数字电路第1-2章

1、数字电子技术基础华中科技大学机械学院张 冈教材教材: : 数字电子技术基础数字电子技术基础 （第五版）（第五版） 阎石主编阎石主编 高等教育出版社高等教育出版社学时：学时： 3232学时，其中含学时，其中含4 4学时学时实验，实验，属属专业基础课专业基础课授课内容：授课内容：数字电子技术基础数字电子技术基础的前六章的前六章 考核方式：考核方式：考试成绩：考试成绩： 70%平时表现：平时表现： 15% 实验课表现：实验课表现： 15% 实验课实验课(喻红老师）喻红老师） 任课老师联系方式：任课老师联系方式：办公电话：办公电话：87543555 (机械大楼机械大楼D411

2、室室)电子邮件电子邮件: 张冈，张冈，2000年博士毕业，年博士毕业，2002年底博士后年底博士后出站，主要从事传感技术、网络测控技术等出站，主要从事传感技术、网络测控技术等的研究的研究 第一章 数制与码制数字电子技术数字电子技术l 电子线路中的两类信号电子线路中的两类信号模拟信号模拟信号：在时间上和幅值上均连续的信号：在时间上和幅值上均连续的信号数字信号数字信号：在时间上和幅值上均离散的信号：在时间上和幅值上均离散的信号模拟电路模拟电路：处理模拟信号的电路：处理模拟信号的电路l 两类电路两类电路数字电路数字电路：处理数字信号的电路：处理数字信号的电路t0t01.1 1.1 概述概述数字电路的

3、应用数字电路的应用 数制数制：多位数码中，每位的构成方法以及从低位到高位：多位数码中，每位的构成方法以及从低位到高位 的进位规则称为的进位规则称为数制数制常用数制有二进制、十进制、八进制、十六进制等 码制码制：用来表示不同事物的数码称为：用来表示不同事物的数码称为代码代码, ,而代码的编制而代码的编制 规则和方法称为规则和方法称为码制码制常用码制有BCD码、GRAY码、ASCII码等l 数制和码制的定义数制和码制的定义一、一、 十进制十进制(1) (1) 计数符号计数符号: : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9(2

4、) (2) 进位规则进位规则: :逢十进一逢十进一基数：基数：所采用的计数符号的个数所采用的计数符号的个数1.2 1.2 几种常用的数制几种常用的数制(3) (3) 两种表示方法：两种表示方法：并列法：1021012110).()(mnnkkkkkkkN多项式表示：10110101()10101010nmnmNkkkkn为整数位数，m为小数位数例例: : (111.11)10= 1102 +1101 +1100 + 110-1+110-2 权权 系数系数权权：该位系数为该位系数为1 1时所代表的数值，是基数的整数次幂时所代表的数值，是基数的整数次幂110niiimk在不同位置的数表示的值是不同

5、的10110101()10101010nmnmNkkkk万、千、百、十分位等即为十进制的权万、千、百、十分位等即为十进制的权二、二进制二、二进制(1) (1) 计数符号计数符号: 0, 1 : 0, 1 (2) (2) 进位规则进位规则: : 逢二进一逢二进一(3) (3) 按权展开式按权展开式122)(nmiiikN(1)(1)计数符号计数符号: 0,1, . . .6,7: 0,1, . . .6,7(2)(2)进位规则进位规则: : 逢八进一逢八进一(3) 按权展开式：按权展开式：188)(nmiiikN三、八进制三、八进制2101885848386)45.63(例例: :四、十六进制四

6、、十六进制(1)(1)计数符号计数符号: 0,1, .,9,: 0,1, .,9,A,B,C,D,E,F(2)(2)进位规则进位规则: : 逢十六进一逢十六进一. .11616)(nmiiikN(3) 按权展开式：按权展开式：21011616B16416D166)B4 .D6(例例: :常用进制常用进制英文表英文表示符号示符号数码符号数码符号进位规律进位规律进位进位基数基数位权位权二进制二进制B0、1逢二进一逢二进一22i八进制八进制O0、1、2、3、4、5、6、7逢八进一逢八进一88i十进制十进制D0、1、2、3、4、5、6、7、8、9逢十进一逢十进一1010i十六进制十六进制H0、1、2、

7、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F逢十六进一逢十六进一1616i一、二进制转换为十进制例：例：3101322121212121)101.1011( 125. 05 . 0128 (1011.101)(1011.101)2 2=(11.625)=(11.625)1010 按权累加法按权累加法1.3 1.3 不同数制间的转换不同数制间的转换 整数转换除2取余法 01211001111102222222)(kkkkkkkkSnnnnnnnn ）（如果将上式两边同除以2，所得的商为 1211121(222)nnnnQkkkk余数就是k0 采用基数连乘、连除法采用基数连乘、连除法二、十进

8、制转换为二进制同理，这个商又可以写成 123121)22(2kkkkQnnnn 显然，若将上式两边再同时除以2，则所得余数是k1。重复上述过程，直到商为0，就可得二进制数的数码k0、k1、kn 例如，将(57)10转换为二进制数： 小数转换乘2取整法mmkkkS 222)(221110将上式两边同时乘以2， 便得到 )22()(2112110 mmkkkS令小数部分 112312)222(Faaamm 则上式可写成 1110)(2FkS2(S)10的整数部分就是k-1。对F1重复该过程，便可求出二进制小数的各位数码 l 乘2取整的过程，不一定能使最后乘积为0，因此转换值存在误差l 通常在二进制

