数学模型_07差分方程模型

1、7.0 差分方程建模差分方程建模7.1 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型7.2 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动7.3 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型7.4 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长第七章第七章 差分方程模型差分方程模型差分方程建模差分方程建模处理动态的离散型的问题处理动态的离散型的问题处理处理对象虽然涉及的变量对象虽然涉及的变量( (如时间如时间) )是连续的，是连续的，但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连续模型续模型( (微分

2、方程微分方程) )化为离散型化为离散型( (差分方程差分方程) )问题问题 一、差分方程简介一、差分方程简介以以t 表示时间，规表示时间，规 定定t只取非负整数。只取非负整数。t=0表示第一周期初，表示第一周期初，t=1表示第二周期初等。表示第二周期初等。 记记yt 为变量为变量y在时刻在时刻t 时的取值，则时的取值，则称称 为为yt 的的一阶差分一阶差分，称，称 为的为的二阶差分二阶差分。类似地，可以定义。类似地，可以定义yt的的n阶差分。阶差分。由由t、yt及及yt的差分给出的方程称的差分给出的方程称 为为yt差分方程，其中含的最差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的高阶差分的

3、阶数称为该差分方程的阶阶。差分方程也可以写成。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 也可改写成也可改写成 tttyyy 1tttttttyyyyyyy 12122)(02 tttyyy012 tttyyy7.0 7.0 差分方程基础知识差分方程基础知识对于对于k阶差分方程阶差分方程F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (3-6)若有若有xn = x (n), 满足满足F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0,则称则称xn = x (n)是差分方程是差分方程(3-6)的的解解, 包含个任意

4、常数的解包含个任意常数的解称为称为(3-6)的的通解通解, x0, x1, , xk-1为已知时称为为已知时称为(3-6)的的初始初始条件条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(3-6)的的特解特解.k 例如，考察两阶差分方程例如，考察两阶差分方程 ，易知，易知 与与 均是它的特解，而均是它的特解，而 则为它则为它的通解，其的通解，其 中中c1，c2为两个任意常数。为两个任意常数。t+2ty +y =0tty =sin2tty =cos2t12y = c sint + c sint22若有常数若有常数a是差分方程是差分方程(3-6)的解的解,

5、 即即F (n; a, a, , a ) = 0,则称则称 a是差分方程是差分方程(3-6)的的平衡点平衡点. 又对差分方程又对差分方程(3-6)的任意由初始条件确定的解的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有都有xna (n), 则称这个平衡点则称这个平衡点a是是稳定稳定的的. 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中其中a, b为常数为常数, 且且a -1, 0)的通解为的通解为xn=C(- - a) n + b/(a + 1) 易知易知b/(a+1)是其平衡点是其平衡点, 由上式知由上式知, 当且仅当当且仅当|a|1时时, b/(a +1)

6、是稳定的平衡点是稳定的平衡点. 为为n阶线性差分方程，阶线性差分方程， 当当 b(t)0时称其为时称其为n阶非齐次阶非齐次线性差分方程，而线性差分方程，而 0t+n1t+n-1nta (t)y+a (t)y+a (t)y = b(t)0t+n1t+n-1nta (t)y+a (t)y+a (t)y = 0则被称为方程对应的则被称为方程对应的 齐次线性差分方程。齐次线性差分方程。若所有的若所有的 ai(t)均为与均为与t无关的常数，则称其为无关的常数，则称其为 常系数差分方程常系数差分方程，即即n阶常系数线性差分方程可表示成阶常系数线性差分方程可表示成0n+t1n+t-1nta y+a y+a

7、y = b(t)其对应的齐次方程为其对应的齐次方程为0n+t1n+t-1nta y+a y+ L+a y = 0若序列若序列 均为上述方程的解，则均为上述方程的解，则也是该方程的解，其也是该方程的解，其 中中c1、c2为任意常数，这说明，为任意常数，这说明，齐次方程的解构成一个齐次方程的解构成一个 线性空间线性空间（解空间）。（解空间）。 与(1)(2)ttyy(1)(2)t1t2ty =c y +c y 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程xn+2 + axn+1 + bxn = r,其中其中a, b, r为常数为常数. 当当r = 0时时, 它有一特解它有一特解x* = 0； 当当

8、r 0, 且且a + b + 1 0时时, 它有一特解它有一特解x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形不管是哪种情形, x*是其平衡点是其平衡点. 设其特征方程设其特征方程 2 + a + b = 0的两个根分别为的两个根分别为 = 1, = 2. 则则 当当 1, 2是两个不同实根时是两个不同实根时,二阶常系数线性差分二阶常系数线性差分方程的通解为方程的通解为xn= x*+ C1( 1)n + C2( 2)n ; 当当 1, 2= 是两个相同实根时是两个相同实根时,二阶常系数线性差分二阶常系数线性差分方程的通解为方程的通解为xn= x* + (C1 + C2 n) n; 当当 1

