几何证明题知识点(学生版)

1、第 27 页 共 27 页 目录1、 考点总分析2、 知识点讲解3、 出题的类型4、 解题思路5、 相关练习题几何证明题专题本题的主要知识点（中考中第3道，分值为8分）七年级上第4章 几何图形初步 七年级下第5章 相交线与平行线八年级上第11章 三角形 第12章 全等三角形 第13章 轴对称 八年级下第17章 勾股定理 第18章 平行四边形 九年级上第23章 旋转 第24章 圆九年级下第27章相似 第28章 投影与视图 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相

2、互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善

3、于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的"因为"、"所以"逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。 知识结构图中考中主要考试的类型一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的

4、高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两角相等1.两

5、全等三角形的对应角相等。2.同一三角形中等边对等角。3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对 的圆周角。7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。8.相似三角形的对应角相等。9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等。三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。4.三角

6、形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。4、 证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的对角线

7、互相垂直。10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。11.利用半圆上的圆周角是直角。五、证明线段的和、差、倍、分1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。 2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、 三角形的重心、相似三角形的性质等）。六、证明角的和、差、倍、分1.作两个角的和，证明与第三角相等。2.作两个角的差，证明余下部分等于第三角。3.利用角平分线的定义。4.三角形的一个外角等于和它不相邻的

8、两个内角的和。七、证明两线段不等1.同一三角形中，大角对大边。2.垂线段最短。3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。6.全量大于它的任何一部分。八、证明两角不等1.同一三角形中，大边对大角。2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。5.全量大于它的任何一部分。9、 证明比例式或等积式1.利用相似三角形对应线段成比例。2.利用内外角平分线定理。3.平行线截线段成比例。4

9、.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。5.与圆有关的比例定理-相交弦定理、切割线定理及其推论。6.利用比例式或等积式化得。以上九项是中考几何证明题中最常出现的内容，只要掌握了对应的方法，再根据题目中的条件进行合理选择，攻克难题不再是问题！各知识点考查形式一、 图形的认识1、 立体图形、视图和展开图（选择题）1） 几何体的三视图，几何体原型相互推倒2） 几何体的展开图，立体模型相互推倒2、 线段、射线、直线（解答题）1） 垂直平分线、线段中点性质及应用2） 结合图形判断、证明线段之间的等量、和差、大小关系3） 线段长度的求解4） 两点间线段最短（解决路径最短问题）3、 角与角分线（解答题）1）

10、 角与角之间的数量关系2） 角分线的性质与判定（辅助线添加）4、 相交线与平行线1） 余角、补角2） 垂直平分线性质应用3） 平分线性质与判定5、 三角形1） 三角形内角和、外角、三边关系（选择题）2） 三角形角分线、高线、中线、中位线性质应用（辅助线）3） 三角形全等性质、判定、融入四边形证明（必考解答题）4） 三角形运动、折叠、旋转、平移（全等变换）、拼接（探究问题）6、 等腰三角形与直角三角形1） 等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理及逆定理2） 等腰三角形、直角三角形与四边形或圆的综合3） 锐角三角函数、特殊角三角函数、解直角三角形（解答题）4） 等腰、直角、等腰直角三角

11、形与函数综合形成的代几综合题（压轴题必考）7、 多边形：内角和公式、外角和定理（选择题）8、 四边形（解答题）1） 平行四边形的性质、判定、结合相似、全等证明2） 特殊的平行四边形：性质、判定、以及与轴对称、旋转、平移和函数等结合应用（动点问题、面积问题及相关函数解析式问题）3） 梯形：一般梯形及等腰、直角梯形的性质、与平行四边形知识结合，四边形计算题，辅助线的添加等9、 圆（必考解答题）1） 圆的 有关概念、性质2） 圆周角、圆心角之间的相互联系3） 掌握并会利用垂径定理、弧长公式、扇形面积公式，圆锥侧面面积、全面积公式解决问题4） 圆中的位置关系：要会判断：点与圆、直线与圆、圆与圆（重点是