9、小数的精度已达到预定的要求时，运算便可结束(0.1011)2=(0.6875)10 (0.10111)2=(0.71875)10例：将(0.724)10转换成二进制小数，要求二进制数保留小数点以后4位有效数字 l 将一个带有整数和小数的十进制数转换成二进制数时，要将整数和小数分别按除2取余法和乘2取整法进行转换，最后将两者的转换结果合并l 将十进制数转换成任意R进制数(N)R，则整数部分转换采用除R取余法；小数部分转换采用乘R取整法。 十六进制数的基数为16=24， 所以四位二进制数相当一位十六进制数， 它们之间的相互转换是很方便的。 二进制数转换成十六进制数的方法是从小数点开始， 分别向左、

10、向右，将二进制数按每四位一组分组(不足四位的补0)，然后写出每一组等值的十六进制数。 三、二进制转换为十六进制三、二进制转换为十六进制例如，求(1011110.1011001) 2的等值十六进制数：二进制 0101 1110 . 1011 0010 十六进制 5 E . B 2 所以， (1011110.1011001)2=(5E.B2) 16 例如，求(678.A5)16的等值二进制数： 十六进制 6 7 8 . A 5 二进制 0110 0111 1000. 1010 0101 (678.A5)16=(011001111000.10100101)2 将每一位十六进制数用相应的四位二进制数代

11、替即可。 四、十六进制转换为二进制四、十六进制转换为二进制一个数若用二进制数表示要比相应的十进制数的位数长得多，但采用二进制数却有以下优点： 只有0、1 两个数码，在数字电路中利用一个具有两个稳定状态且能相互转换的开关器件就可以表示一位二进制数，因此容易实现， 且工作稳定可靠。 算术运算规则简单，“逢二进一”、“借一当二”。既可进行算术运算，也可进行逻辑运算数字电路中采用二进制的原因数字电路中采用二进制的原因例如：例如： 1.4 1.4 二进制算术运算二进制算术运算l在有理数运算过程中，用“ + ”表示正数，用 “ - ”表示负数，但在数字系统特别是在计算机系统中“+/-”是无法识别的。l把一

12、个数的最高有效位作为符号位，若最高位为“0”则表示是正数，若为“1 ”则表示是负数。l这种连同符号位在一起的数定义为机器数，而把他们原来带有“+/-”符号的数称为真值。1.4.2 1.4.2 反码、补码和补码运算反码、补码和补码运算例如：例如：011011x111012x机器数11011x11012x真 值111x 211x 十进制数l 正数时符号位用“0”表示，负数时符号位用“1”表示l 数值部分不变121101,1101xx 如：1201101, 11101xx原原则：1 1、 原码原码1010101010)0() 1() 1 () 1 () 1 (l 表示法简单，但不能直接参与运算l “

13、0”的表示不唯一 ( 表1.4.1中 1000 规定为-8 )有问题有问题10(00001) +(10001) =(10010) =(-2)原原原l 正数用“0”表示符号位，负数用“1”表示符号位l 反码的数值部分与符号位有关，正数的反码数值不 变，负数的反码数值部分按位求反2 2、 反码反码121101,1101xx 例如：10010 ,0110121反反xx则：1 1101 1 1101 X1 0010 1 0010 1 11111 1111取反取反12 n反Xn为数值x的位数（不包括符号位）符号位符号位xxxn) 12(反数值x的符号位为正时数值x的符号位为负时l 使加减法运算简单l “

14、0”的表示不唯一 ( 表1.4.1中 1111 规定为 -8 )1010101010)0() 1() 1 () 1 () 1 (1010101010) 1()2() 1 ()2() 1 (不唯一不唯一正确正确10(00001) +(11110) =(11111) =(-0)反反反10(00001) +(11101) =(11110) =(-1)反反反l正数时符号位为用“0”，负数时符号位为“1”l补码的数值部分与符号位有关，正数的补码数值不变，负数的补码数值部分按位求反，然后+1（即反码+1）3 3、 补码补码1101,110121xx例如：10011 ,0110121补补xx则：1 1101

15、 1 1101 X1 0011 1 0011 1 100001 10000符号位符号位n2补X取反取反+1+1 n为数值x的位数（不包括符号位）xxxn2补数值x的符号位为正时数值x的符号位为负时l补码可以直接参与运算l“0”的表示唯一l注意高位的溢出：-2i 运算结果 2i ，i为有效位数补补补4110111001101000-1281213 -1101 ,10 -1010 xx （）（）例如：110110 ,11001121补补xx则：1 100111 100111 10110 1 10110 （1 1）1 010011 01001符号位符号位两者绝对值为23，采用5位，加上符号位，取6位

16、二进制补码-13-13-10-10-23-23所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在高级编程语言中使用的都是原码。用四位二进制代码来表示一位十进制数码用四位二进制代码来表示一位十进制数码,这样的代码称为这样的代码称为二二-十进十进制码制码,或或BCD码码四位四位二进制有二进制有1616种不同的组合种不同的组合, ,可以在这可以在这1616种代码中任选种代码中任选1010种表示种表示十进制数的十进制数的1010个不同符号个不同符号, ,选择方法不同选择方法不同, ,就能得到不同的编码就能得到不同的编码1 1、二、二- -十进制码十进制码 ( (BCD码码: : Binary Coded D

