圆锥曲线综合计算

1、圆锥曲线计算能力专项训练求f(m)的最值.2x1. P、Q、M、N四点都在椭圆2y21上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且PF ?MF0 .求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.2.如图，设抛物线c：y2X的焦点为F,动点P在直线0上运动，过p作抛物线C6.如图，倾斜角为a的直线经过抛物线y 8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.(I)求抛物线的焦点 F的坐标及准线I的方程;(1 )求厶APB的重心 G的轨迹方程(H)若a为锐角，作线段 AB的垂直平分线 m交x轴于点P,证明(2)证明/ PFA=Z

2、PFB.2 2|FP|-|FP|cos2 a为定值，并求此定值。2x-27.设椭圆ab21(a b 0)的左、右焦点分别为F1,F2, A 是3.已知方向向量为v=(1, 3)的直线l过点(0， 2 3 )和椭圆C:笃每 1(a a b点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆 C的右准线上(I)求椭圆C的方程；(H)是否存在过点 E ( 2, 0)的直线m交椭圆C于点M、N,满足OM ON/ MON丰0 (O为原点)若存在，求直线 m的方程；若不存在，请说明理由b 0)的焦V6, cot32 2x y2 2 、4.已知椭圆C： a + b = 1 (a> b>0)的左右焦点为 F

3、1、F2，离心率为e.直线l: y= ex+ a 与x轴.y轴分别交于点A、B, M是直线I与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线I的对称点, 设AM =入AB. ( I)证明：入=1 e2 ； (H)确定入的值，使得 PF1F2是等腰三角形.5.如图，已知椭圆x2=1(2w mW 5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从椭圆上的一点,af2F2，原点O到直线AF1的距离为t (°，b)使得下述命题成立：设圆点，则 OQ1OQ2左到右的顺序为A、B、C、D，设 f(m)=|AB| |CD|(1)求f(m)的解析式;>F1(I)证明 a 2b ；(n)求2t上任意

4、点M(x0，%)处的切线交椭圆于Q1 , Q2两y（2）设P是“果圆”的半椭圆 b2笃 1C2（X< 0）上任意一点.求证：当PM13.在平面直角坐标系 xoy中，已知圆心在第二象限、半径为 2 2的圆C与直线y x相切于坐标P在点B1, B2或A1处；（3）若P是“果圆”上任意一点，求29.已知正三角形°AB的三个顶点都在抛物线 y2x上，其中内接圆（点C为圆心）（I）求圆C的方程；（II）设圆M的方程（x过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE, PF，切点为PM取得最小值时点P的横坐标.°为坐标原点，设圆C是OAB的47cos )2 (y7cos )21E,F

5、 ,求 cE,cF的最大值和最取得最小值时，小值.210.过双曲线X4的右焦点F作倾斜角为1050的直线，交双曲线于PQ两点，贝y |FP|FQ|的值为11.设动点P到点F, 1,0）和F2（1,0）的距离分别为d1和d2, Z F1PF22 ，且存在常数2 2x y原点0 .椭圆r1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.a 9（1）求圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点 Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段 OF的 长.若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.14.舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动

6、物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为20 3g1千米/秒，炮弹的速度是，3 千米/秒，其中g为重力加速度,2（01），使得 ddsin.（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出 C的方 程；（2）如图，过点F2的直线与双曲线 C的右支交于A, B两点问：是否存在，使 F1AB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.12如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0,c）任作一直线，与抛物线相交于AB两点，一条垂直于 x轴的直线，分别与线段 AB和直线l : y c交于P,Q

7、 ,(1)2，求C的值；（5 分）（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切 线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）*y若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？15.已知抛物线C: y2=4x.（1）若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线I分别重合，试求椭圆短轴端点 B与焦点F连线中点P的轨迹方程；若M（m,0）是x轴上的一定点，Q是（1）所求轨 迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由2x-216.已知A,B为椭圆ab21（a>b>0）和双曲线2x2ab21的公共顶点,P,Q分别为双曲线

8、和椭圆上不同于 A,B 的动点 且有 AP+BP= (AQ+BQ)( R,| |>1),设 AP,BP,AQ,BQ斜率分别为 k1,k2,k3,k4,求证:k1+k2+k3+k4为一个定值.17 .如图，直线y= 2 x与抛物线ynBx2 4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线 y= 5交于Q点（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段 AB下方（含点A、B）的动点时，求厶OPQ面积 的最大值.218.在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x 2 py（ P 0）相交于A, B两 点.（I）若点N是点C关于坐标原点0的对称点，求 ANB面积的最小值；（II