12、圆与圆位置关系）5） 重点：圆的证明计算题（圆的相关性质与几何图形综合）二、 图形与变换1、 轴对称：会判断轴对称图形、能用轴对称的知识解决简单问题2、 平移：会运用平移的性质、会画出平移后的图形、能用平移的知识解决简单问题3、 旋转：理解旋转的性质（全等变换），会应用旋转的性质解决问题（全等证明），会判断中心对称图形4、 相似：会用比例的基本性质解题、利用三角形相似的性质证明角相等、应用相似比求解线段长度（解答题）几何证明中的几种技巧一角平分线轴对称 已知在ABC中，为的中点，平分，于，求的长 已知在ABC中，平分求证： 已知在ABC中，平分求证：4 已知在ABC中，平分，过作，交于求证：

13、如图（）所示，和分别是的外角平分线，过点作于，于，延长及与相交，连接（） 求证：（） 若（a)与分别是的内角平分线（如图（）； (b)是ABC的内角平分线，是ABC的外角平分线（如图（）则在图（）与图（）两种情况下，线段与ABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明图（）图（）图（） 如图，ABC中，是边上的中点，于，交的平分线于，过作于，作于求证： 如图，在ABC中，平分求证： 在四边形中，平分，过作于，且求的度数2 旋转 如图，已知在正方形中，在上，在上，求证：.如图，在中，为中点的延长线上任意一点交延长线于求证： 如图，点在ABC外部，在边上，交于若，求证：

14、ABCADE 如图，ABC与EDC均为等腰直角三角形，且在上的延长线交于请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程 如图，点为正方形的边上一点，点为的延长线上的一点，且求证：3 平移 如图，在梯形中，求梯形的中位线长 已知在ABC中，为上一点，为延长线一点，且求证：4 中点的联想（1） 倍长 已知，为的中线求证：> 如图，为ABC的角平分线且求证： 已知在等边三角形中，和分别为与上的点，且连接与交于点，作于求证：（2） 中位线 已知在梯形中，和分别为与的中点求证：（3） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 已知，在中为的中点，为中点，为中点求证： 在ABC中，是高，是中线，于求证：（

15、）（） 已知：在等腰梯形中，、分别是、的中点求证：EFG是等边三角形6 等面积法 已知在ABC中，于，求的长 已知为矩形中上的动点（不与或重合）于，于，问：的值是否为一定值？若是，求出此值并证明；若不是，说明理由已知在矩形中，于，于求证：在的平分线上“圆” 热点题型分类解析 【专题专点剖析】 1与圆有关的概念 正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念，并能正确分析它们的区别与联系 2与圆有关的角 掌握圆周角和圆心角的区别与联系，将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，一般地，若题目无直径，往往需要作出直径 3圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理 定理与推论是在圆的旋转不变上推出来

16、的，需注意“在同圆或等圆中”这个关系 4与圆有关的位置关系 了解点和圆、直线和圆、圆与圆共有几种位置关系，并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键 5切线长定理 切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据 6弧长、扇形面积计算问题 通过作图、识图、阅读图形、探索弧长、扇形及其组合图形面积的计算方法和解题规律，把不规则图形的问题转化为规则图形的问题 7圆锥的侧面积、全面积的计算 正确区分圆锥侧面展开图中各元素与圆锥间的各元素的对应关系是处理此类问题的关键【热点试题归类】题型1 圆的有关性质1如图1，ABC为O的内接三角形，AB为O的直径，点D在

17、O 上，BAC=35°，则ADC=_度。 (1) (2) (3) (4)2在ABC中，AB=AC=5，且ABC的面积为12，则ABC外接圆的半径为_。3如图2，矩形ABCD与圆心在AB上的O交于点G、B、F、E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，则EF=_cm。4如图3，点D在以AC为直径的O上，如果BDC=20°，那么ACB=_。5已知四边形ABCD内接于O，且A：C=1：2，则BOD=_。6如图4，在O中，ACB=D=60°，AC=3，则ABC的周长为_。7如图5，AB是O的弦，圆心O到AB的距离OD=1，AB=4，则该圆的半径是_。 (5) (6)

18、(7) (8) (9)8如图6，O的直径AB=8cm，C为O上的一点，BAC=30°，则BC=_cm。9如图7，ABC内接于O，A所对弧的度数为120°，ABC、ACB的角平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点FcosBFE=；BC=BD；EF=FD；BF=2DF其中结论一定正确的序号是_。10如图8,已知A、B、C是O上，若COA=100°，则CBA的度数是 （ ） A40° B50° C80° D200°11如图9，AB是O的直径，点C在O上，B=70°，则A的度数是 （ ）A20° B