17、ecimal codes) BCD码通常分为有权码和无权码两类码通常分为有权码和无权码两类1.51.5、几种常用的编码、几种常用的编码(1) (1) 有权码有权码：每位数码都有固定不变的权（：每位数码都有固定不变的权（恒权码恒权码）。）。如如84218421码码，因为从高位到低位的权依次为，因为从高位到低位的权依次为8 8、4 4、2 2、1 1，故称为故称为84218421码。常用的恒权码还有码。常用的恒权码还有24212421码码和和52115211码码等等 8421 8421码码01100110表示十进制数表示十进制数0+4+2+0=60+4+2+0=6 5211 5211码码01100

18、110表示十进制数表示十进制数0+2+1+0=30+2+1+0=3 2421 2421码码01100110表示表示十进制数十进制数0+4+2+0=60+4+2+0=6(2) (2) 无权码无权码：每位数码无确定的位权：每位数码无确定的位权( (余余3 3码码) ) 余余3 3码的编码规律为码的编码规律为: : 在在84218421码上加码上加0011,0011, 如十进制数如十进制数6 6的余的余3 3码为码为: : 0110+0110+00110011= =10011001十进制数十进制数8421码码2421码码5211码码余余3码码00000000000000011100010001000

19、101002001000100100010130011001101010110401000100011101115010110111000100060110110010011001701111101110010108100011101101101191001111111111100常用常用BCD码（表码（表1.5.1 pp13) 24212421码的前码的前5 5个码和个码和84218421码相同，后码相同，后5 5个码以个码以中心对称中心对称取反取反, ,这样的码称为这样的码称为自反代码自反代码. .40100 5101100000 91111例：例： 84218421码和代表码和代表09的

20、二进制数一一对应；的二进制数一一对应； 余余3 3码的编码规律为码的编码规律为: : 在在84218421码上加码上加0011001152115211码、码、24212421码和余码和余3 3码的码的优点优点：做加法运算时，可以：做加法运算时，可以产生正确的十进制进位信号产生正确的十进制进位信号任意两个相邻的代码只有一位二进制数不同,可以减少过渡噪声二、格雷码（二、格雷码（Gray Code）格雷码又称循环码又称美国标准信息交换码，由7位二进制码组成1 1、十进制数符、十进制数符0-90-9按二进制编码，高按二进制编码，高3 3位为位为011011，编为，编为30H-39H30H-39H。2

21、2、大写英文字母从、大写英文字母从A-ZA-Z按顺序编为按顺序编为41H-5AH41H-5AH。3 3、小写英文字母从、小写英文字母从a-za-z按顺序编为按顺序编为61H-7AH61H-7AH。4 4、00H-2FH00H-2FH为控制码和符号的为控制码和符号的ASCIIASCII码码三、ASCII码 ( American Standard Code for Information Interchange) 第二章 逻辑代数基础数字电子技术数字电子技术2.1 2.1 概述概述数字电路研究的基础为逻辑代数,也称为布尔代数l由英国数学家乔治布尔(George Boole ) 提出l用数学方法研究

22、逻辑问题，即用等式表示判断，把推理看作等式的变换，成功地建立了逻辑演算l变换的有效性不依赖人们对符号的解释，只依赖于符号的组合规律l 布尔1815年 生于英格兰的林肯郡1847年 “The Mathematical Analysis of Logic” (逻辑的数学分析) 阐述了正式的逻辑学公理。其理论基础是两个逻辑值两个逻辑值( (0 0、1 1) )和三个运算符和三个运算符( (与、或、非与、或、非) )。这种简化的二值逻辑为计算机的二进制数、开关逻辑元件和逻辑电路的设计铺平了道路1854年 “The Laws ofThought” (思维规律的研究) 系统介绍了现在以他的名字命名的布尔代

23、数 逻辑代数的基本运算有“与”、“或”、“非” 一种二值变量，仅取 0、1两种逻辑值。逻辑值实际上代表着事物矛盾的双方，例如电压的高、低；信号的有、无；电灯的亮、灭;命题的真,假等 用逻辑语言描述的条件称为逻辑命题，其中的每个逻辑条件都称为逻辑变量，写成函数的形式就称为逻辑函数1. 1. “与与”逻辑运算逻辑运算定义定义：只有当：只有当全部条件全部条件都为真时，这件事才为都为真时，这件事才为真真；如果有一个；如果有一个或一个以上条件为假时，这件事为假。这种因果关系称为或一个以上条件为假时，这件事为假。这种因果关系称为“与与”逻辑关系逻辑关系 与逻辑电路状态表与逻辑电路状态表开关开关A状态状态

