必修2高中数学试卷

1、必修2高中数学试卷一.选择题(共12小题)1.某三棱锥三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A. 2+75 B. 4+诋 C. 2+275D. 52 . 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.4B.Jl C. 1 D.工S n 653 .已知m, n是两条不同直线，a, 3是两个不同平面，则下列命题正确的是()A .若垂直于同一平面，则 a与3平行B.若m,n平行于同一平面，则 m与n平行C.若 3不平行，则在a内不存在与3平行直线D.若m,n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面4 .如图，在正方体 ABCD - AlBlClDl

2、中，异面直线 AD 1与BA1所成的角为()A. 30° B. 45° C. 60° D, 90°5 .过三点 A (1, 3) , B (4, 2) , C (1, - 7)的圆交 y 轴于 M, N 两点，则 |MN|=()A. 2% B. 8 C. 4nD. 106 .直线xsin c+y+2=0的倾斜角的取值范围是()A. 0,同 B. 0, _山3_，兀) 44C. 0, _ D. 0, _U( 兀)7.过三点A (1,0) , B (0, 6) , C (2, V3)则SBC外接圆的圆心到原点的距离为(A. 5 B.囱 C, 2V5333D.

3、8 .圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A. (x- 1)2+(y- 1)2=1 B. (x+1)2+(y+1)2=1C. (x+1) 2+(y+1) 2=2D. (x - 1)2+(y - 1)2=29 . 一条光线从点(-2, - 3)射出，经y轴反射后与圆(x+3) 2+ (y-2) 2=1相切，则反射光线所在39S 443直线的斜率为()A. - 7；或 B ' 一 7；或W C T或一； D .-7或一十3523453410 .直线 3x+4y=b 与圆 x2+y2-2x-2y+1=0 相切，则 b= () A.-2 或 12 B.2 或-12 C.-2 或-12 D.

4、2 或 1211 . 一个结晶体的形状为平行六面体ABC - A1B1C1D1,以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°,则人口= () A. k/312 .已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.B.串河川C. 242% D, 472 %3二.填空题(共4小题)13 .如图，四边形 ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动 点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线 EM与AF所成 的角为0,则cos。的最大值为 .13题图14 .现有橡皮泥制作的底面半径为5

5、,高为4的圆锥和底面半径为 2,高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为15 .已知点P (0,-1) , Q (0,1),若直线l： y=mx-2上至少存在三个点M,使得LPQM为直角三角形,则实数m的取值范围是.16 .若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点，且 SOB=120 °, O为坐标原点，则 r=三.解答题(共 6小题)17.已知过原点的动直线 l与圆Ci： x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点 A, B.(1)求圆Ci的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M

6、的轨迹C的方程；(3)是否存在实数 k,使得直线L： y=k (x-4)与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围;若不存在，说明理由.18 .已知F1、F2分别是椭圆 上+£=1的左、右焦点，曲线 C是坐标原点为顶点，以 F2为焦点的抛物线, 43过点F1的直线l交曲线C于x轴上方两个不同点 P、Q,点P关于x轴的对称点为 M ,设再下=1k fR(U若入2, 4,求直线L的斜率k的取值范围；(。求证：直线 MQ过定点.19 .如图菱形 ABCD, LABC=120 °, E, F是平面 ABCD同一侧两点，BE，平面 ABCD , DF，平面 ABCD , BE=

7、2DF , AE ± EC. ( U证明：平面 AEC，平面AFC ( U)求直线 AE与直线CF所成角的余弦值.E20 .如图，在直三棱柱 ABC -A1B1C1中，已知 AC LBC, BC=CC 1,设AB1的中点为 D, B1CABC1=E. 求证：（1） DEO面 AA1C1C; （2） BC1LAB1.Bi21 .已知函数f(x)=x3 - 3x及y=f(x)上一点P (1, - 2),过点P作直线l . (1)求使直线l和y=f(x)相切且 以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于 P的直线方程.22 .已知点 M是圆心为 C1的圆(x-1)2

8、+y2=8上的动点，点 C2(1 , 0),若线段 MC2的中垂线交 MC1于点N.(1)求动点N的轨迹方程；(2)若直线l : y=kx+t是圆x2+y2=1的切线且l与N点轨迹交于不同的两点P,Q,O为坐标原点，若求UOPQ面积的取值范围.高中数学组卷 参考答案一. 1. C 2. D3. D 4. C 5. C 6. B7. B 8. D9. D10. D 11. D12. B 二.13. 0.4 14.弋飞 15. _m-R或 m" 16. 2I三.17.解：（1）二.圆C1：x2+y2-6x+5=0 ,整理，得其标准方程为：（x-3）2+y2=4,.圆C1的圆心坐标为（3,

9、0）;(2)设当直线 l 的方程为 y=kx、A (xi, yi)、B(X2, y2),联立方程组(x-3)2+y2 = 4, y = kx,消去 y 可得：(1+k2) x2-6x+5=0 ,由=36-4 (1+k2) X5>0,可得 k2< 0.8 由韦达定理，可得xi+x2=6/(1+k2), 线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为x=3/(1+k2), y=3k/(1+k2), 其中-2 +5/5<k<2,575, 线段AB的中点M的轨迹C的方程为：(x-1.5 ) 2+y2=9/4 ,其中5/3 <x<(3)结论：当k6-2/7, 2卢/7U-3/4