19、25° C30° D35° (10) (11) (12) (13) (14)12如图10，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，连接CD，若O的半径r=，AC=2，则cosB的值是 （ ）A B D13如图11，A、B、C是O上的三点，BAC=45°，则BOC的大小是 （ ）A90° B60° C45° D225°14我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短”在此基础上，人们定义了点与点的距离，点到直线的距离类似地，如图12，若P是O外一点，直线PO交O于A、B两点，PC切

20、O于点C，则点P到O的距离是 ( ) A线段PO的长度; B线段PA的长度; C线段PB的长度; D线段PC的长度15如图13，AB是O的直径，BC、CD、DA是O的弦，且BC=CD=DA，则BCD= （ ） A100° B110° C120° D135°16如图14，O的直径CD过弦EF的中点G，EOD=40°，则DCF等于 （ ） A80° B50° C40° D20°17用一把带有刻度尺的直角尺，可以画出两条平行的直线a和b，如 图（1）；可以画出AOB的平分线OP，如图（2）；可以检验工件的凹面是

21、否为半圆，如图（3）；可以量出一个圆的半径，如图（4）这四种说法正确的有 （ ） A4个 B3个 C2个 D1个18图16中BOD的度数是 （ ）A55° B110° C125° D150° （16） （17） （18）19如图17，AB是O的直径，弦AC、BD相交于点E，则等于 （ ）AtanAED BcotAED CsinAED DcosAED20如图18已知A、B、C是O上的三点，若ACB=44°，则AOB的度数为 （ ） A44° B46° C68° D88°21如图，ABC内接于O，BAC的平分

22、线交O于点D，交边BC于点E，连结BD （1）根据题设条件，请你找出图中各对相似的三角形；（2）请选择其中的一对相似三角形加以证明。22如图，AB，AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点弦ED分别交O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P。 （1）若PC=PF；求证：ABED。 （2）点D在劣弧的什么位置时，才能使AD=DEDF，为什么？23如图所示，AB是O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明。24本市新建的滴水湖是圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、

23、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图所示，请你帮他们求出滴水湖的半径。 题型2 直线与圆的位置关系1已知ABC=60°，点O在ABC的平分线上，OB=5cm，以O为圆心，3cm为半径作圆，则O与BC的位置关系是_。2如图1，AB是O的切线，OB=2OA，则B的度数是_。 （1） （2） （3）3已知O中，两弦AB和CD相交于点P，若AP：PB=2：3，CP=2cm，DP=12cm，则弦AB的长为_cm。4如图2，已知直线CD与O相切于点C，AB为直径，若BCD=40°，则ABC的大小等于_（度）。5已知圆O的半径为1，点P到

24、圆心O的距离为2，过点P作圆的切线，那么切线长是_。6如图3，PB为O的切线，B为切点，连结PO交O于点A，PA=2，PO=5，则PB的长为（ ） A4 B C2 D47如图4，AB与O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则O的半径为 （ ）A4cm B2cm C2cm Dcm （4） （5） （6）8如图5，已知O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，那么P等于 （ ）A15° B20° C25° D30°9如图6，已知O中弦AB，CD相交于点P，AP=6，BP=2，CP=4，则PD的长是 （ ） A6

25、B5 C4 D310O的半径为4，圆心O到直线L的距离为3，则直线L与O的位置关系是 （ ）A相交 B相切 C相离 D无法确定11如图，A是O外一点，B是O上一点，AO的延长线交O 于点C，连结BC，C=225°，A=45°求证：直线AB是O的切线12如图，O的直径AB=4，ABC=30°，BC=4，D是线段BC的中点 （1）试判断点D与O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DEAC，垂足为点E，求证直线DE是O的切线 13 如图所示，PA、PB是O的切线，A、B为切点，APB=80°，点C是O上不同于A、B的任意一点，求ACB的度数14已知在RtABC中，AD是BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作O （1）在图中作出O；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：BC为O的切线；（3）若AC=3，tanB=，求O的半径长15如图，已知O的割线PAB交O于A、B两点，PO与O交于点C，且PA=AB=6cm，PO=12cm（1）求O的半径；（2）求PBO的面积（结果可带根号）16如图，在O中，弦AC与BD交于E，AB=6，AE=8，ED=4，求CD的长17如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CHAB于点H，直