24、开关开关 B状态状态 灯灯F状态状态 断断 断断 灭灭 断断 合合 灭灭 合合 断断 灭灭 合合 合合 亮亮A AB BE EF F与逻辑电路与逻辑电路2.2 2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算若将开关断开和灯的熄灭状态用逻辑量若将开关断开和灯的熄灭状态用逻辑量“0”0”表示表示; ;将开关合将开关合上和灯亮的状态用逻辑量上和灯亮的状态用逻辑量“1”1”表示表示, ,则上述状态表可表示为则上述状态表可表示为真值表真值表 与逻辑真值表与逻辑真值表 A B F=A B0 0 00 1 01 0 01 1 1 与逻辑电路状态表与逻辑电路状态表开关开关A A状态状态 开关开关B

25、B状态状态 灯灯F F状态状态 断断 断断 灭灭 断断 合合 灭灭 合合 断断 灭灭 合合 合合 亮亮&ABF=AB与门与门图形符号图形符号与门与门的逻辑功能概括的逻辑功能概括1 1）有）有“0”0”出出“0”0”2 2）全）全“1”1”出出“1”1” 2. 2. “或或”逻辑运算逻辑运算定义：定义：有有一个或一个以上条件一个或一个以上条件为真时，这件事就为为真时，这件事就为真真; ;只有当所只有当所有条件都为假时有条件都为假时, ,这件事才为假。这种因果关系称为这件事才为假。这种因果关系称为“或或”逻辑逻辑关系关系 或逻辑真值表或逻辑真值表A B F=A+ B0 0 00 1 11

26、0 11 1 1A AB BE EF F或逻辑电路或逻辑电路1ABF=A+B或门或门图形符号图形符号或门或门的逻辑功能概括为的逻辑功能概括为: :1) 1) 有有“1”1”出出“1”;1”;2) 2) 全全“0” 0” 出出“0”.0”. 3. 3. “非非”逻辑运算逻辑运算A AE EF F非逻辑电路非逻辑电路R R 非逻辑真值表非逻辑真值表 A F=A 0 1 1 01AF=A 非门非门图形符号图形符号定义定义:当条件当条件A为真时为真时,事件事件F为假为假;当当A为假时为假时,F为真。为真。F和和A之间的这种因果关系称为之间的这种因果关系称为“非非”逻辑关系逻辑关系注意：注意：书上书上“

27、非非”用用“ ”表示，这在数字仿真软件表示，这在数字仿真软件中常用中常用4 4 复合逻辑运算复合逻辑运算 “与非与非”逻辑逻辑 ( (将将与与逻辑和逻辑和非非逻辑组合而成逻辑组合而成) ) 与非逻辑真值表与非逻辑真值表A B F=A B0 0 10 1 11 0 11 1 0&ABF=AB与非门与非门图形符号图形符号 “或非或非”逻辑逻辑 ( (将或逻辑和非逻辑组合而成将或逻辑和非逻辑组合而成) ) 或非逻辑真值表或非逻辑真值表A B F=A +B0 0 10 1 01 0 01 1 01ABF=A+B或非门或非门图形符号图形符号 “与或非与或非”逻辑逻辑 ( (由由与与、或或、非非三

28、种逻辑组合而成）三种逻辑组合而成）与或非与或非逻辑函数式：逻辑函数式：F=AB+CDF=AB+CD与或非门与或非门图形符号图形符号1&ABCDF=AB+CD 异或逻辑真值表异或逻辑真值表A B F=A B0 0 00 1 11 0 11 1 0 =1ABF=A B异或门异或门图形符号图形符号异或异或逻辑的功能为逻辑的功能为: :1) 1) 相同得相同得“0”;0”;2) 2) 相异得相异得“1”.1”.“异或异或”逻辑逻辑异或异或逻辑的函数式为：逻辑的函数式为： F=AB+AB = A B 异或门的应用举例：l 二进制转换成格雷码=AB同或门同或门图形符号图形符号F=A B. 同或逻辑

29、真值表同或逻辑真值表A B F=A B0 0 10 1 01 0 01 1 1. “同或同或”逻辑逻辑同或同或逻辑式为逻辑式为:F = A B + A B = A B. 同或逻辑同或逻辑 真值表真值表A B F=A B0 0 10 1 01 0 01 1 1. 异或逻辑真值表异或逻辑真值表A B F=A B0 0 00 1 11 0 11 1 0 对照对照异或异或和和同或同或逻辑真值表逻辑真值表, ,可以发现可以发现: : 同或同或和和异或异或互互为反函数为反函数, ,即即: : A B = A B . 图图2.2.2和和2.2.3 给出了门电路的几种表给出了门电路的几种表示方法。国外流行的电

30、路符号（即示方法。国外流行的电路符号（即a所示部所示部分）常见于外文书籍中，在我国引进的一分）常见于外文书籍中，在我国引进的一些计算机辅助分析和设计软件中，常使用些计算机辅助分析和设计软件中，常使用这些符号。这些符号。2.3 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式l 逻辑函数的相等逻辑函数的相等 因此因此, ,如两个函数的如两个函数的真值表真值表相等相等, ,则这两个函数一定相等则这两个函数一定相等 设有两个逻辑设有两个逻辑: :F1=f1(A1,A2,An) F2=f2(A1,A2,An) 如果对于如果对于A1,A2,An 的任何一组取值的任何一组取值( (共共2n

