《李贤平概率论基础》ppt课件

1、2.3 伯努利实验与直线上的随机游动Ch2：条件概率与统计独立性3 伯努利实验与直线上的随机游动伯努利实验与直线上的随机游动一、伯努利概型一、伯努利概型三、直线上的随机游动三、直线上的随机游动二、伯努利概型中的一些分布二、伯努利概型中的一些分布一 、伯努利概型伯努利实验, ,A A F ,1EA AP A = pP A = qp0qp+q= 若随机试验 的事件域为：，其中 ，且，0,.F那么称那么称E E为为 Bernoulli Bernoulli 实实验验n n 重伯努利实验记作重伯努利实验记作En ): nEn ): n次独立次独立 反复的伯努利实反复的伯努利实验验. .n n 重伯努利实

2、验重伯努利实验n n重伯努利实验的特点重伯努利实验的特点: :每次实验最多出现两个能够结果之一每次实验最多出现两个能够结果之一A A在每次实验种出现的概率在每次实验种出现的概率p p坚持不变坚持不变各次实验相互独立各次实验相互独立共进展了共进展了n n次实验次实验n n 重伯努利实验的样本空间：重伯努利实验的样本空间：pqppAAAAPnn.).(121121121(,.,),.nnnnA AAAA AAAA样本点简记为，其概率由 的概率与独立性可得出：12|,n iiiiAAiA其中或，表示第 次试验中事件 发生与否。显然， 是有限样本空间。 可列重伯努利实验记作可列重伯努利实验记作EE：

3、样本点样本点w=(w1,w2,.,wn,.)w=(w1,w2,.,wn,.)样本点个数不可列样本点个数不可列, ,无限样本空间。无限样本空间。可列重伯努利实验可列重伯努利实验二二 伯努利概型中的一些分布伯努利概型中的一些分布只进展一次伯努利实验只进展一次伯努利实验概率分布为概率分布为: : ,0,0,1.P Ap P Aq pqpq1.1.伯努利分布伯努利分布 这种概率分布称为伯努利分布这种概率分布称为伯努利分布 伯努利概型中最简单的情形伯努利概型中最简单的情形 也称两点分布也称两点分布例例1 200件产品中件产品中,有有190件合格品件合格品,10件次品件次品,现现从中随机抽取一件从中随机抽

4、取一件,令令A表示获得次品，那么：表示获得次品，那么：此为两点分布此为两点分布. 10190,.200200P AP A“掷硬币、掷硬币、“婴儿性别等实验均为两点分布婴儿性别等实验均为两点分布. 在在n重重Bernoulli实验中实验中,事件事件A恰好发生恰好发生k次次的概率记为，的概率记为， 那么那么; ,b k n p2.2.二项分布二项分布; ,10,1,2,kkn knb k n pC p qqp kn knknkAkCp q分析：事件 恰好发生 次共有种可能情况，而每种情况出现的概率为 1)(),;(00nknknkknnkqpqpCpnkb称称b(k;n,p)b(k;n,p)决议的

5、概率分布为二项分布。决议的概率分布为二项分布。例例2 2、设一批产品中有、设一批产品中有a a件是次品件是次品,b ,b件是正品件是正品. . 现有放现有放回地从中抽取回地从中抽取n n件产品件产品. .求求: :事件事件A=nA=n件产品中恰有件产品中恰有k k件次品件次品 的概率其中，的概率其中，k=0,1,2,n.k=0,1,2,n.paab解解: : 属于属于 n n重伯努利分布重伯努利分布, ,且：且：knkknknkknbabbaaCqpCpnkb)()(),;(例例3: 3: 某病的自然痊愈率为某病的自然痊愈率为 0.25 0.25，某医生为检验某，某医生为检验某种新药能否有效，

