：(1)当a2时，f(x)2lnxx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率kf(1)2，切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x，x，故g(x)0时，x1.当x1时，g(x)0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，g(e)g，g(x)在上的最小值是g(e)g(x)在上有两个零点的条件是解得1

4、m2，实数m的取值范围是.(3)f(x)的图象与x轴交于两个不同的点a(x1,0)，b(x2,0)，方程2lnxx2ax0的两个根为x1，x2，则两式相减得a(x1x2).又f(x)2ln xx2ax，f(x)2xa，则f(x1x2)a.下证0(*)，即证明ln0，令t，0x1x2，0t1，即证明u(t)ln t0在0t1上恒成立u(t)，又0t1，u(t)0，u(t)在(0,1)上是增函数，则u(t)u(1)0，从而知ln0，故(*)式0，即f0成立2(导学号14577261)(文科)(2018·厦门市一模)已知函数f(x)(x2axa1)ex.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2

5、)函数f(x)有两个极值点，x1，x2(x1x2)，其中a0.若mx10恒成立，求实数m的取值范围解：(1)f(x)x2(2a)x1ex，令x2(2a)x10(*)，(2a)240，即a0或a4时，方程(*)有2根，x1，x2，函数f(x)在(，x1)，(x2，)递增，在(x1，x2)递减0时，即0a4时，f(x)0在r上恒成立，函数f(x)在r递增综上，a0或a4时，函数f(x)在(，x1)，(x2，)递增，在(x1，x2)递减；0a4时，函数f(x)在r递增(2)f(x)0有2根x1，x2且a0，a4且，x10，mx10恒成立等价于m恒成立，即mx2x21恒成立令ta2(t2)，则x2.令

6、g(t)，t2时，函数g(t)递增，g(t)g(2)1，x21，x2x212，故m的范围是2，)2(导学号14577262)(理科)(2018·咸阳市二模)已知三次函数f(x)的导函数f(x)3x23且f(0)1，g(x)xln x(a1)(1)求f(x)的极值；(2)求证：对任意x1，x2(0，)，都有f(x1)g(x2)解：(1)依题意得f(x)x33x1，f(x)3x233(x1)(x1)，知f(x)在(，1)和(1，)上是减函数，在(1,1)上是增函数，f(x)极小值f(1)3，f(x)极大值f(1)1.(2)证明：法一：易得x0时，f(x)最大值1，依题意知，只要1g(x)

7、(x>0)1xln x(a1)(x>0)由a1知，只要xx2ln x1(x0)x2ln x1x0(x0)令h(x)x2ln x1x(x0)，则h(x)2xln xx1，注意到h(1)0，当x1时，h(x)0；当0x1时，h(x)0，即h(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)是增函数，h(x)最小值h(1)0即h(x)0.综上知对任意x1，x2(0，)，都有f(x1)g(x2)法二：易得x0时，f(x)最大值1，由a1知，g(x)xln x(x>0)，令h(x)xln x(x>0)则h(x)ln x1ln x.注意到h(1)0，当x1时，h(x)0；当0x1时，h(x)

8、0，即h(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)是增函数，h(x)最小值h(1)1，所以h(x)最小值1，即g(x)最小值1.综上知对任意x1，x2(0，)，都有f(x1)g(x2)法三：易得x0时，f(x)最大值1.由a1知，g(x)xln x(x>0)，令h(x)xln x(x>0)，则h(x)ln x1(x>0)令(x)ln x1(x>0)，则(x)>0，知(x)在(0，)递增，注意到(1)0，所以，h(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)是增函数，有h(x)最小值1，即g(x)最小值1.综上知对任意x1，x2(0，)，都有f(x1)g(x2)3(导学号1

9、4577263)(理科)(2018·东北三省(哈尔滨、长春、沈阳、大连四城市)联考)定义在r上的函数f(x)满足f(x)·e2x2x22f(0)x，g(x)fx2(1a)xa.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)的单调区间；(3)如果s、t、r满足|sr|tr|，那么称s比t更靠近r. 当a2且x1时，试比较和ex1a哪个更靠近ln x，并说明理由. 解：(1)f(x)f(1)e2x22x2f(0)，所以f(1)f(1)22f(0)，即f(0)1.又f(0)·e2，所以f(1)2e2，所以f(x)e2xx22x.(2)f(x)e2x2xx2，g(x)