31、组组), ), F1 和和 F2均相等均相等, ,则称则称F1和和 F2相等相等2. 自等律自等律 A 1=A ; A+0=A 3 重迭律重迭律 A A=A ; 13. A+A=A 5. 交换律交换律 A B= B A ; 15. A+B=B+A6. 结合律结合律 A(BC)=(AB)C ; 16. A+(B+C)=(A+B)+C7. 分配律分配律 A(B+C)=AB+AC ; 17. A+BC=(A+B)(A+C)8. 反演律反演律 A B =A+ B; 18. A+B = A B1. 01律律 A 0=0 ; A+1=14. 互补律互补律 A A=0 ; 14. A+A=19. 还原律还原

32、律 A = A= =2.3.1 2.3.1 基本公式基本公式反演律反演律也称也称德德摩根摩根定理定理, ,是非常有用的定理是非常有用的定理2.4 2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理 2.4.1 2.4.1 代入定理代入定理 任何一个含有变量任何一个含有变量A的等式的等式,如果将所有出现如果将所有出现A的位置的位置, 都用一个逻辑函数式都用一个逻辑函数式F代替代替,则等式仍然成立则等式仍然成立例例: : 已知等式已知等式 A+B=A B ,有函数式有函数式F=B+C, , 用用F代替等式中的代替等式中的B, 有有 A+(B+C)=A B+C 即即 A+B+C=A B C 由此可以证明反

33、演定律对由此可以证明反演定律对多逻辑多逻辑变量仍然成立变量仍然成立 设设F F为任意逻辑表达式为任意逻辑表达式, ,若将若将F F中中所有所有运算符、运算符、常量常量及及变量变量作如下变换：作如下变换： + 0 1 原变量原变量 反变量反变量 + 1 0 反变量反变量 原变量原变量则所得新的逻辑式即为则所得新的逻辑式即为F的反函数，记为的反函数，记为F例例 已知已知 F=A B + A B, 根据上述规则可得：根据上述规则可得： F=(A+B)(A+B)2.4.2 2.4.2 反演定理反演定理例例 已知已知 F=A+B+C+D+E, 则则F=A B C D E由由F F求反函数求反函数注意注意

34、：1 1）保持原式运算的优先次序）保持原式运算的优先次序2 2）原式中的不属于）原式中的不属于单单变量上的变量上的非号非号不变不变 2.4.3 2.4.3 对偶定理对偶定理 设设F为任意逻辑表达式为任意逻辑表达式, ,若将若将F F中所有运算符和常量作中所有运算符和常量作如下变换：如下变换： + 0 1 + 1 0 则所得新的逻辑表达式即为则所得新的逻辑表达式即为F F的对偶式，记为的对偶式，记为F(FD)F=(A+B)(C+D)例例 F=A B + C D例例 F=AB+C+DF=（A+B）C D对偶是相互的,F和F互为对偶式.求对偶式注意： 1）保持原式运算的优先次序2）原式中的长短“非”

35、号不变3）单变量的对偶式为自己 对偶定理对偶定理：若有两个逻辑表达式：若有两个逻辑表达式F和和G相等，则各自的相等，则各自的 对偶式对偶式F和和G也相等。也相等。使用对偶定理可使得某些表达式的证明更加方便使用对偶定理可使得某些表达式的证明更加方便已知已知 A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)对偶关系对偶关系例例 ：2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.5.1 逻辑函数逻辑函数 当逻辑变量当逻辑变量( (即输入变量即输入变量) )的取值确定后，其输出的取值确定后，其输出值也随之确定，因而输入与输出之间是一种确定的值也随之确定，因而输入与输出之间是一种确定的函数关系

36、。称为逻辑函数，记为：函数关系。称为逻辑函数，记为：),C,B,A(FY Y为输出变量，为输出变量，A,B,C为输入变量为输入变量 2.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法真值表、逻辑表达式、逻辑图、波形图、卡诺图等真值表、逻辑表达式、逻辑图、波形图、卡诺图等一、真值表一、真值表 是由输入逻辑变量的所有可能组合与其逻辑输出是由输入逻辑变量的所有可能组合与其逻辑输出对应值所构成的表格。如：对应值所构成的表格。如：二、逻辑表达式：二、逻辑表达式： 用与、或、非等逻辑运算符表示逻辑变量间的用与、或、非等逻辑运算符表示逻辑变量间的关系的代数式。如：关系的代数式。如：分析左边电路，得分析左边电路

37、，得出表示灯亮的逻辑出表示灯亮的逻辑函数表达式：函数表达式： )(CBAY三、逻辑图三、逻辑图 将与、或、非等逻辑运算关系用相应的门电路图将与、或、非等逻辑运算关系用相应的门电路图形符号表示出来。如：形符号表示出来。如：四、波形图四、波形图 又称时序图。又称时序图。将输入变量每一种可能的取值与将输入变量每一种可能的取值与对应的输出值按时间顺序排列起来所得到的对应的输出值按时间顺序排列起来所得到的1. 1. 由逻辑函数式列真值表由逻辑函数式列真值表 由逻辑函数式列真值表可采用列举法：由逻辑函数式列真值表可采用列举法：例：例： 试列出下列逻辑函数式的试列出下列逻辑函数式的真值表真值表 F（A，B，