9、, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根时是一对共轭复根时,二阶二阶常系数线性差分常系数线性差分方程的通解为方程的通解为xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知易知,当且仅当特征方程的任一特征根当且仅当特征方程的任一特征根 | i |1时时, 平平衡点衡点x*是稳定的是稳定的. 对于一阶非线性差分方程对于一阶非线性差分方程xn+1 = f (xn )其平衡点其平衡点x*由代数方程由代数方程x = f (x)解出解出. 为分析平衡点为分析平衡点x*的稳定性的稳定性, 将上述差分方程近似为一将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程阶常系数线性差分方程1(

10、*)(*)( *),nnxfxxxfx|( *)|1, *fxx是定的；当当时稳|( *)|1, *fxx是不定的；当当时稳|( *) |1,.fx上 述 近 似性 差 分 方 程 与 原非性 差 分 方 程 的定 性 相 同因 此当当时线线稳)(110tbyayayatntntn （1） 其对应的其对应的齐次方程齐次方程0110 tntntnyayaya（2） 差分方程差分方程方程（方程（1）可用如下的代数方法求其通解：）可用如下的代数方法求其通解：（步一步一）先求解对应的特征方程）先求解对应的特征方程 0110 tnnnyaaa （3） （步二步二）根据特征根的不同情况，求齐次方）根据特征

11、根的不同情况，求齐次方 程程(2)的通解的通解 情况情况1 若特征方程（若特征方程（3）有）有n个互不相同的实根个互不相同的实根1 , n ，则齐次方程（，则齐次方程（2）的通解为）的通解为tnntCC 11 (C1,Cn为任意常数为任意常数)，iC情况情况2 若若 是特征方程（是特征方程（3）的）的k重根，通解中对应重根，通解中对应 于于的项为的项为tkktCC )(11 为任意常数，为任意常数，i=1,k。情况情况3 若特征方程（若特征方程（3）有单重复根）有单重复根 ia 通解中对应它们的项为通解中对应它们的项为 tttt sinCcosC21 22 为为的模，的模， arctan 为为

12、的幅角。的幅角。 情况情况4 若若ia 为特征方程（为特征方程（3）的）的k重复根，则通重复根，则通 解对应于它们的项为解对应于它们的项为tttttktk sin)CC(cos)CC(12k1k1k1 iC为任意常数，为任意常数，i=1,2k。 ty .若若yt为方程为方程(2)的的通解通解,则非齐次方程则非齐次方程 (1)的通解为的通解为（步三步三） 求非齐次方程求非齐次方程 (1)的一个特解的一个特解ttyy 求非齐次方程（求非齐次方程（1）的特解一般）的特解一般要用到要用到 常数变易法常数变易法，计算较繁。，计算较繁。对特殊形式对特殊形式 的的b(t)也可使用也可使用 待定待定系数法系数

13、法。 对特殊形式的b(t)也可使用待定系数法 ()(), ()tmmbtbp t p t( )tmbq t( )mqtt rbt()mq t如果如果为为t 的多项式，的多项式，形式的特解，其中形式的特解，其中为为m次多项式；次多项式；，将其代入（，将其代入（1）中）中(1)当当t不是特征根时，可设成形如不是特征根时，可设成形如(2)如果如果b是是r重根时，可设特解：重根时，可设特解：确定出系数即可。确定出系数即可。例例 求解两阶差分方程求解两阶差分方程tyytt 2解解 对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为012 ，其特征根为，其特征根为i 2, 1 ，对应齐次方程的通解为，对应齐

14、次方程的通解为 tCtCyt2sin2cos21 原方程有形如原方程有形如bat 的特解。代入原方程求得的特解。代入原方程求得21 a，21 b，故原方程的通解为，故原方程的通解为21212sin2cos21 ttCtC 兔兔子子问问题题每对兔子每个月生育出新的一对兔子每对兔子每个月生育出新的一对兔子新的一对兔子在两个月之后具有生育能力其次新的一对兔子在两个月之后具有生育能力其次这些兔子都不死亡这些兔子都不死亡一年内一对兔子能够生育出多少对兔子？一年内一对兔子能够生育出多少对兔子？:nF第第n个月开始时兔子对数个月开始时兔子对数模模型型 2,12121FFFFFnnn结果结果)251()251