6、他事先制定了一个决策规那么：种新药能否有效，他事先制定了一个决策规那么：把这药给把这药给 10 10 个病人服用，假设这个病人服用，假设这 10 10 人中至少有人中至少有4 4 个人痊愈，那么以为新药有效；反之，那么以为新个人痊愈，那么以为新药有效；反之，那么以为新药无效求：药无效求： 新药有效，并且把痊愈率提高到新药有效，并且把痊愈率提高到 0.35 0.35，但经过实，但经过实验却被否认的概率验却被否认的概率新药完全无效，但经过实验却被判为有效的概新药完全无效，但经过实验却被判为有效的概率率分析：此为分析：此为1010重伯努利实验，令重伯努利实验，令AA痊愈痊愈2药物本身无效时，1药物本

7、来有效的情况下， 0.35,10pP An331011000; ,0.351 0.35kkkkkpb k n pC令k痊愈的人数，“被否认=“k=0,1,2,3 0.25,10,4,5,10.pP Ank1024;10,0.25kpb k课堂练习：设一批产品中有课堂练习：设一批产品中有3030的产品是一级品的产品是一级品. .现现对该产品中进展反复抽样检查对该产品中进展反复抽样检查, ,共取共取5 5个样品。求个样品。求 ：(1)(1)取出的取出的5 5个样品中恰有个样品中恰有2 2个一级品的概率个一级品的概率(2)(2)取出的取出的5 5个样品中至少有个样品中至少有2 2个一级品的概率个一级

8、品的概率(1)解解: :22352;5,0.30.3 (1 0.3)0.3087bC(2)A:“5个样品中至少有个样品中至少有2个一级品个一级品511555200( );5,0.31( ) 10.30.70.47178iiiiiiP Ab iP iC 在伯努利实验中，在伯努利实验中，“事件事件A在第在第k次才初次出现的次才初次出现的概率概率,记为：记为： ，显然：，显然：( ;)g k p1121;(.),1,2,kkkg k pP A AAAqp k( ;)g k p称由决定的概率分布为几何分布。111);(111qppqpkgkkk3.3.几何分布几何分布例4、一个人要开门，共有n把钥匙，

9、其中仅有一把钥匙能开门，这人在第s次试开时才初次胜利的概率是多少分析：可列重伯努利实验 p=1/n 第s次才初次胜利的概率： g(s;1/n)=1/n (n-1)/ns-1 相继的伯努利实验中，要多长时间才会出现第相继的伯努利实验中，要多长时间才会出现第r r 次次胜利胜利 记记Ck=Ck=第第r r 次胜利发生在第次胜利发生在第k k 次次 记记 f (k; r, p)=P (Ck) f (k; r, p)=P (Ck) Ck=Ck=前前k-1k-1次胜利次胜利r-1r-1次次, ,且第且第k k 次胜利次胜利 ，那么：，那么：rkrrkrkrrkkqpCpqpCCP11111)(11( ;

10、 ,),1,rrk rkf k r pCp qkr r 即：11( ; ,)1rrkrkkrkrf k r pCp q显然：称称 f (k; r, p) f (k; r, p)为帕斯卡分布，当为帕斯卡分布，当r=1r=1时时, ,即为几何分布即为几何分布4. 4. 帕斯卡分布帕斯卡分布例例5 5、分赌注问题、分赌注问题 甲、乙两赌徒按某种方式下注赌博，先胜t 局者将博得全部赌注，但进展到甲胜r 局、乙胜s 局(rt, st)时，因故不得不中止。试问如何分配这些赌注才公平合理？建议：用 r:s 来分配用最终甲乙取胜的概率 P甲:P乙 来分配分析： 甲假想象获胜，需求再胜n=t-r 局 乙假想象获