38、C）=AB+BC五、各种表示方法之间的互相转换五、各种表示方法之间的互相转换方法方法：将：将A、B、C三变量所有取值的组合（共八种），三变量所有取值的组合（共八种）， 分别代入函数式，逐一算出函数值，填入真值表中分别代入函数式，逐一算出函数值，填入真值表中 A B C F0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1F（A，B，C）=AB+BC 真值表真值表 例：已知函数例：已知函数F的真值表如下，求逻辑函数表达式。的真值表如下，求逻辑函数表达式。A B C F0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0

39、11 0 1 01 1 0 01 1 1 12. 2. 由真值表写逻辑函数式由真值表写逻辑函数式 由真值表求逻辑函数式可采用由真值表求逻辑函数式可采用“相加相加”法：法：解解：由真值表可见，当由真值表可见，当ABC 取取001、011、100、111 时，时，F为为“1”。 用用反变量取代反变量取代0 0、用原、用原变量取代变量取代1 1，将这四项将这四项相加（即或），可得相加（即或），可得F为：为： A B C F0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1F（A，B，C）= ABC+ABC+ABC+ABCABC+ABC+A

40、BC+ABC 3. 3. 由逻辑式画出逻辑图由逻辑式画出逻辑图4. 4. 从逻辑图写出逻辑式从逻辑图写出逻辑式将式中的与或非运算符号用图形符号代替并连接即可将式中的与或非运算符号用图形符号代替并连接即可 从输入端开始，逐级写出每个图形符号所代表的运算从输入端开始，逐级写出每个图形符号所代表的运算式即可式即可2.5.3 2.5.3 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式l 函数的函数的“与与或或”式和式和“或或与与”式式“与与或或”式，指一个函数表达式中包含若干个式，指一个函数表达式中包含若干个与与项，这些项，这些与与项项的的“或或”表示这个函数表示这个函数例：例： F(A,B,C,D)=

41、A+BC+ABCD“或或与与”式，指一个函数表达式中包含若干个式，指一个函数表达式中包含若干个或或项，这些项，这些或或项项的的“与与”表示这个函数表示这个函数例例 ：F(A,B,C,D)=(A+C+D)(B+D)(A+B+D)一、最小项和最大项一、最小项和最大项1.1.最小项最小项（1 1）最小项特点）最小项特点最小项是最小项是“与与”项项 假定变量的个数为假定变量的个数为n,n,则每个最小项一定是这则每个最小项一定是这n n个变个变量的乘积项；量的乘积项； 各个最小项中，每个变量必须以各个最小项中，每个变量必须以原变量原变量或或反变反变 量量形式作为因子出现一次，而且仅出现一次。形式作为因子

42、出现一次，而且仅出现一次。例例 有有A A、B B两变量的最小项共有四项两变量的最小项共有四项(2(22 2) )：A BA BA BA B例例 有有A A、B B、C C三变量的最小项共有八项三变量的最小项共有八项(2(23 3) )：ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC例：例： 有最小项有最小项 A B C, ,要使该最小项为要使该最小项为1 1，A、B、C的取的取值应值应为为0 0、1 1、1 1，二进制数，二进制数 011011所等效的十进制数为所等效的十进制数为 3 3，所以所以ABC = m3（2 2） 最小项编号最小项编号 任一个最小项用任一个最小项用

43、mi 表示，表示，m表示最小项，下标表示最小项，下标 i 为使该最小项为为使该最小项为1的变量取值所对应的等效十进制数。的变量取值所对应的等效十进制数。例：例： 输入变量为输入变量为A A、B B、C,C,判断下列各项是否为判断下列各项是否为最最小小项项ABCA+B+CABA+ABC是最小项是最小项不是最小项不是最小项, , 因为不是与项因为不是与项不是最小项不是最小项, 因为少一个变量因子因为少一个变量因子不是最小项不是最小项, 因为不是与项，且变量因为不是与项，且变量A出出现两次现两次(3) (3) 最小项的性质最小项的性质 变量任取一组值，仅有一个最小项为变量任取一组值，仅有一个最小项为

44、1 1，其他为零，其他为零 n n变量的全体最小项之和为变量的全体最小项之和为1 1已知道已知道A A、B B、C C三变量的最小项共有八项三变量的最小项共有八项(2(23 3) )：ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC 不同的最小项相不同的最小项相“与与”，结果为，结果为0 0 相邻相邻的最小项相的最小项相“或或”，可以合并成一项，并可以消，可以合并成一项，并可以消 去一个变量因子去一个变量因子相邻相邻的概念：的概念： 两最小项如仅有一个变量因子不同，其他两最小项如仅有一个变量因子不同，其他变量均相同，则称这两个最小项变量均相同，则称这两个最小项相邻相邻. .相邻最

45、小项相相邻最小项相“或或”的情况：的情况：例：例： A B C+A B C =A B2. 2. 最大项最大项（1 1）最大项特点）最大项特点最大项是最大项是“或或”项项 n n个变量构成的每个最大项，一定是包含个变量构成的每个最大项，一定是包含n n个因子的个因子的 的和项；的和项； 在各个最大项中，每个变量必须以原变量或反变量在各个最大项中，每个变量必须以原变量或反变量 形式作为因子出现一次，而且仅出现一次。形式作为因子出现一次，而且仅出现一次。例：例： A A、B B两变量的最大项共有四项两变量的最大项共有四项例：例： A A、B B、C C三变量的最大项共有八项三变量的最大项共有八项A+