15、(51nnnF Fibonacci数列2151 nnFF黄金分割比黄金分割比银行复利问题银行复利问题 背背景景所付利息一年内复合所付利息一年内复合n n次，即把一年分次，即把一年分n n个相个相等的时间段，而所付利息为每一时间段的未等的时间段，而所付利息为每一时间段的未尾尾 .给出一个可以预测在任意给定时间的帐目余额给出一个可以预测在任意给定时间的帐目余额 分分析析帐目余额与时间直接相关，而时间是离散的帐目余额与时间直接相关，而时间是离散的本期结束时的总存款等于前一时期余下的本本期结束时的总存款等于前一时期余下的本利，及本利得到的利息与第本期内新存入的存利，及本利得到的利息与第本期内新存入的存

16、款之和款之和 任何时候都可以存款任何时候都可以存款模模型型假假设设1. 储蓄的年利率为储蓄的年利率为 r2. 任何时候都可以存款，但存款利息只任何时候都可以存款，但存款利息只从下一时期开始计算，如时间段开始第从下一时期开始计算，如时间段开始第一天的存款即开始计算利息一天的存款即开始计算利息 :)(tyt期结束时的总存款期结束时的总存款 记号:)(tx第第t t期内的新存款期内的新存款 模 型)() 1()1 ()(txtyrtyn rrnn 1)1其其中中（注：注：上式中上式中n n=2=2时，相应于半年的复利，而时，相应于半年的复利，而n=365n=365则是相应于逐日计算的复利则是相应于逐

17、日计算的复利抵押贷款买房问题抵押贷款买房问题 背背景景 每户人家都希望有一套属于自己的住房，但每户人家都希望有一套属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下。这就产生了贷款又没有足够的资金一次买下。这就产生了贷款买房问题。某新婚夫妇急需一套属于自己的住买房问题。某新婚夫妇急需一套属于自己的住房。他们看到一则理想的房产广告：房。他们看到一则理想的房产广告：“名流花名流花园之高尚住宅公寓，供工薪阶层选择。一次性园之高尚住宅公寓，供工薪阶层选择。一次性付款优惠价付款优惠价40.240.2万元。若不能一次性付款也没万元。若不能一次性付款也没关系，只付首期款为关系，只付首期款为1515万元，其余每月万元

18、，其余每月1977.041977.04元等额偿还，元等额偿还，1515年还清。年还清。( (公积金贷款月利息为公积金贷款月利息为3.6753.675）。）。问问题题公寓原来价多少？每月等额付款如何算出来？公寓原来价多少？每月等额付款如何算出来？假假设设贷款期限内利率不变贷款期限内利率不变 银行利息按复利计算银行利息按复利计算 记记号号A（元）：贷款额（本金）（元）：贷款额（本金） n（月）：货款期限（月）：货款期限r ：月利率：月利率B(元元) :月均还款额月均还款额 C Ck k：第：第k个月还款后的欠款个月还款后的欠款模模型型BCrCkk1)1(AC00nC求求解解ArrrBnn1)1()

19、1(代入代入n=180、 r=0.003675、 B=1977.04结果：结果： A=260000（元）（元） 一次性优惠价一次性优惠价9.89.8折折还款总额还款总额 ？ 利息负担总额利息负担总额 ？7.1 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型问问 题题供大于求供大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量

20、与价格在振荡蛛蛛 网网 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系)(kkxfy 生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0) 平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定

21、平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy,kkxy gfKK曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型123PPP )(kkxfy )(1kkyhx在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定稳定P0不稳定不稳定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致)(00 xxyykk 商品数量

22、减少商品数量减少1单位单位, 价格上涨幅度价格上涨幅度)(001yyxxkk 价格上涨价格上涨1单位单位, (下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 , 的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格1经济稳定经济稳定结果解释结果解释经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2.

23、 使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前一时生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。段的价格决定下一时段的产量。)(00 xxyykk生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点

24、稳定，即k, xkx0的条件的条件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始条件确定由初始条件确定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡点稳定，即平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件:12,12平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了122, 1模型的推广模型的推广7.2 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体通过控制饮

25、食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡增加体重千卡增加体重1千克；千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公

26、斤体重消耗每周每公斤体重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异), 相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡热量，千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至体重维持不变。现欲减肥至75千克。千克。第一阶段：每周减肥

27、第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（少，直至达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克 /(80001 确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消

28、耗即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)体重体重c(k) 第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)某甲身高某甲身高1.7m1.7m，体重，体重100kg100kg，BMIBMI34.634.6，每周吸收，每周吸收2000020000千卡千卡 w w=100=100千克不变。千克不变。wcww025. 0100800020000wc1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划 第一阶段第一阶段: w(k)每周减每周减1千克千克, c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡1) 1()(kw

29、kwk20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw第一阶段第一阶段10周周, 每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90千克千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划1)(1)1(kwkc10000mC)1 ()1 (1 )()1 ()(1nmnCkwnkw 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)减至减至75千克千克 代入得以10000,80001,025. 0mC5050)(975.