10、, 3/4时，直线L: y=k (x-4)与曲线C只有一个交点.理由如下：联立方程组(x-1.5) 2+y2 = 9/4, y = k(x-4),消去 y,可得：(1+k2) x2- (3+8k2) x+16k2=0,令匕:(3+8k2) 2-4 (1+k2) ?16k2=0,解得 k= i3/4,又二.轨迹 C 的端点(5/3, i2J5/3)与点(4, 0)决定的直线斜率为 七声/7, 当直线L: y=k (x-4)与曲线C只有一个交点时， k 的取值范围为-2 *5/7 , 2、5/7 U -3/4 , 3/4.18 .解：(I)令P (x1, yO , Q (x2, y2),由题意，可

11、设抛物线方程为y2=2px由椭圆的方程可得F1 (-1, 0) , F2 (1, 0 )故p=2,曲线C的方程为y2=4x, 由题意，可设PQ的方程x=my-1 (m>0).把PQ的方程代入曲线C的方程 化简可得y2-4my+4=0 ,y1+y2=4m , 丫叩=4 .又 F1P = XF1Q, 1- x1+1= X (x2+1) , 丫尸入区, 又(y+y2)2/y1y2=入书/ H2=4m2. 长2, 4,.2+1/2(入W 人 <4+/4, 9/8<m2攵5/16 ,.4/5 4/me 声/3, 直线L的斜率k的取值范围为4/5, 22/3.(II)由于P, M关于X轴

12、对称，故 M (刀，-yO ,1.1 KQF2-KMF2=y2/(x2- 1)+y1/(x1- 1)=2ky1y2-2(y1+y2)/(x1- 1)(x2- 1)=0, M、Q、F2三点共线，故直线 MQ过定点F2 (1,0).19 .解：(I )连接 BD,设 BDA AC=G ,连接 EG、EF、FG ,在菱形 ABCD 中，不妨设 BG=1 ,由 /ABC=120 ,可得 AG=GC= <3 , BE,平面 ABCD , AB=BC=2 ,可知AE=EC ,又AEXEC,所以EG=43,且EG LAC ,在直角AEBG中，可得BE= v 2 ,故DF=J2/2, 在直角三角形FDG

13、中，可得FG=.6/2,在直角梯形BDFE中，由BD=2 , BE= J2 , FD=J2/2,可得EF=34/2, 从而 EG2+FG2=EF2,则 EG ±FG, A8 FG=G ,可得 EG,平面 AFC, 由EG?平面AEC,所以平面 AECL平面AFC;(n)如图，以G为坐标原点，分别以 GB, GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz,由(I )可得 A (0,-73,0), E (1, 0,J2) , F (-1,0,<1/2), C(0,3 ,即有 A= (1,超,y2) , c= (-1，- E，2/2),故COS < AE C

14、F . >= AE ?CF -/| AECF ” |=- *：3 /3 ,则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为弓/320 .证明：(1)根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE/AC;又因为DE?平面AA1C1C, AC?平面AA1C1C,所以DE /平面AA1C1C;(2)因为棱柱ABC-A 1B1C1是直三棱柱，所以 CC平面ABC,因为AC?平面ABC ,所以ACLCC"又因为 AC ± BC , CC1?平面 BCC1B1, BC?平面 BCC1B1, BCH CC 1=C ,所以 AC,平面 BCC1B1；又因为BC1?平面BCC1B1,

15、所以BCAC;因为BC=CC 1,所以矩形BCCB是正方形，所以BC平面B1AC ;又因为AB1?平面B1AC,所以BC1±AB1.21 .解：(1)由f (x) =x3-3x得，f'(x) =3x2-3,过点P且以P (1 , -2)为切点的直线的斜率f'(1) =0,所求直线方程为y=-2.(2)设过 P (1, -2)的直线 l 与 y=f (x)切于另一点(x0, y0),则 f' (x0) =3x02-3.又直线过(汽,y0) , P (1, -2),故其斜率可表示为y0-(-2) /(x。- 1)=(X03-3xo+2)/(X0-1), 又(xo3

16、-3x0+2 )/(x0-1)=3xo2-3,即 Xo3-3xo+2=3 (Xo2-1 ) ? (x0-1),解得 Xo=1 (舍)或 Xo=-0.5 , 故所求直线的斜率为 k=3X (1/4-1) =-9/4, . .y- (-2) =-9/4 (x-1),即 9x+4y-1=022.解：(1)由已知得 |MN|=|NC2|,则 |NC1|+|NC2|=|NC1|+|MN|=2 21 >|C1C2|=2 ,故动点 N 的轨迹是以 C1, C2为焦点，以2、；2为长轴长的椭圆，a= <2 , c=1, b2=1,动点N的轨迹方程为x2/2+y2=1 ；(2) :直线 l： y=k

17、x+t 是圆 x，y2=1 的切线，|t|/(1+ k2)=1 ,.t2=k2+1,直线 l: y=kx+t 代入椭圆方程可得(1+2k2)x2+4ktx+2t 2-2=0，设 P(X1,y", Q(X2,y2),则=8k2>0可彳导k*0. .X1+X2=-4kt/(1+2k2), X1X2=(2t2-2)/(1+2k2), .w (kx1+t) (kx2+t) =(t2-2k2)/(1+2 k2), .t2=k2+1 ,.X1X2=2k2/(1+2k2), y1y2=(1- k2)/(1+2k2),OP ?OQ = a =xx2+y1y2=(1 + k2)/(1+2 k2),-2/3