11、胜，需求再胜m=t-s 局 记A=每局中甲获胜,P(A)=p, P(Ac)=q 甲获胜，当且仅当：甲再胜n局时，乙再胜的局数km，即A的第n次胜利发生在第n+k次(k=n,即Ac的第m次胜利发生在m+k次(k=n)实验：nkmkmkmqpCP11甲显然:再赌n+m-1局可以决议胜负 甲假想象获胜甲假想象获胜, ,必需在必需在n+m-1n+m-1局中胜局中胜n n次，由二项分布次，由二项分布: :111n mkkn mkn mk nPCp q 甲例6、巴拿赫火柴问题：两盒火柴，各装n根,每次抽烟时任取一盒用一根，求发现一盒用光时，另一盒有k根的概率。看作p=1/2的伯努利实验。一盒取过n+1次而

12、另一盒取过n-k次：2121121;1,22n knn kfnknC 由对称性，所求概率为：222nknn kpC5 推行的伯努利实验与多项分布二项分布的推行n次反复独立实验每次实验有多个能够结果记每次实验的一切能够结果为：12,.rA AA12,1,2, . 0,1.iiirP Ap irpppp令且：12rrnAkAkAk12 在 次试验中: 出现 次, 出现 次， ,出现 次的概率为：12121212!.rrkkkrrnpp ppk kkkkkn其中：由此概率确定的分布称为多项分布， r=2时，退化为二项分布三、直线上的随机游走0()1xtaapp 设 轴上有一个质点，假定它只能在整数点

13、上停顿，在初始时刻时，它在初始位置 处为整数 ，以后每隔单位时间，它总是受到一个外力的随机作用，使位置发生变化，分别以概率 及概率向坐标轴正向或负向移动一个单位，质点的这种运动称为直线上的随机游动。无限制随机游动有吸收壁随机游动分类分类称为对称随机游动时当pp1无限制随机游动假定质点的初始位置在原点。nnStnSknk以记质点在时刻时的位置，则意即“质点在前 次游动中向右的次数比向左的次数恰好多 次”nxnynSk设 表示质点在前 次游动中向右移动的次数， 在前次游动中向左移动的次数。于是发生，则有xynxyk,22nknkxyxnk，由 是整数，所以 与 必须同奇偶。nSk由二项分布，发生的

14、概率为：2220n kn kn knnnnkP SkCpqnkP Sk当 与 同奇偶时， 当 与 奇偶相异时，两端带有吸收壁的随机游动111,2,1nnnqpqqqnab，11nnnnp qqq qq1,nnncqq rq p令则：1,1,2,1.nncrcnab 111,1 2,nnrpqcc 即对称随机游动,nanaqqabab 212021,nnnnrpqcrcr cr c 111010000011nnnnknkkkkkkrqqqqcr ccr0010,1,11a ba brqqcr 11nna brqr特别有特别有baabaaapqpqrrq1111留意对该式令 用洛比达法那么求极限也

15、可以获得qp baaqa1,11aaa baa ba bpqqqpppqppqqp例例7 7、赌徒输光问题、赌徒输光问题甲乙赌本分别为a元及b元，每局赌注为1元，甲获胜的概率为p，试求甲输光的概率。分析：可看成两端带有吸收壁的随机游动模型。以Pa记甲从a出发而在0点被吸收赌本输光，赢一局看成向右走一步，输一局看成向左走一步，那么：111aaa baa ba bp qq pq ppp qq p注解：假设ab，那么不论甲赢一局的概率是多少，都终输光。平面上的随机游动 一质点从平面上某点出发，等能够地向上下左右一质点从平面上某点出发，等能够地向上下左右方向挪动，每次挪动的间隔为方向挪动，每次挪动的间隔为1，求经过，求经过2n次挪次挪动后回到出发点的概率动后回到出发点的概率分析：分析： 从某点出发，向上下左右四个方向挪动的从某点出发，向上下左右四个方向挪动的概率均为概率均为1/4，可以归结为多项分布的问题。，可以归结为多项分布的问题。假设要在假设要在2n次挪动后回到原来的出发点，那么向次挪动后回到原来的出发点，那么向左挪动的次数左挪动的次数(k)与向右挪动的次数应该相等，向与向