30、0)(kwnkwnmmnCCkw)()1 (1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划)() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型mCkwkw)()1 () 1(nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)减至减至75千克千克 5050)(975.0)(kwnkwn第二阶段第二阶段19周周, 每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡, 体重按体重按 减少至减少至75千克。千克。)19, 2 , 1(50975. 040)(nnwn19975. 0lg)40/25lg

31、(n)028. 0()025. 0(t24,003. 0tt即取运动运动 t=24 (每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时), 14周即可。周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡千卡): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车(中速中速) 游泳游泳(50米米/分分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动每周运动时间时间(小时小时)()() 1()() 1(kwtkckwkw基本基本模型模型6 .44)6 .4490(972. 075n14nmmnCCkwnk

32、w)()1()(增加运动相当于提高代谢消耗系数增加运动相当于提高代谢消耗系数 2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划)028. 0()025. 0(t提高提高12%减肥所需时间从减肥所需时间从19周降至周降至14周周减少减少25% 这个模型的结果这个模型的结果对代谢消耗系数对代谢消耗系数 很敏感很敏感. 应用该模型时要仔细确定代谢消耗系数应用该模型时要仔细确定代谢消耗系数 (对不同的人对不同的人; 对同一人在不同的环境对同一人在不同的环境).3）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千克后维持不变的方案)()() 1()() 1(kwtkckwkw每周吸收热量每

33、周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变wtCww)(wtC)()(1500075025. 08000千卡C 不运动不运动)(1680075028. 08000千卡C 运动运动(内容同前内容同前)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk7.3 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t) 某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk 某种群第某种群第k代的数量代的数量(

34、人口人口)若若yk=N, 则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡点是平衡点kkyNrrx) 1( 1rb记) 1 ()1 (1Nyryyykkkk离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程 (1)的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论 x* 的稳定性的稳定性变量变量代换代换(2)的平衡点的平衡点brrx111*(1)的平衡点的平衡点 x*代数方程代数方程 x=f(x)的根的根稳定性判断稳定性判

35、断)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似线性方程的近似线性方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点1)(* xfx*是是(2)和和(1)的稳定平衡点的稳定平衡点1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点补充知识补充知识一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点bx11*稳定性稳定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（单调增）0 x1x1

36、x2xx* 稳定稳定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不不稳定稳定另一平衡另一平衡点为点为 x=01 rb1)0(bf不稳定不稳定b 23)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/ 1/ 11*bx*xxk（振荡地）y0 xxy )(xfy 0 x1x2x*x2/114/b*xxk（不）)1 (1kkkxbxx的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性)1 (1kkkxbxx初值初值 x0=0.2数值计算结果数值计算结果bx11*b 3.57, 不存在任何收敛子序列不存在任何收敛子序列混沌现象混沌现象4倍周期收敛倍周期收敛混混 沌沌 现现 象象 “ “差

37、之毫厘，失之千里差之毫厘，失之千里”混沌现象的一个典型特征混沌现象的一个典型特征 对初始条件的敏感性对初始条件的敏感性 kxk xk 00.10000.100110.34300.343320.95140.952031.07621.0753211.13700.8442220.71651.1993231.26490.5540310.55241.0058321.22000.9901330.49531.0165设设x0=0.1000, x0=0.1001, 比较比较xk)1 (1kkkxbxxb =3.7 著名的著名的“蝴蝶效应蝴蝶效应” )1 (1kkkxbxx的收敛、分岔及混沌现象的收敛、分岔及混

38、沌现象b 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型 阻滞增长模型阻滞增长模型( (微分方程形式、差分方程形式）微分方程形式、差分方程形式） 有广泛的应用有广泛的应用. .)1 (1kkkxbxx 基本模型基本模型 是很简单的是很简单的非线性非线性差分差分 方程方程. 方程解的收敛性研究可以导出相当复杂和有趣的方程解的收敛性研究可以导出相当复杂和有趣的 结果结果分岔分岔理论和理论和混沌混沌现象现象. 在混沌区域可以出现周期为在混沌区域可以出现周期为3,5,收敛的收敛的“窗窗口口”.7.4 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同不同年龄组的繁殖率和死亡率不同

39、建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模假设与建模 种群按年龄大小等分为种群按年龄大小等分为n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2, , n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2, 以雌性个体数量为对象以雌性个体数量为对象 第第i 年龄组年龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的时段内的繁殖率繁殖率为为bi 第第i 年龄组在年龄组在1时段内的死亡率为时段内的死亡率为di, 存活率存活率为为si=1- di1, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii假设假设与与建模建模xi(k)时段时段k第第i 年龄组的种群数量年龄组的种群数量)() 1(kLxkx)0()(xLkxkTnkxkxkxkx)(),(),()(21按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量预测任意时段种群预测任意时段种群按年龄组的分布按年龄组的分布000000121121nnnsss