高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点学案 新人教A版必修1

1、3.1.1方程的根与函数的零点学习目标：1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系(易混点)2.会求函数的零点(重点)3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数(难点)自 主 预 习·探 新 知1函数的零点对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？提示不是函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标2方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3函数零点的存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且

2、有f(a)·f(b)<0.那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根思考2：该定理具备哪些条件？提示定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)·f(b)<0.基础自测1思考辨析(1)所有的函数都有零点()(2)若方程f(x)0有两个不等实根x1，x2，则函数yf(x)的零点为(x1,0)(x2,0)()(3)若函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.()答案(1)×(2)×(3)×2函数

3、y2x1的零点是()a.b.c. d2a由2x10得x.3函数f(x)3x4的零点所在区间为()【导学号：37102345】a(0,1) b(1,0)c(2,3) d(1,2)d由f(1)341<0，f(2)945>0得f(x)的零点所在区间为(1,2)4二次函数yax2bxc中，a·c<0，则函数有_个零点两由b24ac>0得二次函数yax2bxc有两个零点合 作 探 究·攻 重 难求函数的零点(1)求函数f(x)的零点；(2)已知函数f(x)axb(a0)的零点为3，求函数g(x)bx2ax的零点. 【导学号：37102346】解(1)当x0时，

4、令x22x30，解得x3；当x>0时，令2ln x0，解得xe2.所以函数f(x)的零点为3和e2.(2)由已知得f(3)0即3ab0，即b3a.故g(x)3ax2axax(3x1)令g(x)0，即ax(3x1)0，解得x0或x.所以函数g(x)的零点为0和.规律方法函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)0的实数根.(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.跟踪训练1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x

5、)2x13；(4)f(x).解(1)解方程f(x)x27x60，得x1或x6，所以函数的零点是1，6.(2)解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函数的零点是1.(3)解方程f(x)2x130，得xlog26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)0，得x6，所以函数的零点为6.判断函数零点所在的区间(1)函数f(x)ln(x1)的零点所在的大致区间是()a(3,4)b(2，e)c(1,2) d(0,1)(2)根据表格内的数据，可以断定方程exx30的一个根所在区间是() 【导学号：37102347】x10123ex0.3712.727.3920.08x323456a.(1

6、,0) b(0,1)c(1,2) d(2,3)(1)c(2)c(1)因为f(1)ln 2<0，f(2)ln 31>0，且函数f(x)在(0，)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1,2)故选c.(2)构造函数f(x)exx3，由上表可得f(1)0.3721.63<0，f(0)132<0，f(1)2.7241.28<0，f(2)7.3952.39>0，f(3)20.08614.08>0，f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选c.规律方法判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值

7、.(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数， 则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.跟踪训练2若函数f(x)x(ar)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是()a2b0c1d3af(x)x(ar)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a2时，f(1)121<0，f(2)211>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选a.函数零点的个数探究问题1方程f(x)a的根的个数与函数yf(x)及ya的图象交点个数什么关系？提示：相等2若函数f(x)x22xa有零点

8、，如何求实数a的取值范围？提示：法一：若函数f(x)x22xa有零点，则方程x22xa0有根故(2)24a0，故a1.法二：由f(x)0有解可知ax22x(x1)211，即a的范围为a1.法三：在同一坐标系中分别画出ya及yx22x的图象，数形结合得a的范围为a1.已知0<a<1，则函数ya|x|logax|的零点的个数为()a1 b2 c3 d4思路探究：b函数ya|x|logax|(0<a<1)的零点的个数即方程a|x|logax|(0<a<1)的根的个数，也就是函数f(x)a|x|(0<a<1)与g(x)|logax|(0<a<

9、1)的图象的交点的个数画出函数f(x)a|x|(0<a<1)与g(x)|logax|(0<a<1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x)a|x|(0<a<1)与g(x)|logax|(0<a<1)的图象的交点的个数为2，从而函数ya|x|logax|的零点的个数为2.母题探究：1.把本例函数“ya|x|logax|”改为“y2x|logax|1”，再判断其零点个数解由2x|logax|10得|logax|x，作出yx及y|logax|(0<a<1)的图象如图所示由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数y2x|logax|1有两个零点

10、2若把本例条件换成“函数f(x)|2x2|b有两个零点”，求实数b的取值范围解由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中分别画出y|2x2|与yb的图象，如图所示则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点当 堂 达 标·固 双 基1函数f(x)2x23x1的零点个数是()【导学号：37102348】a0b1c2 d3c由f(x)0得2x23x10，x或x1，所以函数f(x)有2个零点2函数f(x)2x3的零点所在的区间是()a(0,1) b(1,2)c(2,3) d(3,4)bf(1)231<0，f(2)43

11、1>0，f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)3对于函数f(x)，若f(1)·f(3)<0，则()【导学号：37102349】a方程f(x)0一定有实数解b方程f(x)0一定无实数解c方程f(x)0一定有两实根d方程f(x)0可能无实数解d函数f(x)的图象在(1,3)上未必连续，故尽管f(1)·f(3)<0，但方程f(x)0在(1,3)上可能无实数解4若f(x)xb的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为_(1,0)f(x)xb是增函数，又f(x)xb的零点在区间(0,1)内，1<b<0.5已知函数f(x)x2x2a.(1)若a1，求函数f(x)的零点；(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围. 【导学号：37102350】解(1)当a1时，f(x)x2x2.令f(x)x2x20