46、 BA+ BA+ BA+ BA+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C(2) (2) 最大项编号最大项编号 任一个最大项用任一个最大项用 Mi 表示，表示，M表示最大项，下标表示最大项，下标 i 为使为使该最大项为该最大项为0 0的变量取值所对应的等效十进制数的变量取值所对应的等效十进制数A+B+C =M4(3) (3) 最大项的性质最大项的性质 变量任取一组值，仅有一个最大项为变量任取一组值，仅有一个最大项为0 0，其它均为，其它均为1 1 n n变量的全体最大项之变量的全体最大项之积积为为0 0 不同的最大项相不同的最大项相或或，结果为，

47、结果为1 1例：例：有最大项有最大项 A +B+ C,要使该最大项为要使该最大项为0，A、B、C的的取值应取值应为为1、0、0，二进制数，二进制数100所等效的十进制数为所等效的十进制数为 4，所以所以 两相邻的最大项相两相邻的最大项相“与与”，可以合并成一项，并可以，可以合并成一项，并可以 消去一个变量因子。消去一个变量因子。相邻相邻的概念：两最大项如仅有一个变量因子不同，其他的概念：两最大项如仅有一个变量因子不同，其他 变量均相同，则称这两个最大项变量均相同，则称这两个最大项相邻相邻。相邻相邻最大项相最大项相“与与”的情况：的情况：例：例： (A+B+C)(A+B+C)=A+B3) 3)

48、最小项和最大项的关系最小项和最大项的关系编号下标相同的最小项和最大项互为反函数，编号下标相同的最小项和最大项互为反函数， 即即Mi = mi或或 mi = Mi最小项之和式是最小项之和式是“与或与或”式，其中每个与项都是最小项式，其中每个与项都是最小项=m(2 , 4 , 6)F(A,B,C) = ABC + ABC +ABC例：例： 二、逻辑函数的最小项之和形式二、逻辑函数的最小项之和形式任一任一逻辑函数都可以表达为最小项之和的形式逻辑函数都可以表达为最小项之和的形式, ,而且而且是是唯一唯一的的. .例例: : F(A,B,C) = A B +A C 该式不是最小项之和形式该式不是最小项之

49、和形式=m（1，3，6，7）= AB（C+C）+AC（B+B）= ABC+ABC+ABC+ABC 逻辑函数的最大项之积的形式为逻辑函数的最大项之积的形式为“或与或与”式，式，例：例：= M (0 , 2 , 4 )F(A,B,C) = (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) 三、逻辑函数的最大项之积形式三、逻辑函数的最大项之积形式= M (1 , 4 , 5 , 6 )例例 : : F(A,B,C) = (A + C )(B + C) =(A+B B+C)(A A+B+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)任一任一逻辑函数都可以表达为最大项之积的形式逻辑函数都可以表

50、达为最大项之积的形式, ,而且而且是是唯一唯一的的. .=ABAC 与非与非式与非与非式=A+C+A+B 或非或非式或非或非式=AC +AB 与或非式与或非式2.5.4 2.5.4 逻辑函数形式的变换逻辑函数形式的变换 =AB+AC 与或式与或式F(A,B,C)=(A+C)(A+B) 或与式或与式 对或与式求反两次对或与式求反两次,再结合反演定理再结合反演定理对与或式求反两次对与或式求反两次,再结合反演定理再结合反演定理对或非式再次运用对或非式再次运用反演定理反演定理2.6 2.6 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法化简的意义化简的意义: :节省元器件节省元器件, ,降低电路成本降低电路

51、成本; ; 提高电路可靠性提高电路可靠性; ; 减少连线减少连线, ,制作方便制作方便. .最简与或最简与或表达式的标准：表达式的标准：1 1） 所得所得与或与或表达式中，表达式中，乘积项乘积项（与项）数目最少（与项）数目最少2 2） 每个乘积项中所含的每个乘积项中所含的变量数变量数最少最少 逻辑函数常用的化简方法有：逻辑函数常用的化简方法有： 公式法、卡诺图法和列公式法、卡诺图法和列表法。本课程要求掌握表法。本课程要求掌握公式法公式法和和卡诺图法卡诺图法。2.6.1 2.6.1 公式化简法公式化简法 针对某一逻辑式针对某一逻辑式, ,反复运用逻辑代数公式消去反复运用逻辑代数公式消去多余的多余

52、的乘积项乘积项和每个乘积项中和每个乘积项中多余的因子多余的因子, ,使函数式符合使函数式符合最简最简标准。标准。(1) (1) 并项法并项法=（A B）C+（AB）C在化简中注在化简中注意代入规则意代入规则的使用的使用(2)(2)吸收法吸收法利用公式利用公式 A+AB=A 利用公式利用公式 AB+AB=A例例: : F=ABC+ABC+ABC+ABC=（AB+AB）C+（AB+AB）C=（A B）C+（A B）C=C=A+BC =(A+BC)+(A+BC)B+AC+D例：例： F=A+ABC B+AC+D+BC(3) (3) 消项法消项法 例例 ： F=ABCD+AE+BE+CDE=ABCD+