9、）是否存在垂直 于y轴的直线I，使得I被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出I的方程；若不存在，说明理由.1. ( 05全国卷2)1 X1X12.解:(1)设切点A、B坐标分别为2 2(X,Xo)和(Xi,Xi )(X1Xo),所以P点到直线BF的距离为：d2切线AP的方程为:2xoX y2X00；/ 2(Xi(Xi)2(21、|Xi |(Xi-)-422 1Xi4|Xi |切线BP的方程为:2x1x y2X10；所以di=d2,即得/ AFP=Z PFB.解得P点的坐标为:XpX0X-FypX0X1当X1X00时，直线AF的方程:21X。40X02(X 0),即(X017)XXo

10、y12X0 0,所以 APB的重心G的坐标为XG X Xi XpXp ,直线2 y0yiypx°y2XiX0X13(X0Xi)2XoX14Xp2 yp3所以所以yp3yG24xg，由点P在直线I上运动,从而得到重心 G的轨迹方程为:d1x ( 3y4x2)(2)方法1:因为20,即 y(4x23FA (x°,x。2：),FP4X 2).产,x°xi)FB(Xi,Xi2由于P点在抛物线外，则|FP| 0._ _X0 XiFP FA 2- cos AFP2|FP|FA|1 2 1X0 (X0X1 -)(X0-)44I2 2 1 2|FP|, X。(X0)2414|FP

11、|X0X1同理有cos BFPFP FBX0X12/ AFP=/ PFB.方法2:当X1X0I FP | FB |X1 (X0X1 丄)&124 A:2 2I FP L Xi(Xi0时，由于X1点到直线AF的距离为：d12 1 1即(捲 )x x-i yx144BF的方程：y 14XiP点到直线AF的距离为:210),即(x；)x X1 y42 i X0 X1211(x0 -)( 0-) X0 X- -X0I4241 22)X04I 2(X0到直线BF的距离d2| X1X0 I，因此由0,X0Xi2-)(X022X03.(I)解法一：直线l : y3解得X . 椭圆中心2寸)14|FP

12、 |X0X1x°,不妨设X00,则y 0,所以号;而直线bf的方程：y 42X1X1P点坐标为QQ，则P4X,£)I XoX1 |d1=d2，可得至U/ AFP=Z PFB.3x 2 3 , 过原点垂直I的直线方程为y(0, 0)关于直线I的对称点在椭圆 C的右准线上,直线I过椭圆焦点，该焦点坐标为(2, 0) . c 2, a26, b22.故椭圆x2，同理可得到P点2 y2C的方程为1.解法二：直线l : y 、3x 3 3 .设原点关于直线l对称点为(p, q),则2 3解得p=3.T椭圆中心(0, 0)关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上,2直线l过椭圆焦点，该焦点

13、坐标为(2, 0) . c 2,a26,b2.故椭圆C解法二：设 M ( x1,y1), N ( x2,y2).当直线m不垂直x轴时，直线m: k(x2)代入,整理得2的方程为!_621.2(3k21)x212k2x12k260,XiX212k23k21(II)解法一:设 M ( Xi,yi), N( X2, y2).当直线m不垂直x轴时，直线m :y k(x 2)代入，整理得(3k22 2 21)x12k x 12k60, xix212k23k21,Xi X212k23k2 E (- 2, 0)是椭圆 |MN|=|ME|+|NE|2=e(-xi)c以下与解法一相同.C的左焦点,2ace( X

14、2)(XicaX2)2a 2612k23k212 6(k21)3k21| MN |1 k2 (xi x2)2 4xix2'i2-212k2 2k2.(2)2 3k2 1,12k2642 3k2 12 6(1 k2)解法三：设M( xi, yi)，N( X2, y).3k21设直线x ty 2，代入，整理得(t23)y24ty2 0.点O到直线MN的距离d4i|2k |_ k2yiy24t2厂，沖2严,4 OM ON 3 6cot MON,即|OM| ON | cosMON4 cos MON3 6 sin MON 0,I yi y21.(yiy2)4y2(4t|OM | |ON |sin

15、 MON4.'63S OMN-<6. | MN | d3即 4 6 | k | . k24 L 2.6 (3k31).整理得k2 3,当直线m垂直x轴时,也满足OMN2 6.3/ /1丿J46, -4 OM ON -：6cot3MON ,即|OM故直线m的方程为y2 3,或 x2.经检验上述直线均满足OMON0.|OM | |ON |sinS OMN S OEM 2422.(t解得t故直线mMONS OEN3,或t的方程为所以所求直线方程为<3y孑X，或y32、30.经检验上述直线方程为4 6,3OMN3)28t2224t242 2 . .(t 3)| ON | cosMO