10、fx2(1a)xaexx2xx2(1a)xaexa(x1)，g(x)exa.当a0时，g(x)>0，函数f(x)在r上单调递增；当a>0时，由g(x)exa0得xln a，x(，ln a)时，g(x)<0，g(x)单调递减；x(ln a，)时，g(x)>0，g(x)单调递增. 综上，当a0时，函数g(x)的单调递增区间为(，)；当a>0时，函数g(x)的单调递增区间为(ln a，)，单调递减区间为(，ln a)(3)设p(x)ln x，q(x)ex1aln x，p(x)<0，p(x)在x1，)上为减函数，又p(e)0，当1xe时，p(x)0，当x>e时

11、，p(x)<0.q(x)ex1，q(x)ex1>0，q(x)在x1，)上为增函数，又q(1)0，x1，)时，q(x)0，q(x)在x1，)上为增函数，q(x)q(1)a2>0.当1xe时，|p(x)|q(x)|p(x)q(x)ex1a，设m(x)ex1a，则m(x)ex1<0，m(x)在x1，)上为减函数，m(x)m(1)e1a，a2，m(x)<0，|p(x)|<|q(x)|，比ex1a更靠近ln x.当x>e时，设n(x)2ln xex1a，则n(x)ex1，n(x)ex1<0，n(x)在x>e时为减函数，n(x)<n(e)ee1&

12、lt;0，n(x)在x>e时为减函数，n(x)<n(e)2aee1<0，|p(x)|<|q(x)|，比ex1a更靠近ln x.综上：在a2，x1时，比ex1a更靠近ln x.3(导学号14577264)(文科)(2018·惠州市三调)已知函数f(x)aln x(a0，ar)(1)若a1，求函数f(x)的极值和单调区间；(2)若在区间(0，e上至少存在一点x0，使得f(x0)0成立，求实数a的取值范围解：(1)因为f(x)，当a1，f(x).令f(x)0，得x1，又f(x)的定义域为(0，)，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)

13、0f(x)极小值所以x1时，f(x)的极小值为1.f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)(2)f(x)，(a0，ar)令f(x)0，得到x.若在区间0，e上存在一点x0，使得f(x0)0成立，其充要条件是f(x)在区间(0，e上的最小值小于0即可当x0，即a0时，f(x)0对x(0，)成立，f(x)在区间(0，e上单调递减，故f(x)在区间(0，e上的最小值为f(e)aln ea.由a0，得a.当x0，即a0时，()若e，则f(x)0对x(0，e成立，f(x)在区间(0，e上单调递减，f(x)在区间(0，e上的最小值为f(e)aln ea0，显然，f(x)在区间(0，e上的

14、最小值小于0不成立()若1e，即a时，则有xf(x)0f(x)极小值f(x)在区间0，e上的最小值为faaln .由faaln a(1ln a)0，得1ln a0，解得ae，即a(e，)综上，由可知：a(e，)4(导学号14577265)(理科)(2018·梅州市一模)已知函数f(x)aln xx2a(其中a为常数，ar)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，是否存在实数a，使得当x1，e时，不等式f(x)0恒成立？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由(其中e是自然对数的底数，e2.718 28)解：(1)由于f(x)aln xx2a，(x0)，则f(x)， a0

15、时，f(x)0恒成立，于是f(x)的递减区间是(0，)a0时，令f(x)0，解得：0x，令f(x)0，解得：x，故f(x)在递增，在递减(2)a0时，若1，即0a，此时f(x)在1，e递减，f(x)minf(e)3aeae，f(x)0恒成立，不合题意若1，e，即a时，此时f(x)在递增，在递减要使在1，e恒有f(x)0恒成立，则必有，则，解得a.若e，即a时，f(x)在1，e递增，令f(x)minf(1)a10，解得a.综上，存在实数a，使得f(x)0恒成立4(导学号14577266)(文科)(2018·蚌埠市二模)已知函数f(x)x2ln x的图象在点处的切线斜率为0.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若g(x)f(x)mx在区间(1，)上没有零点，求实数m的取值范围解：(1)f(x)x2ln x的定义域为(0，)，f(x)2x.因为f1a0，所以a1，f(x)x2ln x，f(x)2x.令f(x)0，得x>；令f(x)0，得0<x<，故函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.(2)g(x)x2 ln xmx，由g(x)2x0，得x.设x0，所以g(x