53、(A+B)E+CDE=ABCD+ABE+CDE=ABCD+(A+B)E=ABCD+AE+BE利用公式利用公式 AB+AC+BC=AB+AC2.6.2 2.6.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 该方法是将逻辑函数用一种称为该方法是将逻辑函数用一种称为“卡诺图卡诺图”的图形来的图形来表示表示, ,然后在卡诺图上进行然后在卡诺图上进行函数化函数化简的简的方法方法卡诺图的构成卡诺图的构成 将将n变量（变量（n 5）的每个最小项各用一个小方块）的每个最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形即

54、称为也相邻地排列起来，所得到的图形即称为n变量的变量的卡诺图。卡诺图。一、逻辑函数的一、逻辑函数的卡诺图表示法卡诺图表示法 该表示法是由美国工程师卡诺（该表示法是由美国工程师卡诺（Karnaugh）提）提出来的，所以称为卡诺图出来的，所以称为卡诺图 三变量卡诺图三变量卡诺图ABC0100011110ABCm0ABCm1ABCm2ABCm3ABCm4ABCm5ABCm6ABCm7二变量卡诺图二变量卡诺图AB0101AB ABAB ABABCD00011110000111100 1 3 24 5 7 6 8 9 11 1012 13 15 14四变量卡诺图四变量卡诺图ABCDE0001111000

55、0001 0110100 1 3 2 8 9 11 1024 25 27 261101111011006 7 5 414 15 13 12 22 23 21 2030 31 29 2816 17 19 18 五变量卡诺图五变量卡诺图卡诺图包括了卡诺图包括了n变量函数的全部最小项变量函数的全部最小项按按相邻顺序排列相邻顺序排列是卡诺图的显著特点和必备要求是卡诺图的显著特点和必备要求相邻最小项之间有且仅有一个变量互为相反相邻最小项之间有且仅有一个变量互为相反相邻有三类：几何相邻；循环相邻；空间对称相邻相邻有三类：几何相邻；循环相邻；空间对称相邻l 卡诺图结构特点卡诺图结构特点用卡诺图表示逻辑函数（

56、填图）的方法：用卡诺图表示逻辑函数（填图）的方法：根据根据真值表真值表直接填图直接填图将逻辑函数化为最小项将逻辑函数化为最小项表达式，然后填图表达式，然后填图（“有有” ” 填填1 1，“无无” ” 填填0 0） ABC0100011110m3m5m70 0 00 0111例：例： F（A，B，C）=ABC+ABC+ABC 用卡诺图表示为：用卡诺图表示为：例例 ： 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数FABA B CAC F(A,B,C)ABA B CAC 6)4,3,2,m(0, 00 01 11 10 0 1 A BC m0m3m2m4m6m5m7m111111000解：解：将逻辑函数

57、化为最小项表达式将逻辑函数化为最小项表达式1 1、化简原则（合并、化简原则（合并最小最小项）项） 当卡诺图中有标当卡诺图中有标1 1的方格相邻时，可利用最小项相邻的性质，的方格相邻时，可利用最小项相邻的性质，对最小对最小项进行合并及化简项进行合并及化简 （1 1） 卡诺图上任何两个标卡诺图上任何两个标1 1的方格相邻，可以合为的方格相邻，可以合为1 1项，并项，并可消去可消去1 1个变量个变量( (该变量为互逆的变量该变量为互逆的变量) )二、用卡诺图化简逻辑函数二、用卡诺图化简逻辑函数例：例：ABC01000111100 0 00 0111ABC+ABC=BCABC+ABC=ACABCD00

58、011110000111101111ABDABDABCD00011110000111101111111CDABABCD0001111000011110111111111BD同在一行或一列同在一行或一列同在一个田字格中同在一个田字格中BD（2 2）卡诺图上任何四个标）卡诺图上任何四个标1 1方格相邻，可合并为一项，并可方格相邻，可合并为一项，并可消去两个变量消去两个变量( (这两个变量为发生变化的变量这两个变量为发生变化的变量) ) 。（3 3）卡诺图上任何八个标）卡诺图上任何八个标1 1的方格相邻，可以并为一的方格相邻，可以并为一 项，并可消去三个变量。项，并可消去三个变量。ABCD00011

59、1100001111011111111ABCD000111100001111011111111BA( (1) 1) 由表达式填卡诺图由表达式填卡诺图(2) (2) 圈出孤立的标圈出孤立的标1 1方格方格(3) (3) 找出最多的相邻标找出最多的相邻标1 1方格方格, ,并圈出最大的圈并圈出最大的圈(4) (4) 将剩余的相邻标将剩余的相邻标1 1方格方格, ,圈成数量尽可能少圈成数量尽可能少, ,且尽可能大的圈且尽可能大的圈 (5) (5) 将将各个圈合并后得到的与项相加各个圈合并后得到的与项相加, ,得到最得到最简与或式简与或式2 2、卡诺图化简法的步骤（化为最简与或式）、卡诺图化简法的步骤

60、（化为最简与或式）ABCD00011110000111101111111F=ABCD+ACD+ABD+ABC例：将例：将F（A,B,C,D）=m（0,1,3,7,8,10,13）化为最简与或式化为最简与或式 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 X包围圈内的方格数一定是包围圈内的方格数一定是2 2i i个，且包围圈必须