16、N4 - cos MON3 6 sin MON °1訐E|整理得t4.323x3| yiy224t224(t23)2.3t2.3X =或 x 2.OM ON 0.所以所求直线方程为 y 3x 2- ,或y33222,或x 2.331e2e.2e所以1 e24. (I)证法解得 1 e2(a,0),(0,a).由yex a,xc,2 x2y"得b2这里c2 2-a be22 1, y.是abcb2a bac,AMAB得(c,)(,a)所以点M的坐标是(a ).由e ae因为A、B分别是直线I: yex a与x轴、y轴的交点，所以 A、B的坐标分别aaceeb2a即a-时， 即

17、当 3' PF1F2为等腰三角形.解法二：因为PF1丄I，所以/ PF1F2=90° +/BAF1为钝角，要使 PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F 1F2I , 设点P的坐标是(X°，y。),y。01e23x°2 c,x°ce解得e 1y00x°c2(1 e2)aea.y02 则22e 1(6223)cc2 2(12e )a 22 4c由 |PF1|=|F 1F2| 得e1e1证法二：因为A、B分别是直线I:y exa与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是a,0),(0,a).e设M的坐标是Em由AMAB 得(x。-,yo

18、)e(a,a),e(e21)222 12e .e.两边同时除以4a2,化简得e1从而32 221 1e于是3即当3时，PF1F2为等腰三角形所以X。yoa(e2ae(1)a.1)2(a)2b2因为点M在椭圆上，所以1,所以斗e1.22(1 )e(1)2 0,2解得e(n)解法一：因为PF1 丄 l,有|PF1|=|F1F2|，即 2|C.设点F1到I的距离为d ,2 X。 2 a2y。b21,5. (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c,则a2=m,b2=m 1,c2=a2 b2=1椭圆的焦点为 F1( 1,0),F2(1,0).2故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=

19、 ± ，即 x=± m.c A( m, m+1),D(m,m+1)所以/ PF1F2=9O° +Z BAF1为钝角，要使 PF1F2为等腰三角形，必y x 1考虑方程组x2y2m m 1,消去 y 得：(m 1)x2+m(x+1)2=m(m 1)11严| 由| e( c) 0 a | a ec|.：21 e整理得：(2 m 1)x2+2mx+2m m2=0A =4m2 4(2m 1)(2m m2)=8m(m 1)2/ 2< mW 5,. A > 0 恒成立，xb+xc=迥2m 1 '又 A、B、C、D都在直线y=x+1上 |AB|=|xb xa

20、|= - 2 =(xb xa) - 2 ,|CD|=、2 (xd xc)r |AB| |CD|= i 2 |xB xa+xd Xc|=、2 |(xb+xc) (xa+xd)|又xa= m,xD=m,. xa+xd=0|AB|-|CD|=|xb+xc|2=| 竺 | - . 2 =(2 w mW 5)1 2m2m2,2m令y=0,得 P的横坐标xP2k24Hkp故 f(m)= 2、2m , m 2,5. 2m,2V2m由f(m)=2m4(k21)|FP| & 2 I4sin2 a242，可知 f(m)=2 m从而 |FP| |FP|cos2a4(1cos 2 a)sin a24 -2si

21、n a28为定值。sin a7.(I)证法一：由题设 AF2F1F2及 Fi(c,0) , F2(c,0)，不妨设点 A(c, y)，其中1 11又 2 w 2 w 2-2 m10、2.f(m)一9故f(m)的最大值为4 2 ：34.22 c y 0，由于点A在椭圆上，有 a1,2 .2a b2a，此时3(21)图作m=2;f(m)的最小值为10 2，此时m=5.解得6.(n)解法一：如图I FA|=| Fq,| FB=| BD|.记A、B的横坐标分别为Xxxz,贝UAC 丄 I,BD丄I,垂足为9C D,则由抛物线的定义知b2y，从而得到ab2A c,，直线AF2的方程为ay夕(x2acc)

22、，整理得|FA| = | AC| = XxP | FA | cosa -2 2| FA | cos a4解得| FA | FB |cosa，解得 |FB |401 cosab2x22acy b c 0 .c3 一一2，将2 24a c1由题设，原点 0到直线AF1的距离为丄OF13c2a2 b2代入原式并化简得a2 2b2 ，即证法二：同证法一，得到点记直线m与AB的交点为E,贝U|FA| |FB|2| FE | | FA | AE | |FA |1-(I FA| |FB |)cosa41 cosa4 cosa.2- sin a以|FP|匹 cosa4.2 0 sin a故 |FP | FP

23、| cos 2a解法二：设 A(Xa，yA),4(1 cos2a) sin aB(Xbb)，直线24 - 2 sin a & sin2 aAB的斜率为kBOF2A0F1F1Atana将此式代入 y2 8x，得 k2x24(k22)x4k20，故 Xa Xb，则直线方程为k(k22)"Hk1k(x 2)。由椭圆定义得 AF1 AF2F2AF2A记直线m与AB的交点为22(k2)k2XeXaXb2yEk(xE2)故直线m的方程为y 4E(Xe，e)，则F1A 2a |f2A(n)解法一：圆 x2当t (0, b)时，圆x22k2b2A的坐标为c,一,过点O作OB AF1，垂足为，

24、解得f2a，而f2a2-，即 a.22 2 2y t上的任意点M(x。，y。)处的切线方程为x°x y°y t .y2 t2上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q1和Q2，因此点Qdx1, %) , Q2(X2, y2)的坐标是方程组.2X0Xy°yt2X2y2 2b2 的解.当yo0时，由式得b2X2.2代入式,t2 X0X 22 2 2 2 22b , (2x0 y0 )x 4t X0X42 22t 2b y00 ,Xiyoyob22c|PM|2的最小值只能在x 0或xc处取到.X24t2X02x；2y。XX22t4 2b2yo2x

25、2y。y2t2x0xt2X1X2y1即当PM取得最小值时，P在点Bi, B2或Ai处.yo(3)|AiM | |MA21，且Bi和B2同时位于“果圆”的半椭圆yrtx°t2(X1X2)2X0X1X21y0t44t2X0X0t2 22x0 y°x2 2t4 2b2y2X0222X0 y°t4 2b22x0 y02 X 2 a_y_2 b1 (x > 0)和半椭若OQ1OQ2，则X1X22t42x2 22b y°y。-422t 2b X022-2x0 y°3t4 2b2 (x0 y0)2圆笃b上的情形即可.(x< 0)上,所以，由（2）

26、知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆所以，3t4 2b2 (x： yf) 0 .由 x：y0 t2，得 3t4 2b2t22 22x0 y2| PM |0 .在区间（0,b）内此方程的解当y°0时，必有X00,同理求得在区间（0,b）内的解为t弓b .2c2aa2(a c)2c2b2(a c)24a2(a c)24c2另一方面，当t丄6 b时，可推出X1X2 y”2 0,从而0Q13综上所述，tfb (0,3b）使得所述命题成立.8解：（1）F0(c, 0)，F10,F2 0,b2F0F2b21,F1F22,b2OQ2 .2c2此时P的横坐标是2 /t a (a当x22c2即 a &l

27、t; 2c 时，| PM|2的最小值在a2（a c） e”石厂时取到,a2(ac)2c2c)a，即a 2c时，由于|PM |2在x a时是递减的，| PM |2的最小值在x a时取到，此时 P的横坐标是a .综上所述，若a < 2c，当|PM |取得最小值时，点 P的横坐标是a (a c) ； 若 a 2c，当2c2所求“果圆”方程为(X> 0) , y2#x213(x< 0).|PM |取得最小值时，点 P的横坐标是a或 c .(2)设 P(x, y)，则29.（I）解法一：设A,B两点坐标分别为W ,y1, 专,y2，由题设知| PM |22 2y122 2 y122y1

28、y22(y1 y2)2 .解得 yi2 y； i2,2 2 2 2did2 2did2 cos2(di d2)4did2sin所以 A(6,2、3) , B(6, 2、3)或 A(6, 2、3) , B(6,2、3).(did2)24 42设圆心C的坐标为（r ,0），则r 3 64，所以圆C的方程为2 2(x 4) y解法二：设A,B两点坐标分别为(xi, yi), (X2, y2)，由题设知did22.（小于2的常数）故动点P的轨迹C是以Fi , F2为焦点，实轴长2a 2. i的双曲线.2 2方程为亠丄i.i2 2 2xiyiX22y2.(2)方法一：在 AFiB 中，设 AFi di

29、, AF2 dBFi da, BF2 d4.1 I22又因为yi 2xi , y2 2x2，可得2 2xi 2xi x2 2x2 .即假设 AFiB为等腰直角三角形，则(xi x2)(xi x22)0 .故A B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上.dida设C点的坐标为（r,0），则A点坐标为 §r,色r，于是有 r 22 2 233r，解得r 4，所以2dadi2a |2a |d2-2d a d2d4d4圆C的方程为(x 4)2 y2 i6 .dad4 sin2 nI(II)解：设 ECF 2a，则cE|cF |CE|C?|2cos2 i6cos 2 32cos i6.由与得d22a ,di在 RtA PCE 中，cosx ，由圆的几何性质得|PC| |PC|则da4a2,2a| PC |< | MC |i所以丄< cos2十8 < ceIcf <则cEcF的最大值为2a,i698 , | PC |>|MC | i 7 i 6 ,由此可得16，最小值为8 .9ii.解：(i )在厶 PRF2 中，FiF2 2d4由得ds 2adad42(82 2 i)ai2 2(0,)故存在屮 满足题设条件.（2）设过Q